Die Integralfunktion

The integral function

Mathematik Klasse 13 18 Aufgaben

AnalysisIntegrationBestimmtes Integral

Lässt man die obere Grenze eines Integrals wandern, entsteht die Integralfunktion Iₐ(x) = ∫ₐˣ f(t) dt: die Bilanz zwischen a und x als Funktion von x. Der Abschnitt zeigt ihre Werte an Beispielen, ihren Verlauf (sie steigt, wo f positiv ist, und fällt, wo f negativ ist) und die Rolle der unteren Grenze, die den Graphen nur senkrecht verschiebt. Er räumt zwei Fehlvorstellungen aus: „Iₐ(x) ist der Funktionswert f(x)“ und „Iₐ steigt, wo f steigt“. Er bereitet den Hauptsatz und das Zeichnen des Graphen von Iₐ aus dem Graphen von f vor.

Die obere Grenze wandert

Bei der Flächenbilanz hast du die Grenze b von $x - 2$ verschoben und die Bilanz am Chip abgelesen: −⁠2 bei b = 2, 0 bei b = 4, 6 bei b = 6. Jede dieser Bilanzen wird jetzt ein Punkt: über der Stelle x, in der Höhe der Bilanz von 0 bis x. Weil die wandernde Grenze x heißt, bekommt f eine andere Variable: $f (t) = t - 2$ .

Verschiebe x langsam von 0 bis 6. Der violette Punkt hinterlässt eine Spur: Bei welchem x liegt sie am tiefsten?

Die Spur ist der Graph einer neuen Funktion. Sie ordnet jedem x die Bilanz zwischen der festen unteren Grenze a und x zu und heißt Integralfunktion:

$I_{a} (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$

Gelesen: „I a von x“. Im Bild ist a = 0, und die Werte stehen im Chip: $I_{0} (1) = - 1, 5$ , $I_{0} (2) = - 2$ , $I_{0} (4) = 0$ und $I_{0} (6) = 6$ . Achtung: $I_{0} (1)$ ist die Bilanz bis 1, nicht der Funktionswert $f (1) = - 1$ . An der unteren Grenze selbst gilt $I_{a} (a) = 0$ : Ohne Intervall gibt es keine Fläche.

Steigen und Fallen

Die Spur von eben fällt bis x = 2 und steigt danach. Links von 2 ist f negativ: Jeder Schritt nach rechts fügt negative Fläche hinzu, und die Integralfunktion fällt. Rechts von 2 kommt positive Fläche dazu, und sie steigt. Nicht der Anstieg von f entscheidet, sondern sein Vorzeichen: $f (t) = t - 2$ steigt überall, und trotzdem fällt $I_{0}$ bis 2.

Bei $f (t) = (t - 1) (t - 3)$ wechselt das Vorzeichen zweimal. Ohne Vorzeichenwechsel gibt es kein Extremum: Bei $f (t) = t^{2}$ ist f(0) = 0, aber I steigt davor und danach.

Lass x von 0 bis 4,5 wandern. Wo ändert die Spur von I₀ ihre Richtung, und was macht f dort?

$I_{0}$ steigt bis x = 1, fällt bis x = 3 und steigt danach wieder: Hochpunkt bei 1 mit $I_{0} (1) = \frac{4}{3}$ , Tiefpunkt bei 3 mit $I_{0} (3) = 0$ , genau dort, wo f das Vorzeichen wechselt.

Die untere Grenze

Eine andere untere Grenze ergibt eine andere Integralfunktion, aber nur um eine Konstante verschoben. Das folgt aus der Zerlegungsregel für Integrale: $I_{0} (x) = I_{0} (a) + I_{a} (x)$ , also $I_{a} (x) = I_{0} (x) - I_{0} (a)$ . Der Graph behält seine Form und wandert nach oben oder unten, sodass er bei x = a durch null geht.

Beispiel mit der Spur von oben: Für $f (t) = t - 2$ ist $I_{0} (x) = \frac{x ^{2}}{2} - 2 x$ und $I_{0} (2) = - 2$ , also $I_{2} (x) = \frac{x ^{2}}{2} - 2 x + 2$ . Beide Graphen sind Parabeln derselben Form, $I_{2}$ liegt um 2 höher, und $I_{2} (2) = 0$ .

Stelle a auf 2 und dann auf 4. Um wie viel liegt Iₐ jeweils über I₀, und welchen Wert hatte I₀ an der Stelle a?

Die Integralfunktion sammelt Fläche ein, und ihre Spur steigt mal steil, mal flach. Wie schnell wächst sie, wenn x um ein kleines Stück weiterrückt?

Voraussetzungen (1)

Das bestimmte Integral

Klasse 13

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Ermöglicht (1)

Der Hauptsatz

Klasse 13

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Es sei f(t) = 2t und I₁(x) = ∫₁ˣ f(t) dt. Welches Integral ist I₁(4)?

● ∫₁⁴ 2t dt
○ ∫₀⁴ 2t dt
○ ∫₄¹ 2t dt

Der Index 1 nennt die untere Grenze, das Argument 4 die obere: I₁(4) = ∫₁⁴ 2t dt. Bei ∫₀⁴ wäre die untere Grenze falsch, bei ∫₄¹ sind die Grenzen vertauscht.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Für f(t) = t und I₀(x) = ∫₀ˣ t dt gilt I₀(4) = 8.

✓ Wahr

Richtig. I₀(4) ist die Fläche unter dem Graphen von f über [0 ; 4], ein Dreieck mit Grundseite 4 und Höhe 4: 4 · 4 / 2 = 8. Der Funktionswert f(4) = 4 ist etwas anderes als die Fläche.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Im Bild ist die Bilanz von f(t) = t − 2 zwischen 0 und einer wandernden oberen Grenze markiert. Welcher Wert der Integralfunktion I₀ wird gezeigt?

● I₀(5)
○ I₀(2)
○ f(5)

Die markierte Fläche reicht von der unteren Grenze 0 bis zur oberen Grenze 5: Sie gehört zu I₀(5) = ∫₀⁵ (t − 2) dt = 2,5. f(5) = 3 ist eine Höhe, keine Fläche.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Für f(t) = t − 2 sei I₀(x) = ∫₀ˣ f(t) dt. Wie groß ist I₀(3)?

● −1,5
○ 1,5
○ 1

Über [0 ; 2] liegt ein Dreieck von 2 FE unterhalb der t-Achse, über [2 ; 3] eines von 0,5 FE oberhalb: I₀(3) = −2 + 0,5 = −1,5. Der Wert 1,5 vergisst das Vorzeichen; 1 ist der Funktionswert f(3), nicht die Fläche.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für f(t) = t + 1 ist I₀(2) = f(2).

✓ Falsch

Falsch. f(2) = 3 ist ein Funktionswert. I₀(2) ist die Fläche über [0 ; 2]: Trapez mit den Höhen 1 und 3 und der Breite 2, also (1 + 3)/2 · 2 = 4. Ein Wert der Integralfunktion ist eine Bilanz, kein Funktionswert.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Die Funktion f(t) = (t − 1)(t − 3) hat die Nullstellen 1 und 3. Was passiert mit der Integralfunktion I₀ an der Stelle x = 2?

● I₀ fällt
○ I₀ steigt
○ I₀ hat ein Minimum

Bei x = 2 ist f(2) = −1 < 0: Die neu hinzukommende Fläche ist negativ, I₀ fällt. Ein Minimum hat I₀ erst bei x = 3, wo f von negativ zu positiv wechselt.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Für f(t) = t − 2 steigt die Integralfunktion I₀ an der Stelle x = 1, denn f steigt dort.

✓ Falsch

Falsch. f steigt zwar überall, aber f(1) = −1 ist negativ: Die neu hinzukommende Fläche ist negativ, I₀ fällt bei x = 1. Entscheidend ist das Vorzeichen von f, nicht sein Anstieg.

Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Für f(t) = 2t ist I₀(x) = x² und I₂(x) = x² − 4. Um wie viel liegt der Graph von I₂ überall unter dem Graphen von I₀?

● um 4
○ um 2
○ um 8

I₀(x) − I₂(x) = x² − (x² − 4) = 4 für jedes x. Der Graph von I₂ ist der von I₀, um I₀(2) = 4 nach unten verschoben — die Form bleibt gleich. Die untere Grenze 2 selbst (Antwort 2) ist nicht der Abstand.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Für f(t) = 5 gilt I₃(3) = 0.

✓ Wahr

Richtig. I₃(3) = ∫₃³ 5 dt: Das Intervall hat die Länge 0, also ist I₃(3) = 0. Jede Integralfunktion ist an ihrer unteren Grenze 0, auch wenn f dort nicht 0 ist.

Mittel

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Es sei f(t) = 3 und I₀(x) = ∫₀ˣ 3 dt. Berechne I₀(4).

✓ Antwort: 12

Rechteck der Breite 4 und der Höhe 3: I₀(4) = 12.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für f(t) = t − 2 sei I₂(x) = ∫₂ˣ f(t) dt. Berechne I₂(5).

✓ Antwort: 4.5

Über [2 ; 5] liegt ein Dreieck oberhalb der Achse mit Grundseite 3 und Höhe 3: 3 · 3 / 2 = 4,5.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Für f(t) = t − 2 sei I₀(x) = ∫₀ˣ f(t) dt. An welcher Stelle x hat I₀ sein Minimum?

✓ Antwort: 2

Für x < 2 ist f negativ, I₀ fällt; ab x = 2 ist f positiv, I₀ steigt. Das Minimum liegt bei der Nullstelle von f, x = 2.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Es gilt I₀(5) = 12 und I₀(2) = 3. Berechne I₂(5) = ∫₂⁵ f(t) dt.

✓ Antwort: 9

∫₂⁵ f = ∫₀⁵ f − ∫₀² f = I₀(5) − I₀(2) = 12 − 3 = 9.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Es sei f(t) = 2t und I₁(x) = ∫₁ˣ f(t) dt. Berechne I₁(3) mit der Trapezfläche.

✓ Antwort: 8

Über [1 ; 3] steigt f von 2 auf 6: Trapez mit den parallelen Seiten 2 und 6 und der Breite 2: (2 + 6)/2 · 2 = 8.

Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Für f(t) = t − 1 sei I₀(x) = ∫₀ˣ f(t) dt. Für welches x > 0 ist I₀(x) = 0?

✓ Antwort: 2

Bis t = 1 liegt ein Dreieck von 0,5 FE unterhalb der Achse. Damit die Bilanz 0 wird, muss oberhalb ebenfalls 0,5 FE dazukommen: Das Dreieck ab t = 1 mit Grundseite g hat den Inhalt g²/2 = 0,5, also g = 1 und x = 2.

Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

Für f(t) = 6 − 2t sei I₀(x) = ∫₀ˣ f(t) dt. Wie groß ist der größte Wert von I₀?

✓ Antwort: 9

f ist positiv bis t = 3 und danach negativ: I₀ steigt bis x = 3. I₀(3) ist die Dreiecksfläche mit Grundseite 3 und Höhe f(0) = 6: 3 · 6 / 2 = 9.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Es sei f(t) = t − 3 und I₀(x) = ∫₀ˣ f(t) dt. Skizziere den Graphen von f, berechne I₀(1), I₀(3), I₀(6) und I₀(8) mit Flächen und beschreibe damit den Verlauf von I₀ (fallend, steigend, Minimum). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze mit Nullstelle t = 3. I₀(1) = Trapez mit den Höhen −3 und −2 über [0 ; 1]: (3 + 2)/2 · 1 = 2,5 unterhalb, also −2,5. I₀(3) = Dreieck 3 · 3 / 2 = −4,5. I₀(6) = −4,5 + 3 · 3 / 2 = 0. I₀(8) = −4,5 + 5 · 5 / 2 = 8. I₀ fällt bis x = 3 (dort f < 0), hat bei x = 3 sein Minimum −4,5 und steigt danach.

Die Werte −2,5, −4,5, 0 und 8 ergeben sich aus Flächen mit Vorzeichen. I₀ fällt, solange f negativ ist (x < 3), und steigt danach; das Minimum liegt bei der Nullstelle von f.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Für f(t) = t gilt I₀(x) = x²/2. Berechne I₄(6) = ∫₄⁶ t dt.

✓ Antwort: 10

I₄(6) = I₀(6) − I₀(4) = 18 − 8 = 10.