Quadratzahlen bis 400

Ein Quadrat aus Punkten

Lege Punkte in Reihen, alle Reihen gleich lang. Mit − und + machst du mehr oder weniger Reihen und längere oder kürzere. Manchmal entsteht ein Feld, das genauso breit wie hoch ist.

Ein solches Feld hat einen Namen.

Lege 5 Reihen zu je 5 Punkten. Das Feld ist genauso breit wie hoch: ein Quadrat. Es hat 5 · 5 = 25 Punkte. Weil der Faktor zweimal derselbe ist, schreibt man kurz $5^2=5\cdot 5=25$ und sagt „5 hoch 2“ oder „5 Quadrat“. Eine Zahl, die so entsteht, heißt Quadratzahl: 25 ist eine, weil man aus 25 Punkten ein Quadrat legen kann.

Aus 24 Punkten kannst du 4 Reihen zu je 6 legen — das ist ein Rechteck, kein Quadrat. 24 ist darum keine Quadratzahl.

Nicht zwei Reihen, sondern alle

Die kleine 2 verführt zu einem Fehler: $6^2$ sieht aus wie „6 und 2“, und viele rechnen 6 · 2 = 12 oder 6 + 6 = 12. Am Punktefeld siehst du, was dabei fehlt. 6 · 2 sind nur zwei Reihen zu je 6 Punkten. 6² sind alle sechs Reihen: 6 · 6 = 36.

Die 2 sagt also nicht „mal 2“, sondern: Die Zahl wird zweimal als Faktor genommen.

Die Diagonale des Einmaleins

Die zehn ersten Quadratzahlen kennst du schon. Sie stehen im Einmaleins auf der Diagonale, dort, wo eine Zahl mit sich selbst malgenommen wird:

Diese zehn sind der feste Boden. Die nächsten zehn bis 20² = 400 sind keine neuen Geheimnisse: Du baust sie aus diesen hier — in den nächsten beiden Abschnitten.

13² in vier Stücke

13² ist ein Quadrat aus 13 Reihen zu je 13 Kästchen. Zählen musst du die nicht. Schneide das Quadrat bei 10 durch, einmal waagerecht und einmal senkrecht. Dann zerfällt es in vier Stücke, die du alle kennst:

• das Zehnerquadrat 10 · 10 = 100,
• zwei Streifen 10 · 3 = 30, einer rechts und einer unten,
• das kleine Quadrat 3 · 3 = 9 in der Ecke.

Zusammen: $13^2=100+30+30+9=169$. Die 169 ist also keine willkürliche Zahl — sie ist 100 und zwei Streifen und 9.

Wo die 109 herkommt

Mia hat gerechnet: 13 ist 10 und 3, also $13^2=10^2+3^2=109$. Im Bild hat sie nur das Zehnerquadrat und das kleine Quadrat gezählt. Die beiden Streifen fehlen — 60 Kästchen, die genauso zum Quadrat gehören.

Der Fehler ist verführerisch, weil er beim Malnehmen klappt: 2 · 13 = 2 · 10 + 2 · 3. Beim Quadrieren wird aber die ganze 13 mit der ganzen 13 malgenommen — und dabei trifft die 10 auch auf die 3, zweimal.

Für jede Zahl von 11 bis 19

Derselbe Schnitt klappt bei jeder Zahl zwischen 10 und 20. Die Streifen sind immer 10 · (Einer), und es sind immer zwei:

$14^2=100+2\cdot 40+16=100+80+16=196$

Kurz gesagt: 100 plus zweimal zehnmal die Einerziffer plus das Quadrat der Einerziffer. In der 7. Klasse begegnet dir genau dieses Bild wieder, dann mit Buchstaben: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.

Ein Winkel mehr

Aus dem Quadrat 4 · 4 wird das Quadrat 5 · 5, wenn du eine Reihe und eine Spalte anlegst. Rechts kommt eine Spalte aus 4 Punkten dazu, unten eine Reihe aus 5 Punkten — zusammen ein Winkel aus 4 + 5 = 9 Punkten. Also $5^2=16+4+5=25$.

Das klappt bei jeder Größe. Der Winkel besteht immer aus den beiden Nachbarzahlen, der alten Seite und der neuen. Von 15² = 225 aus: $16^2=225+15+16=256$.

Rückwärts von 400

20² = 400 ist leicht: 2 · 2 = 4, dazu zwei Nullen. Von diesem Anker aus gehst du rückwärts und nimmst den Winkel weg — eine Reihe aus 20 und eine Spalte aus 19:

$19^2=400-20-19=361$  und weiter  $18^2=361-19-18=324$

Achtung: Wer nur um 1 weiterzählt (16² = 226) oder nur einen Nachbarn nimmt (16² = 241), verliert einen Teil des Winkels.

Die Abstände sind die ungeraden Zahlen

Schau dir die Winkel der Reihe nach an: 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 4 = 7, … Zwei Nachbarzahlen ergeben immer eine ungerade Zahl. Darum springen die Quadratzahlen in den Schritten 3, 5, 7, 9, 11, …

Umgekehrt ist jede Quadratzahl eine Summe ungerader Zahlen: 1 + 3 + 5 = 9 = 3². Dass die Sprünge immer größer werden, nennt man später quadratisches Wachstum.

Die letzte Ziffer

Die letzte Ziffer einer Quadratzahl hängt nur von der letzten Ziffer der Seite ab: 13² endet wie 3² auf 9, 18² endet wie 8² auf 4. Geht man alle zehn Endziffern durch, kommen nur sechs heraus:

Eine Quadratzahl endet also nie auf 2, 3, 7 oder 8. 248 kann darum keine Quadratzahl sein — ohne dass du rechnen musst. Umgekehrt beweist eine passende Endziffer nichts: 21 endet auf 1 und ist trotzdem keine Quadratzahl.

Zwischen zwei Quadratzahlen

Liegt eine Zahl nicht auf einer Quadratzahl, dann liegt sie zwischen zwei benachbarten. Für 300 suchst du die Quadratzahlen davor und danach: 17² = 289 ist kleiner, 18² = 324 ist größer.

Ein quadratischer Platz mit 300 m² Fläche hat also eine Seite zwischen 17 m und 18 m.

Rückwärts fragen

„Welche Zahl mal sich selbst ergibt 289?“ Halbieren hilft hier nicht — 289 ist nicht 2 · n, sondern n · n. Zwei Fragen grenzen die Zahl ein:

• Wie groß? 289 liegt zwischen 15² = 225 und 20² = 400, die Zahl also zwischen 15 und 20.
• Welche Endziffer? 289 endet auf 9, die Seite also auf 3 oder 7.

Zwischen 15 und 20 mit Endziffer 3 oder 7 gibt es nur die 17. Probe: 17 · 17 = 289. In der 9. Klasse heißt diese Rückwärtsfrage Wurzelziehen: $\sqrt{289}=17$.