Sinusförmige Wechselspannung

Sinusoidal AC Voltage

Physik Klasse 12 14 Aufgaben

InduktionGeneratorSpannungKerncurriculum

Eine im homogenen Magnetfeld rotierende Spule liefert eine sinusförmige Wechselspannung: Aus dem Fluss Φ(t) = B·A·cos(ωt) folgt mit dem Induktionsgesetz U(t) = U₀·sin(ωt) mit der Scheitelspannung U₀ = N·B·A·ω, die mit der Drehfrequenz wächst; das Stromnetz läuft mit 50 Hz. Der Effektivwert ist über gleiche Wirkleistung wie beim Gleichstrom definiert: U_eff = U₀/√2, und Messgeräte zeigen stets Effektivwerte an — deshalb entsprechen 230 V Netzspannung einer Scheitelspannung von rund 325 V. Am ohmschen Widerstand gilt P = U_eff·I_eff. Trägt Transformator- und Schwingkreisthemen.

Aus der Steckdose kommt keine Gleichspannung, sondern eine Spannung, die fünfzigmal pro Sekunde ihr Vorzeichen wechselt. Warum? Weil sie von einer rotierenden Spule stammt. Wir lassen eine Spule ( $n$ Windungen, Fläche $A$ ) mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $ω$ in einem homogenen Magnetfeld kreisen und schauen ihr dabei genau zu.

Der Drehwinkel wächst gleichmäßig, $α = ω t$ . Für den Fluss durch die Spule kennen wir die Formel mit dem Kosinus des Winkels zwischen Flächennormale und Feld:

$Φ (t) = B A cos (ω t) .$

Bevor du drehst, eine Vorhersage: An welcher Stellung der Spule ist die Spannung am größten — dort, wo der Fluss maximal ist, oder dort, wo er gerade durch null geht?

Das Generatorprinzip zum Selberdrehen: Ziehe die Normale n (violett) im Kreis — die Spule (orange) rotiert im Feld B (grün), und rechts wachsen die Kurven mit: der Fluss Φ (cyan) und die induzierte Spannung U (rot). Zwei volle Umdrehungen passen auf die Achse.

Dreh langsam und beobachte die beiden Kurvenspitzen. Steht die Normale parallel zum Feld ( $α = 0^{\circ}$ ), ist der Fluss maximal — aber er ändert sich dort gerade nicht: Die Φ-Kurve läuft waagrecht, die Spannung ist null. Eine Vierteldrehung später ( $α = 9 0^{\circ}$ ) taucht die Spulenebene durch die Feldrichtung: Der Fluss ist null, fällt aber so steil wie nie — und genau dort ist die Spannung maximal. Die Spannungskurve ist die (negative) Steigung der Flusskurve, Punkt für Punkt.

Mit dem Induktionsgesetz wird aus der Beobachtung eine Formel. Die Ableitung von $Φ (t) = B A cos (ω t)$ ist $\dot{Φ} (t) = - B A ω sin (ω t)$ , also

$U_{i} (t) = - n \dot{Φ} (t) = U_{0} n B A ω sin (ω t) .$

Eine rotierende Spule liefert eine sinusförmige Wechselspannung mit der Scheitelspannung $U_{0} = n B A ω$ . Beachte das $ω$ im Produkt: Doppelt so schnell gedreht heißt doppelt so hohe Spannungsspitzen — genau das zeigt der Versuch mit dem t-y-Schreiber. Das Stromnetz dreht mit $f = 50 Hz$ , also $ω = 2 π f \approx 314 s^{- 1}$ .

Bleibt eine praktische Frage: Was bedeutet dann „230 V" auf dem Typenschild, wenn die Spannung doch ständig zwischen $+ U_{0}$ und $- U_{0}$ pendelt? Der Vergleichsversuch mit zwei gleich hellen Lämpchen — eines an Gleich-, eines an Wechselspannung — definiert die Antwort über die Leistung: Der Effektivwert einer Wechselspannung ist die Gleichspannung, die am ohmschen Widerstand dieselbe mittlere Leistung umsetzt. Für Sinusgrößen gilt

$U_{e f f} = \frac{U _{0}}{2}, I_{e f f} = \frac{I _{0}}{2}, P = U_{e f f} I_{e f f} .$

Messgeräte zeigen stets Effektivwerte an. „230 V Netzspannung" bedeutet also $U_{e f f} = 230 V$ — die Scheitelspannung liegt bei $U_{0} = 2 \cdot 230 V \approx 325 V$ , etwa das 1,4-Fache. Der Sinus aus diesem Abschnitt kommt übrigens direkt vom Einheitskreis: Die Spule ist der umlaufende Punkt, ihr Fluss die x-Koordinate.

Materialien (1)

Physische Manipulativa, die dieses Konzept konkret verankern — optional, gebrückt zum Symbol.

Zweikanal-Oszilloskop prop

Voraussetzungen (2)

Magnetischer Fluss und Induktionsgesetz

Klasse 12

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Alles zusammen am Einheitskreis

Klasse 10

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Eine Spule rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω in einem homogenen Magnetfeld. Wie hängt der magnetische Fluss durch die Spule von der Zeit ab?

● Φ(t) = B·A·cos(ωt)
○ Φ(t) = B·A·t
○ Φ(t) = B·A, also konstant
○ Φ(t) = B·A·ω

Wirksam ist nur die senkrecht zum Feld stehende Fläche A·cos φ, und bei gleichförmiger Rotation gilt φ = ωt. Der Fluss pendelt also kosinusförmig zwischen +B·A und −B·A.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Ein Multimeter im Wechselspannungsmodus zeigt 230 V an. Welche Größe ist das?

● Der Effektivwert der Spannung
○ Die Scheitelspannung
○ Der zeitliche Mittelwert der Spannung
○ Die momentane Spannung zum Ablesezeitpunkt

Messgeräte zeigen stets Effektivwerte an. Der zeitliche Mittelwert einer Sinusspannung wäre null und daher als Anzeige unbrauchbar.

Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Wie sind die Effektivwerte von Wechselspannung und Wechselstrom definiert?

● Über die gleiche Wirkleistung — ein Gleichstrom dieser Stärke setzt am Widerstand dieselbe Leistung um
○ Als die Maximalwerte von Spannung und Strom
○ Als die Hälfte der Scheitelwerte
○ Als Mittelwert über eine halbe Periode

Im Vergleichsversuch leuchten zwei gleiche Lämpchen an Gleich- und an Wechselspannung gleich hell: gleiche Wirkleistung. Am Oszilloskop zeigt sich dabei U₀ ≈ 1,4·U_Gleich, also U_eff = U₀/√2.

Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Die 230 V des Haushaltsnetzes sind die Scheitelspannung der Sinusschwingung.

✓ Falsch

230 V ist der Effektivwert. Der Scheitel liegt bei U₀ = √2 · 230 V ≈ 325 V — die Momentanspannung überschreitet 230 V in jeder Periode.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Warum liefert die gleichmäßig rotierende Spule gerade eine sinusförmige Spannung?

● Der Fluss folgt Φ(t) = B·A·cos(ωt), und die Spannung ist seine negative zeitliche Ableitung — ein Sinus
○ Weil der Generator die Spannung elektronisch glättet
○ Weil das Magnetfeld des Generators sinusförmig schwankt
○ Weil die Windungszahl der Spule periodisch wechselt

Das Induktionsgesetz U = −N·Φ̇ macht aus dem Kosinus des Flusses einen Sinus der Spannung: U(t) = N·B·A·ω·sin(ωt). Feld und Drehung bleiben dabei völlig gleichmäßig.

Mittel

Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Eine Spule (N = 100, A = 0,010 m²) rotiert mit ω = 100 1/s in einem homogenen Feld mit B = 0,20 T. Berechne die Scheitelspannung U₀ in Volt.

✓ Antwort: 20

U₀ = N·B·A·ω = 100 · 0,20 T · 0,010 m² · 100 1/s = 20 V. Die Scheitelspannung wächst mit jeder der vier Größen linear.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Die Netzspannung hat die Frequenz f = 50 Hz. Berechne die Periodendauer T in Millisekunden.

✓ Antwort: 20

T = 1/f = 1/50 s = 0,020 s = 20 ms. In jeder dieser Perioden durchläuft die Spannung einen vollen Sinuszug.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Die Scheitelspannung des Haushaltsnetzes beträgt etwa U₀ = 325 V. Berechne den Effektivwert U_eff = U₀/√2 in Volt. (√2 ≈ 1,414, auf ganze Zahl gerundet)

✓ Antwort: 230

U_eff = 325 V / 1,414 ≈ 230 V — die vertraute Netzspannung ist der Effektivwert, nicht der Scheitelwert.

Lückentext #4 10s ▶ Testen

Den Maximalwert U₀ der sinusförmigen Wechselspannung nennt man ___.

✓ Antwort: Scheitelspannung

U(t) = U₀·sin(ωt) pendelt zwischen +U₀ und −U₀. Der Betrag des Maximums heißt Scheitelspannung.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Ein Wechselspannungsmessgerät zeigt U_eff = 12 V an. Berechne die Scheitelspannung U₀ = √2·U_eff in Volt. (√2 ≈ 1,414, auf ganze Zahl gerundet)

✓ Antwort: 17

U₀ = 1,414 · 12 V ≈ 17 V. Für Bauteile zählt der Scheitelwert — sie müssen die 17 V aushalten, nicht nur die angezeigten 12 V.

Schwer

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

In welcher Stellung der rotierenden Spule ist die induzierte Spannung am größten?

● Wenn die Spulenfläche parallel zu den Feldlinien liegt — der Fluss ist dort null, ändert sich aber am schnellsten
○ Wenn die Spulenfläche senkrecht zu den Feldlinien liegt und der Fluss maximal ist
○ Wenn die Spule gerade stillsteht
○ Die Spannung ist in jeder Stellung gleich groß

Nicht der Fluss, sondern seine Änderungsrate bestimmt die Spannung. Beim Nulldurchgang des Flusses ist die Änderung maximal — dort liegt der Scheitel von U(t).

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

An einem ohmschen Widerstand liegen U_eff = 230 V an, es fließt I_eff = 2,0 A. Berechne die Wirkleistung P in Watt.

✓ Antwort: 460

Am ohmschen Widerstand gilt P = U_eff·I_eff = 230 V · 2,0 A = 460 W. Genau dafür sind die Effektivwerte gemacht — sie rechnen wie Gleichstromgrößen.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Die Drehfrequenz der Generatorspule wird verdoppelt, B, A und N bleiben unverändert. Um welchen Faktor wächst die Scheitelspannung? (Antwort als Zahl)

✓ Antwort: 2

U₀ = N·B·A·ω ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit. Der Versuch mit dem t-y-Schreiber zeigt genau diese Proportionalität zur Drehfrequenz.

Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Bei der Netzfrequenz 50 Hz wechselt die Spannung 100-mal pro Sekunde ihre Polung.

✓ Wahr

Jede Periode enthält zwei Nulldurchgänge mit Vorzeichenwechsel. Bei 50 Perioden pro Sekunde ergibt das 100 Polungswechsel.

🧮 Materialien (1)

Voraussetzungen (2)

Materialien (1)