Addieren und Subtrahieren

Adding and subtracting

Mathematik Klasse 8 13 Aufgaben
AlgebraBrücheTerme

Bruchterme mit gleichem Nenner werden addiert, indem man die Zähler addiert und den Nenner behält; bei verschiedenen Nennern wird zuerst auf den Hauptnenner erweitert, der jeden vorkommenden Faktor enthält. Steht ein Minus vor dem Bruch, gilt es für den ganzen Zähler und verlangt eine Klammer. Der Abschnitt räumt aus, Zähler und Nenner getrennt zu addieren, den Zähler beim Erweitern zu vergessen und das Minus nur auf den ersten Summanden zu beziehen. Er bereitet Bruchgleichungen und die Pumpenaufgabe 1/x + 1/(x + 3) vor.

Gleicher Nenner

Haben zwei Bruchterme denselben Nenner, addierst du nur die Zähler, der Nenner bleibt: . Es ist wie bei 2/5 + 1/5 = 3/5: Fünftel bleiben Fünftel. Die Nenner werden nie mit addiert, 8/(2x) wäre falsch. Auch bei Differenzen bleibt der Nenner stehen: 9/(2x) − 3/(2x) = 6/(2x).

Der Hauptnenner

Bei verschiedenen Nennern erweiterst du beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Der Hauptnenner enthält jeden vorkommenden Faktor, hier x(x + 1). Jeder Bruch wird mit dem Faktor erweitert, der ihm fehlt: . Wer Zähler und Nenner getrennt addiert, erhält 2/(2x + 1), einen anderen Term. Zur Probe setzt du x = 1 ein: 1 + 1/2 = 3/2, und (2 · 1 + 1)/(1 · 2) = 3/2.

Verändere x. Welche Form liefert denselben Wert wie die Summe 1/x + 1/(x + 1)?

Minus vor dem Bruch

Steht vor einem Bruch ein Minus, gilt es für den ganzen Zähler. Setze deshalb eine Klammer: . Ohne Klammer entstünde 3 − x − 2 = 1 − x, und das Vorzeichen der 2 wäre falsch. Für x = 1 ist das 3 − (−1) = 4, und (5 − 1)/1 = 4.

Verändere x und vergleiche den direkten Wert mit beiden Formen.

Voraussetzungen (1)

Erweitern und Kürzen
Klasse 8
›

Ermöglicht (1)

Bruchgleichungen lösen
Klasse 8
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich 3/x + 5/x?

  • ● 8/x
  • ○ 8/(2x)
  • ○ 8/x²
Bei gleichem Nenner werden nur die Zähler addiert: (3 + 5)/x = 8/x. 8/(2x) addiert auch die Nenner, 8/x² multipliziert sie.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Streifen zeigen 2/5 und 1/5. Welcher Bruch ist ihre Summe?

  • ● 3/5
  • ○ 3/10
  • ○ 2/25
Fünftel bleiben Fünftel: 2 Stück und 1 Stück sind 3 Stück, also 3/5. 3/10 addiert die Nenner, 2/25 multipliziert Zähler und Nenner.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich 1/x + 1/(x + 1)?

  • ● (2x + 1)/(x(x + 1))
  • ○ 2/(2x + 1)
  • ○ 2/(x(x + 1))
Hauptnenner x(x + 1): (x + 1)/(x(x + 1)) + x/(x(x + 1)) = (2x + 1)/(x(x + 1)). 2/(2x + 1) addiert Zähler und Nenner, 2/(x(x + 1)) erweitert den Zähler nicht mit.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Die Graphen zeigen 1/x und 1/(x + 1); markiert sind die Werte bei x = 1. Welcher Term ist ihre Summe?

  • ● (2x + 1)/(x(x + 1))
  • ○ 1/(x(x + 1))
  • ○ 2/(x(x + 1))
Bei x = 1 sind die Werte 1 und 0,5, die Summe ist 1,5. (2 · 1 + 1)/(1 · 2) = 1,5 stimmt. 1/(x(x + 1)) ist das Produkt der beiden Brüche (0,5), und 2/(x(x + 1)) erweitert die Zähler nicht mit (Wert 1).
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welcher Term ist gleich 3/x − (x − 2)/x?

  • ● (5 − x)/x
  • ○ (1 − x)/x
  • ○ (5 + x)/x
(3 − (x − 2))/x = (3 − x + 2)/x = (5 − x)/x. (1 − x)/x wendet das Minus nur auf das x an, (5 + x)/x verliert das Minus vor dem x.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welcher Zähler entsteht bei 4/x − (x + 1)/x?

  • ● 4 − (x + 1)
  • ○ 4 − x + 1
  • ○ 4 − x
Vor dem Bruch steht ein Minus, der ganze Zähler x + 1 kommt in eine Klammer: 4 − (x + 1) = 3 − x. 4 − x + 1 wendet das Minus nur auf das x an, 4 − x lässt die 1 weg.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Es gilt 9/(2x) − 3/(2x) = a/(2x). Welche Zahl ist a?

✓ Antwort: 6
(9 − 3)/(2x) = 6/(2x): Der Nenner bleibt, die Zähler werden subtrahiert.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne 1/x + 1/(x + 1) für x = 2 als Dezimalzahl auf drei Stellen genau.

✓ Antwort: 0.833333
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 ≈ 0,833. Mit dem Hauptnenner: (2 · 2 + 1)/(2 · 3) = 5/6.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Es gilt 7/x − (x − 3)/x = (a − x)/x. Welche Zahl ist a?

✓ Antwort: 10
7 − (x − 3) = 7 − x + 3 = 10 − x, also a = 10. Ohne Klammer entstünde 7 − x − 3 = 4 − x.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne den Wert von 7/(x − 1) − 3/(x − 1) für x = 5.

✓ Antwort: 1
Erst zusammenfassen: (7 − 3)/(x − 1) = 4/(x − 1), für x = 5 also 4/4 = 1. Einzeln: 7/4 − 3/4 = 1.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Es gilt 1/x + 1/(x + 3) = (ax + b)/(x(x + 3)). Berechne a + b.

✓ Antwort: 5
Hauptnenner x(x + 3): (x + 3)/(x(x + 3)) + x/(x(x + 3)) = (2x + 3)/(x(x + 3)). Also a = 2, b = 3 und a + b = 5.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Pumpe A füllt das Becken allein in x Stunden, Pumpe B in x + 3 Stunden. Pro Stunde füllen sie zusammen 1/x + 1/(x + 3) des Beckens. Gib die Definitionsmenge an, bringe die Summe auf den Hauptnenner und mache die Zahlenprobe mit x = 3. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: D = ℚ \ {−3, 0}. Hauptnenner x(x + 3): 1/x + 1/(x + 3) = (x + 3)/(x(x + 3)) + x/(x(x + 3)) = (2x + 3)/(x(x + 3)). Probe x = 3: 1/3 + 1/6 = 1/2 und (2 · 3 + 3)/(3 · 6) = 9/18 = 1/2.
Beide Brüche werden auf x(x + 3) erweitert, die Zähler x + 3 und x addiert: (2x + 3)/(x(x + 3)). Bei x = 3 füllen A und B pro Stunde 1/3 + 1/6 = 1/2 des Beckens.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne 8/x − (x − 4)/x für x = 2.

✓ Antwort: 5
8/2 − (2 − 4)/2 = 4 − (−1) = 5. Mit (12 − x)/x: (12 − 2)/2 = 5. Wer das Minus nur auf das x bezieht, erhält (4 − 2)/2 = 1.