Zerlegen am Quadrat — 13² = 100 + 30 + 30 + 9

13² in vier Stücke

13² ist ein Quadrat aus 13 Reihen zu je 13 Kästchen. Zählen musst du die nicht. Schneide das Quadrat bei 10 durch, einmal waagerecht und einmal senkrecht. Dann zerfällt es in vier Stücke, die du alle kennst:

• das Zehnerquadrat 10 · 10 = 100,
• zwei Streifen 10 · 3 = 30, einer rechts und einer unten,
• das kleine Quadrat 3 · 3 = 9 in der Ecke.

Zusammen: $13^2=100+30+30+9=169$. Die 169 ist also keine willkürliche Zahl — sie ist 100 und zwei Streifen und 9.

Wo die 109 herkommt

Mia hat gerechnet: 13 ist 10 und 3, also $13^2=10^2+3^2=109$. Im Bild hat sie nur das Zehnerquadrat und das kleine Quadrat gezählt. Die beiden Streifen fehlen — 60 Kästchen, die genauso zum Quadrat gehören.

Der Fehler ist verführerisch, weil er beim Malnehmen klappt: 2 · 13 = 2 · 10 + 2 · 3. Beim Quadrieren wird aber die ganze 13 mit der ganzen 13 malgenommen — und dabei trifft die 10 auch auf die 3, zweimal.

Für jede Zahl von 11 bis 19

Derselbe Schnitt klappt bei jeder Zahl zwischen 10 und 20. Die Streifen sind immer 10 · (Einer), und es sind immer zwei:

$14^2=100+2\cdot 40+16=100+80+16=196$

Kurz gesagt: 100 plus zweimal zehnmal die Einerziffer plus das Quadrat der Einerziffer. In der 7. Klasse begegnet dir genau dieses Bild wieder, dann mit Buchstaben: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.