Die Sekante parametrisieren

Parametrizing the Secant

Mathematik Klasse 11 16 Aufgaben

AnalysisAbleitungenLineare Funktionen

Jede Gerade y = m·x + t hat zwei Kennzahlen: die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t, die Höhe bei x = 0. Die Station liest m und t an Gleichung und Graph ab, berechnet t aus einem Punkt und der Steigung (t = y₀ − m·x₀) und stellt so die Gleichung einer Sekante auf; die Punktprobe kontrolliert sie. Sie räumt aus, t mit dem Funktionswert y₀ oder mit y₀ + m·x₀ zu verwechseln und m und t zu vertauschen (Clement 1989). Bereitet den Differenzenquotienten als Steigung m der Sekante und später die Tangentengleichung vor.

Die Sekante ist eine Gerade, und für die Steilheit einer Geraden kennst du aus Klasse 8 eine Zahl. Jede Gerade lässt sich durch zwei Parameter beschreiben: die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $t$ . Die Gleichung lautet:

y = m \cdot x + t

Nimm die Gerade aus Klasse 8, $y = 2 x + 1$ . Sie trifft die y-Achse bei $(0 ∣ 1)$ , und ihr Steigungsdreieck (grün in der Figur) reicht 1 nach rechts und 2 nach oben: 1 nach rechts heißt m nach oben. Wie groß das Dreieck ist, spielt keine Rolle: Von $A (1 ∣ 3)$ aus heißt 2 nach rechts 4 nach oben, bis $B (3 ∣ 7)$ , und $4 : 2 = 2$ .

Verändere erst den y-Achsenabschnitt, dann die Steigung, und beobachte: Wo schneidet die Gerade den Graphen? Die Startgerade trifft ihn nur ein einziges Mal, rechts oben außerhalb des Bildes bei $x \approx 3, 6$ . Nicht jede Gerade ist eine Sekante — dazu muss sie den Graphen in mindestens zwei Punkten treffen.

Ändere erst t, dann m: Bei welchen Einstellungen trifft die Gerade den Graphen in zwei Punkten?

Im zweiten Bild bestimmen die Punkte die Gerade: Verschiebe P₀ und ändere $Δ x$ , und lies m und t der Sekante an den Chips ab. Bei $x_{0} = 1$ und $Δ x = 2$ zeigt der m-Chip 1,5. Woher kommt t? $P_{0} (1 ∣ 0, 5)$ liegt auf der Geraden, also gilt $0, 5 = 1, 5 \cdot 1 + t$ . Den Punkt einsetzen und nach t auflösen ergibt $t = 0, 5 - 1, 5 = - 1$ , genau der Wert des t-Chips. Nicht verwechseln: t ist nicht die Höhe von P₀ (0,5), sondern die Höhe der Geraden über $x = 0$ .

So bekommst du t aus einem Punkt und der Steigung, für jeden Punkt $(x_{0} ∣ y_{0})$ der Geraden:

t = y_{0} - m \cdot x_{0}

Die Chips $y_{0}$ und $m \cdot x_{0}$ unter dem zweiten Bild zeigen die beiden Zahlen, die der t-Chip voneinander abzieht. Die Sekante lautet $y = 1, 5 \cdot x - 1$ . Die Punktprobe bestätigt es: Für $x = 3$ gibt sie $y = 1, 5 \cdot 3 - 1 = 3, 5$ , und genau dort liegt $P_{1} (3 ∣ 3, 5)$ .

Verschiebe P₀ und ändere Δx. Ist t immer y₀ minus m · x₀? Wie verändern sich m und t, wenn die Sekante steiler wird?

Offen ist noch, wie der Chip die 1,5 aus den beiden Punkten gewinnt.

Voraussetzungen (1)

Die Sekante

Klasse 11

›

Ermöglicht (1)

Die Tangentengleichung

Klasse 11

›

Leicht

Multiple Choice #1 10s ▶ Testen

Eine Gerade mit y = 2x + 1 hat welche Steigung?

● 2
○ 1
○ 3

In y = mx + t ist m = 2 die Steigung; die 1 ist der y-Achsenabschnitt t, die 3 addiert m und t.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche Gleichung hat die abgebildete Gerade?

● y = −2x + 3
○ y = 3x − 2
○ y = 2x + 3

Sie schneidet die y-Achse bei 3, also t = 3, und fällt: Pro Schritt nach rechts geht es 2 nach unten, also m = −2. y = 3x − 2 vertauscht m und t, y = 2x + 3 übersieht das Fallen.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die abgebildete Gerade hat die Gleichung y = −0,5x + 2.

✓ Wahr

Sie schneidet die y-Achse bei 2 (t = 2) und geht durch (4 | 0): Auf 4 Schritte nach rechts kommen 2 nach unten, also m = −2/4 = −0,5.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Bei der Geraden y = 0,5x + 2 ist der y-Achsenabschnitt t = 2.

✓ Wahr

t ist die Höhe bei x = 0: Für x = 0 ist y = 0,5 · 0 + 2 = 2, also t = 2. Die 0,5 ist die Steigung m, nicht t.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Eine Gerade hat die Steigung 2 und geht durch den Punkt (3 | 5). Welchen y-Achsenabschnitt t hat sie?

● −1
○ 5
○ 11

Aus 5 = 2 · 3 + t folgt t = 5 − 6 = −1. Die 5 übernimmt den Funktionswert y₀ als t, die 11 rechnet y₀ + m·x₀ = 5 + 6.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Eine Gerade mit der Steigung 3 durch den Punkt (2 | 4) hat den y-Achsenabschnitt t = 4.

✓ Falsch

Aus 4 = 3 · 2 + t folgt t = 4 − 6 = −2. Der Punkt (2 | 4) liegt bei x = 2, nicht bei x = 0; die 4 ist deshalb nicht der Achsenabschnitt.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Die Sekante durch P₀(2 | 0,5) hat die Steigung m = 3. Welche Gleichung hat sie?

● y = 3x − 5,5
○ y = 3x + 0,5
○ y = 3x + 6,5

t = y₀ − m·x₀ = 0,5 − 3 · 2 = −5,5. y = 3x + 0,5 nimmt y₀ als t, y = 3x + 6,5 rechnet y₀ + m·x₀.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welche Gleichung hat die abgebildete Sekante durch P₀ und P₁?

● y = x + 0,5
○ y = 0,5x + 1
○ y = x − 0,5

P₀ liegt auf der y-Achse in der Höhe 0,5: t = 0,5. Von P₀ nach P₁ geht es 3 nach rechts und 3 nach oben, also m = 1. y = 0,5x + 1 vertauscht m und t, y = x − 0,5 hat das falsche Vorzeichen bei t.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Der markierte Punkt P(0 | 0,5) liegt auf der abgebildeten Geraden y = 3x − 5,5.

✓ Falsch

Für x = 0 gibt die Gleichung y = 3 · 0 − 5,5 = −5,5, nicht 0,5. Der Punkt erfüllt die Gleichung nicht, er liegt nicht auf der Geraden.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Gerade hat die Gleichung y = −1,5x + 4. Wie groß ist ihre Steigung m?

✓ Antwort: -1.5

In y = m·x + t steht m vor dem x: m = −1,5. Die 4 ist der y-Achsenabschnitt t.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Eine Gerade mit der Steigung m = −1 geht durch den Punkt (2 | 5). Berechne t.

✓ Antwort: 7

t = y₀ − m · x₀ = 5 − (−1) · 2 = 5 + 2 = 7. Bei negativem m wird aus dem Minus ein Plus.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Sekante hat die Gleichung y = 1,5x − 1. Welchen y-Wert hat sie bei x = 5?

✓ Antwort: 6.5

y = 1,5 · 5 − 1 = 7,5 − 1 = 6,5.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für die Gerade y = 0,5x − 1 gilt: Bei x = 4 liegt sie in welcher Höhe y?

✓ Antwort: 1

y = 0,5 · 4 − 1 = 2 − 1 = 1.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Eine Taxifahrt kostet y = 2x + t (in €, x in km). Eine Fahrt über 4 km kostet 11 €. Wie hoch ist die Grundgebühr t (in €)?

✓ Antwort: 3

Aus 11 = 2 · 4 + t folgt t = 11 − 8 = 3. Die Grundgebühr ist der Preis bei 0 km.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Sekante durch den Graphenpunkt (3 | 3,5) hat die Steigung 4. Berechne ihren y-Achsenabschnitt t.

✓ Antwort: -8.5

t = y₀ − m·x₀ = 3,5 − 4 · 3 = 3,5 − 12 = −8,5.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Für f(x) = 0,5 · (x³ − 3x² + 2x + 1) liegen P₀ bei x₀ = 2 und P₁ bei x₁ = 4 auf dem Graphen. Berechne die Punkte, die Steigung m der Sekante durch P₀ und P₁ (Höhenunterschied durch Abstand der Stellen), dann t und schreibe die Gleichung y = m·x + t auf. Kontrolliere mit einer Punktprobe an P₁. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f(2) = 0,5 · (8 − 12 + 4 + 1) = 0,5, also P₀(2 | 0,5). f(4) = 0,5 · (64 − 48 + 8 + 1) = 12,5, also P₁(4 | 12,5). m = (12,5 − 0,5)/(4 − 2) = 12/2 = 6. t = y₀ − m·x₀ = 0,5 − 6 · 2 = −11,5. Gleichung: y = 6x − 11,5. Punktprobe: Für x = 4 ist 6 · 4 − 11,5 = 12,5 = f(4), stimmt.

Erst die beiden Punkte, dann m = 12 : 2 = 6 (Höhenunterschied durch Δx, wie beim Steigungsdreieck), dann t = 0,5 − 6 · 2 = −11,5. Die Punktprobe an P₁ bestätigt: 6 · 4 − 11,5 = 12,5.