Die drei Axiome

The three axioms

Mathematik Klasse 12 15 Aufgaben

WahrscheinlichkeitStochastikAxiome von Kolmogorow

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ordnet Ereignissen Zahlen zu, sodass P(A) ≥ 0, P(Ω) = 1 und für unvereinbare Ereignisse P(A ∪ B) = P(A) + P(B) gilt (Kolmogorow). Als Flächenmodell: Ω hat den Inhalt 1, disjunkte Ereignisse liegen nebeneinander. Räumt drei Fehler aus: Wahrscheinlichkeiten über 1 oder unter 0, Tabellen, die sich nicht zu 1 summieren, und das Addieren überlappender Ereignisse. Bereitet die Herleitung aller weiteren Rechenregeln aus den Axiomen vor.

Sei $Ω$ die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments; ein Ereignis ist eine Teilmenge von $Ω$ . Eine Zuordnung $P$ heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn sie drei Axiome erfüllt (Kolmogorow, 1933):

Nichtnegativität: $P (A) \geq 0$ für jedes Ereignis $A$ .
Normierung: $P (Ω) = 1$ .
Additivität: Für A und B mit $A \cap B = \emptyset$ gilt $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Bei endlich vielen Ergebnissen genügt es, jedem Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit zu geben: $P (A)$ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in $A$ . Axiom 3 gilt auch für drei oder mehr paarweise unvereinbare Ereignisse.

Im Bild ist $Ω$ eine Fläche vom Inhalt 1, Ereignisse sind Teilflächen. Ereignisse ohne gemeinsame Ergebnisse liegen nebeneinander, und ihre Flächen addieren sich.

Verändere P(A) und P(B). Was ist P(A ∪ B), solange die Streifen nicht überlappen?

Die Axiome sagen nicht, welche Zahl ein Ereignis bekommt, sondern nur, welche Regeln die Zahlen einhalten müssen. Genau deshalb passt jeder der drei Ansätze darunter.

Jeder der drei Ansätze aus dem letzten Abschnitt erfüllt die Axiome: Relative Häufigkeiten sind nie negativ, ergeben für $Ω$ den Wert 1 und addieren sich für unvereinbare Ereignisse. Eine Zuordnung, die ein Axiom verletzt, ist keine Wahrscheinlichkeit: Bei $Ω = {a, b, c}$ mit $P (a) = 0, 5$ , $P (b) = 0, 4$ und $P (c) = 0, 3$ ist $P (Ω) = 1, 2$ .

Ermöglicht (1)

Folgerungen aus den Axiomen

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Für die Ergebnisse a, b, c eines Experiments werden Wahrscheinlichkeiten vorgeschlagen. Bei welchem Vorschlag ist P(A) ≥ 0 verletzt?

● P(a) = 0,6; P(b) = −0,1; P(c) = 0,5
○ P(a) = 0,6; P(b) = 0,1; P(c) = 0,3
○ P(a) = 1; P(b) = 0; P(c) = 0

Eine Wahrscheinlichkeit darf nicht negativ sein, P(b) = −0,1 verletzt Axiom 1. Beim zweiten Vorschlag ist die Summe 1, beim dritten ebenfalls; der Wert 0 ist erlaubt.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Experiment hat vier Ergebnisse. Der Vorschlag P = 0 für jedes einzelne Ergebnis ist eine zulässige Zuordnung.

✓ Falsch

Dann wäre P(Ω) = 0 statt 1, das verletzt die Normierung. Der Wert 0 für ein einzelnes Ergebnis ist erlaubt, aber nicht für alle.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Ein Würfel wird geworfen. Bei welchem Ereignispaar darf man P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ansetzen?

● A: gerade Zahl, B: die Zahl 5
○ A: gerade Zahl, B: Zahl größer als 3
○ A: Zahl höchstens 3, B: ungerade Zahl

Nur gerade Zahl {2, 4, 6} und die 5 haben kein gemeinsames Ergebnis. Beim zweiten Paar liegen 4 und 6 in beiden Ereignissen, beim dritten 1 und 3.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Beim Würfeln sind „gerade Zahl“ und „Zahl größer als 4“ unvereinbar.

✓ Falsch

Die 6 erfüllt beide Bedingungen, also ist der Schnitt {6} nicht leer. Damit gilt Axiom 3 für dieses Paar nicht.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Im Bild ist Ω ein Quadrat vom Inhalt 1; A und B sind Ereignisse als Teilflächen. Darf man P(A ∪ B) = P(A) + P(B) ansetzen?

● Nein, A und B überlappen sich
○ Ja, Flächen addieren sich immer
○ Ja, weil beide Ereignisse in Ω liegen

Im überlappenden Streifen würde die Fläche doppelt gezählt. Axiom 3 setzt A ∩ B = ∅ voraus; sonst ist P(A ∪ B) kleiner als die Summe.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche Tabelle ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω = {a, b, c}?

● P(a) = 0,5; P(b) = 0,3; P(c) = 0,2
○ P(a) = 0,5; P(b) = 0,4; P(c) = 0,3
○ P(a) = 0,7; P(b) = 0,5; P(c) = −0,2

Beim ersten Vorschlag sind alle Werte ≥ 0 und die Summe ist 1. Beim zweiten ist die Summe 1,2, beim dritten ist P(c) negativ – obwohl die Summe 1 beträgt.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt vorgeschlagene Wahrscheinlichkeiten für Ω = {1, 2, 3, 4, 5}. Ist das ein Wahrscheinlichkeitsmaß?

● Nein, die Summe der Werte ist 1,1
○ Ja, alle Werte liegen zwischen 0 und 1
○ Nein, ein Wert ist negativ

0,3 + 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,2 = 1,1 ≠ 1. Dass jeder Wert zwischen 0 und 1 liegt, genügt nicht: Axiom 2 verlangt zusätzlich P(Ω) = 1.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für Ω = {a, b, c, d} ist P(a) = P(b) = P(c) = P(d) = 0,25 ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

✓ Wahr

Alle Werte sind ≥ 0, und 4 · 0,25 = 1. Damit sind Axiom 1 und 2 erfüllt; jedes Ereignis erhält als P die Summe seiner Ergebnisse.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Würfel wird geworfen, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Wie groß ist P(Ω)?

✓ Antwort: 1

Ω ist das sichere Ereignis; nach Axiom 2 gilt P(Ω) = 1 – unabhängig davon, ob der Würfel fair ist.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Auf 20 gleich wahrscheinlichen Feldern (Bild) gehören 6 blaue Felder zu A und 5 grüne zu B; kein Feld liegt in beiden. Wie groß ist P(A ∪ B)? (Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.55

A und B sind unvereinbar, also P(A ∪ B) = 6/20 + 5/20 = 11/20 = 0,55.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Auf Ω = {a, b, c} werden P(a) = 0,5, P(b) = 0,4 und P(c) = 0,3 vorgeschlagen. Wie groß ist die Summe der drei Werte?

✓ Antwort: 1.2

0,5 + 0,4 + 0,3 = 1,2. Wegen P(Ω) = 1 müsste die Summe 1 sein: Der Vorschlag ist kein Wahrscheinlichkeitsmaß.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Experiment hat die Ergebnisse a, b, c, d. Es gilt P(a) = 0,35 und P(b) = 0,25; die Ergebnisse c und d sind gleich wahrscheinlich. Wie groß ist P(c)?

✓ Antwort: 0.2

P(a) + P(b) + P(c) + P(d) = P(Ω) = 1, also P(c) + P(d) = 1 − 0,6 = 0,4. Weil beide gleich groß sind, ist P(c) = 0,2.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein fairer Würfel wird geworfen. A: Augenzahl 1, B: Augenzahl 2 oder 3, C: Augenzahl 6. Wie groß ist P(A ∪ B ∪ C)? (auf drei Dezimalen)

✓ Antwort: 0.667

A, B und C haben paarweise keine gemeinsamen Ergebnisse: P = 1/6 + 2/6 + 1/6 = 4/6 ≈ 0,667.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Auf Ω = {a, b, c} gilt P(a) = 0,2, P(b) = 0,3 und P(c) = 0,5. Es sei A = {a, b} und B = {b, c}. Prüfe, ob P die Axiome erfüllt. Berechne P(A), P(B) und P(A ∪ B) und zeige, dass P(A ∪ B) ≠ P(A) + P(B) ist. Begründe mit Axiom 3, woran das liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Alle Werte sind ≥ 0 und 0,2 + 0,3 + 0,5 = 1, also ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß. P(A) = 0,2 + 0,3 = 0,5; P(B) = 0,3 + 0,5 = 0,8; A ∪ B = Ω, also P(A ∪ B) = 1. Aber P(A) + P(B) = 1,3 ≠ 1. Axiom 3 gilt nur für unvereinbare Ereignisse; hier ist A ∩ B = {b} ≠ ∅, und b wird in der Summe doppelt gezählt (0,3 zu viel).

Axiom 3 verlangt A ∩ B = ∅. Hier überlappen A und B im Ergebnis b; die Summe P(A) + P(B) zählt P(b) = 0,3 zweimal. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0,5 + 0,8 − 0,3 = 1.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Auf Ω = {a, b, c, d} gilt P(a) = x, P(b) = 2x, P(c) = 3x und P(d) = 4x. Für welches x ist das ein Wahrscheinlichkeitsmaß?

✓ Antwort: 0.1

x + 2x + 3x + 4x = 10x = 1, also x = 0,1. Die Werte 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 sind alle ≥ 0.