Kochen ohne Feuer — der Induktionsherd

Beginnen wir unter dem Glas. Dort liegt eine flache Spule, durch die ein Wechselstrom fließt. Die Frequenz $f$ zählt, wie oft er pro Sekunde hin- und herschwingt: Die Steckdose liefert 50 Hertz, also 50 volle Schwingungen pro Sekunde, die Spule des Herds 25 000 bis 50 000. Ihr Magnetfeld kennst du als Feldlinienbild einer Spule: Die Linien treten oben aus der Spule aus, stehen senkrecht durch das Glas, das Papier und den Boden des Topfes — und klappen 25 000-mal pro Sekunde um.

Wie viel Feld durch eine Fläche tritt, misst der magnetische Fluss $\Phi =B\cdot A$. Nimm im Topfboden einen Kreis mit 5 cm Radius und, als runden Modellwert, eine Flussdichte von höchstens $\hat{B}=10\text{mT}$: Dann ist $\hat{\Phi }=0,010\text{T}\cdot \pi \cdot (0,05\text{m}{)}^2\approx 7,9\cdot 10^{-5}\text{Wb}$, und weil das Feld umklappt, schwingt der Fluss zwischen $+\hat{\Phi }$ und $-\hat{\Phi }$. Der Topfboden aus Stahl ist ein Leiter, aber kein Draht ist darin zu einem Stromkreis gebogen. Sage voraus: Was passiert in einem massiven Stück Metall, wenn sich der Fluss durch seine Fläche ständig ändert?

Lies zuerst den Chip ${\bar{U}}_{ind}$. Nach dem Induktionsgesetz ist die Spannung längs des Rings so groß wie die Änderungsrate des Flusses. In einer Viertelschwingung fällt der Fluss von $\hat{\Phi }$ auf null, im Mittel also mit $\bar{U}=\hat{\Phi }/\frac{T}{4}=4f\hat{\Phi }$. Mit den Zahlen von oben: $4\cdot 25000\frac{1}{\text{s}}\cdot 7,9\cdot 10^{-5}\text{Wb}\approx 7,9\text{V}$. Der Boden ist der Stromkreis: Weil das Metall in jeder Richtung leitet, treibt diese Spannung Ströme, die sich zu Kreisen schließen — die orangen Ringe, wie kleine Strudel im Wasser. Man nennt sie Wirbelströme.

Jede Strombahn hat einen Widerstand $R=U/I$, also treibt die doppelte Spannung den doppelten Strom. Und aus $P=U\cdot I$ wird mit $U=R\cdot I$ die Leistung $P=R\cdot I^2$: doppelter Strom, vierfache Wärme. Schiebe f von 25 auf 50 kHz, und die Chips zeigen genau das — $\bar{U}$ von 7,9 auf 15,7 V, $I_W$ von 100 auf 200 %, P von 100 auf 400 %. Die Wirbelströme setzen elektrische Energie in Joulesche Wärme um, mitten im Topfboden: Der Topf ist sein eigenes Heizelement. Bei 0,05 kHz, den 50 Hz der Steckdose, bleiben rund 0,02 V und praktisch null Watt — erst die hohe Frequenz macht aus dem Effekt einen Herd. Dieses Modell rechnet so, als durchsetze das Feld den ganzen Boden gleichmäßig.

Schalte jetzt auf den Topfboden aus Glas. Der Chip ${\bar{U}}_{ind}$ bleibt bei 7,9 V — das Feld geht durch Glas hindurch, und die Spannung wird auch dort induziert. Aber $I_W$ und P fallen auf null: Glas hat keine freien Ladungsträger, die Kette reißt beim dritten Glied. Dasselbe gilt für das Papier aus dem Einstieg. Den Laborzwilling kennst du vom Ringpendel: Ein Aluminiumring, der in ein Magnetfeld schwingt, wird gebremst; ein geschlitzter Ring nicht, denn der Schlitz unterbricht die Strombahn. Der Topfboden ist tausende solcher Ringe, ineinander geschachtelt.

Nur der Aluminiumtopf passt nicht in die Kette. Aluminium leitet rund 22-mal besser als der Stahl eines Topfbodens (spezifischer Widerstand $2,7\cdot 10^{-8}$ gegen $6,0\cdot 10^{-7}\Omega \text{m}$). Dieselbe Spannung triebe also einen 22-mal größeren Strom, und mit $P=U\cdot I$ käme 22-mal so viel Wärme heraus. Der Alutopf müsste heißer werden als der Stahltopf — er bleibt fast kalt. Die Kette rechnet mit der Größe der Ströme, nicht mit ihrer Richtung. Welche Richtung haben sie?

Die Wirbelströme im Topfboden haben eine Richtung — und die ist kein Zufall. Aus dem Kapitel zur Lenzschen Regel kennst du den Satz: Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er der Ursache seiner Entstehung entgegenwirkt. Viele merken sich daraus „das induzierte Feld ist dem äußeren Feld entgegengesetzt". Klingt fast gleich — ist aber falsch, und der folgende Versuch trennt die beiden Sätze, weil sie für ihn Gegenteiliges vorhersagen.

Ein leichter Metallring hängt drehbar vor dem Nordpol eines Stabmagneten. Das Feld $B$ des Magneten (blau) zeigt am Ring immer vom Nordpol weg, nach links. Der Chip $\dot{\Phi }$ zeigt, wie schnell sich der Fluss durch den Ring ändert, der rote Pfeil $B_i$ das Feld des Induktionsstroms, der orange Pfeil F die Kraft auf den Ring.

Beim Annähern wächst der Fluss ($\dot{\Phi }>0$), $B_i$ zeigt gegen $B$, und der Ring wird weggedrückt. Beim Wegziehen schrumpft der Fluss ($\dot{\Phi }<0$): $B_i$ zeigt jetzt parallel zu $B$, und der Ring folgt dem Magneten. Wäre das induzierte Feld immer dem äußeren entgegengesetzt, müsste er auch jetzt zurückweichen. Die Lenzsche Regel heißt also: der Änderung des Flusses entgegen — nicht der Feldrichtung. Warum sie so herum gelten muss, sagt die Energieerhaltung: Würde der Induktionsstrom die Änderung verstärken, zöge der Ring den heranfliegenden Magneten noch schneller an sich, und aus dem Nichts entstünde Bewegungsenergie. Wer den Fluss ändert, muss gegen die Kraft F Arbeit verrichten — genau diese Arbeit landet als elektrische Energie im Ring.

Jetzt ein Rennen. Ein starker Magnet fällt durch zwei gleiche, 1 m lange Kupferrohre — eines ist geschlossen, in das andere ist der Länge nach ein Schlitz gefräst. Sage voraus: Wer kommt zuerst unten an, und wie deutlich?

Magnet 2 ist nach 0,44 s unten, im freien Fall mit bis zu 4,3 m/s. Magnet 1 sinkt mit 0,10 m/s und braucht 9,4 s. Im geschlossenen Rohr sieht jeder Rohrabschnitt den Fluss des herannahenden Magneten wachsen und den des davonfallenden schrumpfen; vor dem Magneten stemmen sich die Wirbelströme gegen die Zunahme, hinter ihm gegen die Abnahme. Beides bremst die Bewegung, und je schneller der Magnet fällt, desto stärker — bis die Bremskraft so groß ist wie sein Gewicht und er mit konstanter Geschwindigkeit sinkt. Im geschlitzten Rohr können sich die Kreisströme nicht schließen, und der Magnet fällt fast frei. Dasselbe zeigt das Waltenhofensche Pendel: Eine massive Metallscheibe bleibt zwischen den Polen eines Elektromagneten fast stehen, eine geschlitzte pendelt weiter.

Diese Bremse fährt Zug: Die Wirbelstrombremse des ICE 3 senkt Elektromagnete dicht über die Schiene; die Flussänderung induziert Wirbelströme in der Schiene, deren Feld die Bewegung hemmt. Ohne Kontakt, ohne Verschleiß, stufenlos — aber die Flussänderung ist proportional zur Geschwindigkeit, und bei niedrigem Tempo ist es auch die Bremskraft: Bei halbem Tempo bremst sie nur noch halb so stark, im Stand gar nicht. Die letzten Meter übernimmt die Reibungsbremse.

Und der Herd? Im Topfboden ändert sich der Fluss 25 000-mal pro Sekunde, und die Wirbelströme stemmen sich in jedem Augenblick gegen diese Änderung. Ihr Feld wirkt der Änderung des Spulenfelds entgegen — in der untersten Schicht des Bodens, wo das Spulenfeld zuerst ankommt, fängt es einen großen Teil davon ab. Wie tief kommt das Feld dann überhaupt noch in den Boden?

Das Modell vom Anfang rechnete so, als durchsetze das Feld den ganzen Topfboden gleichmäßig. Die Lenzsche Regel zeigt, warum das nicht stimmen kann: Die Wirbelströme stemmen sich gegen jede Änderung des Flusses, und die erste Schicht Metall, die das Wechselfeld erreicht, fängt einen Teil davon ab. Die nächste Schicht bekommt also weniger Feld, die übernächste noch weniger. Die Kurve unten zeigt, wie viel vom Magnetfeld in der Tiefe $x$ über der Unterseite des Bodens noch ankommt — ohne Wirbelströme wäre sie eine waagerechte Linie bei 1.

Bei 25 kHz ist das Feld im Stahl nach 0,25 mm auf $1/e\approx 37\%$ gefallen, nach 1 mm auf unter 2 %. Diese Tiefe heißt Eindringtiefe $\delta$ (gesprochen „delta"), und dass das Wechselfeld samt Wirbelströmen in einer dünnen Haut an der Oberfläche bleibt, heißt Skineffekt (englisch skin, Haut). Sie hängt vom spezifischen Widerstand $\rho$ und von der Permeabilitätszahl ${\mu }_r$ ab — der Zahl, um die ein Eisenkern das Feld einer Spule verstärkt; für den Stahl eines Topfbodens nehmen wir rund 100 an, für Aluminium ist sie 1: $\delta =\sqrt{2\rho /(2\pi f\cdot {\mu }_0{\mu }_r)}$. Vierfache Frequenz, halbe Tiefe: Bei 100 kHz zeigt der Chip 0,12 mm. Bei den 50 Hz der Steckdose wären es 5,5 mm, mehr als der ganze Boden — dort durchsetzt das Feld den Boden wirklich, und das einfache Modell vom Anfang gilt.

Die ganze Joulesche Wärme entsteht also in den untersten Zehntelmillimetern Stahl. Das ändert, wie die Leistung mit f wächst. Die Wirbelströme werden nie stärker, als nötig ist, um das Feld abzufangen; bei gleichem Spulenstrom fließt in der Haut deshalb ungefähr derselbe Strom, egal wie hoch f ist. Mit $P=R\cdot I^2$ entscheidet dann der Widerstand der Haut, und der wächst mit $\rho /\delta$, also mit $\sqrt{f}$. Schiebe f von 25 auf 50 kHz: Der Chip $P_{Fe}$ steigt von 100 auf 141 %, nicht auf 400 % wie im einfachen Modell.

Jetzt der Alutopf. Sein Feld reicht tiefer, 0,52 mm bei 25 kHz, aber der Strom fließt in einem Metall, das 22-mal besser leitet. Der Widerstand der Haut ist im Stahl $6,0\cdot 10^{-7}\Omega \text{m}/0,25\text{mm}\approx 2,4\text{m}\Omega$, im Aluminium $2,7\cdot 10^{-8}\Omega \text{m}/0,52\text{mm}\approx 0,052\text{m}\Omega$ — 47-mal kleiner. Bei gleichem Strom nimmt der Alutopf also nur rund 2 % der Leistung auf; der Chip $P_{Al}$ zeigt 2,1 %, und keine Frequenz des Herds holt das auf. Der Fehler des einfachen Modells war, gleiche Spannung anzunehmen; gleich ist der Strom, den das Feld erzwingt. Deshalb hat ein induktionstauglicher Alutopf eine aufgepresste Stahlscheibe im Boden, und Kupfer scheitert aus demselben Grund. Bleibt die Frage, wie viel der Energie, die in dieser Haut ankommt, im Wasser landet.

Ein Verdacht liegt nach drei Abschnitten noch immer in der Luft: Irgendwie muss die Wärme doch „von unten nach oben" fließen — von der Platte in den Topf, wie beim alten Herd. Die ehrliche Antwort der Energiebilanz lautet: Nein. Verfolgen wir die Energie Station für Station.

Station 1 → 2: Das Netz treibt den hochfrequenten Strom durch die Spule; die elektrische Energie steckt nun im magnetischen Wechselfeld. Station 2 → 3: Die Flussänderung treibt die Wirbelströme in der Haut des Topfbodens. Hier steckt die Lenzsche Regel in der Bilanz: Die Gegenfelder der Wirbelströme wirken auf die Spule zurück, und genau die elektrische Arbeit, die das Netz gegen diese Rückwirkung verrichtet, wandert in den Boden — wie die Arbeit gegen die Kraft F am Metallring vor dem Magneten. Station 3 → 4: Der Widerstand des Stahls verwandelt die Wirbelströme in innere Energie — das Wasser kocht. Die warme Kochzone vom Anfang ist kein Glied der Kette, sondern ihr Nachzügler: Der heiße Topfboden gibt einen kleinen Teil seiner Wärme nach unten an das Glas ab.

Wie viel Energie ist das? Um 1 kg Wasser um 1 K zu erwärmen, braucht man 4,19 kJ; für einen Liter von 20 auf 100 °C also $Q=m\cdot c\cdot \Delta T=1\text{kg}\cdot 4,19\frac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 80\text{K}\approx 335\text{kJ}$. Der Wirkungsgrad ist, wie bei jeder Maschine, Nutzen durch Aufwand: $\eta =Q/E$, mit der Energie $E$ aus dem Netz. Messungen für das US-Energieministerium und das ENERGY-STAR-Programm geben für Induktion rund 85 % an, für Glaskeramik- und Gussplatten 5 bis 10 Prozentpunkte weniger, für Gas rund 32 % — je nach Topf und Prüfverfahren streuen die Werte. Die Figur rechnet mit 85 % und 75 %.

Für einen Liter zieht der Induktionsherd 394 kJ aus dem Netz; 335 kJ landen im Wasser, 59 kJ gehen verloren, und bei 3,0 kW dauert das 131 s — die gut zwei Minuten aus dem Einstieg. Die Glaskeramik braucht 447 kJ und verliert 112 kJ, fast doppelt so viel, und dazu kommt die Zeit, bis ihre Platte selbst heiß ist; der Gasherd bräuchte rund 1 050 kJ. Achte auf die gestrichelte Linie: Beide Säulen sind immer gleich hoch. Die Energie geht nicht verloren, sie landet nur an der falschen Stelle — in der Küchenluft, in der Platte, in den Abgasen. Gegenüber der Glaskeramik spart Induktion so rund ein Achtel des Stroms: spürbar, aber kein Wunder.

Die 59 kJ Verlust des Induktionsherds wärmen die Elektronik und die Spule selbst, die ebenfalls einen Widerstand hat (daher der Lüfter), und die Topfwand, die an die Luft abstrahlt. Ohne Topf entsteht dagegen gar keine Wärme: Wo kein Leiter ist, findet die Flussänderung keinen Abnehmer, wie beim Glastopf.

Damit ist der Herd erklärt — mit dem Induktionsgesetz, der Lenzschen Regel und der Energieerhaltung. Einige Zahlen dieses Artikels sind Modellwerte: die 10 mT im Boden, die Permeabilitätszahl 100 des Stahls, die runden Wirkungsgrade; Hystereseverluste im Stahl und die Elektronik des Herds haben wir weggelassen. Die Schlüsse hängen nicht an der dritten Stelle: Strom fließt nur im Leiter, das Feld bleibt in einer Haut von Zehntelmillimetern, Aluminium nimmt nur wenige Prozent der Leistung auf, und beide Seiten der Bilanz sind gleich groß. Dieselbe Rückwirkung des Magnetfelds auf seinen eigenen Stromkreis tritt auch ohne Topf auf — die Spule wirkt auf sich selbst zurück. Das ist die Selbstinduktion, das Thema des nächsten Kapitels.