Vom Parallelogramm zum Rechteck

From Parallelogram to Rectangle

Mathematik Klasse 6 16 Aufgaben

GeometrieFlächeninhaltFlächeninhalt

Schneidet man am Parallelogramm an der Höhe ein Dreieck ab und legt es an der anderen Seite wieder an, entsteht ein Rechteck mit gleichem Flächeninhalt: A = g · h. Grundseite und Höhe bestimmen den Flächeninhalt – die schräge Seite und der Umfang nicht, ein Parallelogramm darf schiefer werden, ohne größer zu werden. Räumt die häufigste Fehlrechnung aus, die Grundseite mit der schrägen Nachbarseite zu multiplizieren. Bereitet das Dreieck als halbes Parallelogramm und das Trapez vor.

Abschneiden und anlegen

Hier liegt ein schiefes Viereck, ein Parallelogramm. Von ihm ist ein Dreieck abgeschnitten. Schiebe das Dreieck auf die andere Seite, bevor du weiterliest, und schau, was für eine Figur entsteht.

Schiebe das Dreieck mit dem Regler nach rechts. Welche Figur entsteht am Ende – und ist dabei Fläche dazugekommen oder verloren gegangen?

Was du gerade getan hast, heißt Zerlegen und Ergänzen.

Vom Rechteck kennen wir $A = a \cdot b$ . Wie kommt man damit zum Parallelogramm? Man schneidet an der Höhe ein Dreieck ab und legt es auf der anderen Seite wieder an. Das Stück wird nur verschoben, nicht verändert: Es kommt nichts dazu, und es geht nichts verloren. So entsteht ein Rechteck mit demselben Flächeninhalt. Seine Breite ist die Grundseite $g$ , seine Höhe die Höhe $h$ . Warum darf man das? Wer ein Stück nur verschiebt, ändert seine Größe nicht. Auf diesem Prinzip des Zerlegens und Ergänzens beruhen alle Flächenformeln dieses Kurses.

Die Formel A = g · h

Also gilt für jedes Parallelogramm:

$A = g \cdot h$

Beim Beet ist $A = 6 m \cdot 4 m = 24 m^{2}$ . Die schräge Seite mit 5 m kommt in der Formel nicht vor; wer 6 · 5 = 30 rechnet, liegt um 6 m² zu hoch. Schiebt man die obere Seite schiefer, werden die schrägen Seiten länger und der Umfang wächst. Grundseite und Höhe bleiben aber gleich – und mit ihnen der Flächeninhalt. Umfang und Flächeninhalt sind zwei verschiedene Größen. Merke: Die Höhe ist keine Seite des Parallelogramms, sondern eine eigene Strecke, die du einzeichnen musst.

Verschiebe die obere Seite. Welche Größen ändern sich, welche bleiben gleich?

Voraussetzungen (2)

Ermöglicht (1)

Das Dreieck als halbes Parallelogramm

Klasse 6

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Am Parallelogramm ABCD wird das Dreieck AED abgeschnitten (E ist der Fußpunkt der Höhe von D) und rechts wieder angelegt. Wohin wandert die Ecke A?

● nach B
○ nach C
○ nach E

Das Dreieck AED wird um die Grundseite |AB| nach rechts verschoben. Dabei landet A auf B und D auf C. Nach C wandert die Ecke D, nicht A; E wandert nicht nach B, sondern zu einem Punkt rechts von B.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Ein Parallelogramm hat den Flächeninhalt 24 cm². Man schneidet ein Dreieck ab und legt es auf der anderen Seite wieder an. Wie groß ist der Flächeninhalt des entstandenen Rechtecks?

● 24 cm²
○ 12 cm²
○ 48 cm²

Das Dreieck wird nur verschoben. Es kommt nichts dazu und es geht nichts verloren: Das Rechteck hat wie das Parallelogramm 24 cm².

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Das gestrichelte Rechteck EFCD hat denselben Flächeninhalt wie das Parallelogramm ABCD.

✓ Wahr

Das Rechteck entsteht, wenn man das Dreieck AED abschneidet und rechts als Dreieck BFC anlegt. Die Fläche bleibt gleich: 5 · 3 = 15 in beiden Figuren.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche Rechnung liefert den Flächeninhalt des Parallelogramms?

● 9 · 4
○ 9 · 5
○ 5 · 4

Der Flächeninhalt ist Grundseite mal Höhe: 9 cm · 4 cm = 36 cm². Die schräge Seite (5 cm) gehört nicht in die Formel; 9 · 5 = 45 wäre zu groß.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Ein Parallelogramm hat die Grundseite 10 cm, die schräge Seite 6 cm und die Höhe 4 cm. Sein Flächeninhalt ist 10 · 6 = 60 cm².

✓ Falsch

Zur Grundseite gehört die Höhe, nicht die schräge Seite: A = 10 cm · 4 cm = 40 cm². Mit 60 cm² hätte man die schräge Seite als Höhe genommen.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Das Parallelogramm ABCD wird zu ABC′D′ schiefer geschoben; Grundseite und Höhe bleiben gleich. Was ändert sich dabei nicht?

● der Flächeninhalt
○ der Umfang
○ die Länge der schrägen Seite

Der Flächeninhalt A = g · h hängt nur von Grundseite und Höhe ab, und die bleiben gleich. Die schräge Seite wird länger (von 5 cm auf etwa 6,4 cm), also wächst auch der Umfang.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Die beiden Parallelogramme haben denselben Flächeninhalt.

✓ Wahr

Beide haben die Grundseite 5 cm und liegen zwischen denselben Parallelen im Abstand 3 cm, also die Höhe 3 cm: A = 5 · 3 = 15 cm² – obwohl das eine nach rechts, das andere nach links geneigt ist.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Zwei Parallelogramme mit den Seitenlängen 6 cm und 5 cm haben immer denselben Flächeninhalt.

✓ Falsch

Bei gleichen Seitenlängen kann die Höhe verschieden sein: Ein flacheres Parallelogramm hat die kleinere Höhe. Mit h = 4 cm sind es 24 cm², mit h = 3 cm nur 18 cm².

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Parallelogramm mit der Grundseite 9 cm und der Höhe 4 cm wird durch Abschneiden und Anlegen zum Rechteck. Wie breit ist das Rechteck (in cm)?

✓ Antwort: 9

Die Breite des Rechtecks ist die Grundseite des Parallelogramms: 9 cm. Seine Höhe ist die Höhe 4 cm.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Parallelogramm hat die Grundseite g = 12 cm und die Höhe h = 5 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (in cm²)?

✓ Antwort: 60

A = g · h = 12 cm · 5 cm = 60 cm².

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Rechteck (6 cm × 4 cm) wird zu einem Parallelogramm geschoben; Grundseite 6 cm und Höhe 4 cm bleiben gleich. Wie groß ist der Flächeninhalt des Parallelogramms (in cm²)?

✓ Antwort: 24

Grundseite und Höhe ändern sich nicht, also auch der Flächeninhalt nicht: 6 · 4 = 24 cm².

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Aus einem Parallelogramm entsteht durch Abschneiden und Anlegen ein Rechteck, 5 cm breit und 3 cm hoch. Wie groß ist der Flächeninhalt des Parallelogramms (in cm²)?

✓ Antwort: 15

Beim Umbau bleibt der Flächeninhalt gleich. Das Rechteck hat 5 cm · 3 cm = 15 cm², also auch das Parallelogramm.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Parallelogramm hat den Flächeninhalt 84 cm² und die Grundseite 12 cm. Wie hoch ist es, das heißt wie groß ist die zugehörige Höhe (in cm)?

✓ Antwort: 7

Aus A = g · h folgt h = A : g = 84 : 12 = 7 cm.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Kästchen haben die Seitenlänge 1 cm. Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD (in cm²).

✓ Antwort: 18

Die Grundseite AB ist 6 cm lang, die Höhe 3 cm (von y = 1 bis y = 4). A = 6 cm · 3 cm = 18 cm². Die schräge Seite [AD] wird nicht gebraucht.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Beet hat die Form eines Parallelogramms mit der Grundseite 8 m, der schrägen Seite 5 m und der Höhe 3 m. Ein Gärtner rechnet 8 · 5 = 40 m². Zeichne eine Skizze, zeige durch Abschneiden und Anlegen, dass 40 m² nicht stimmen kann, und berechne den richtigen Flächeninhalt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze des Parallelogramms mit der Höhe 3 m; das abgeschnittene Dreieck wird rechts angelegt, es entsteht ein Rechteck 8 m · 3 m. A = g · h = 8 m · 3 m = 24 m². Die schräge Seite (5 m) ist keine Höhe; 8 · 5 = 40 m² wäre die Fläche eines Rechtecks 8 m · 5 m und damit zu groß.

Das Parallelogramm hat dieselbe Fläche wie das Rechteck 8 m · 3 m: A = g · h = 24 m². Die schräge Seite 5 m ist nicht die Höhe, 40 m² sind zu viel.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Zwei Parallelogramme liegen zwischen denselben parallelen Geraden mit dem Abstand 3 cm und haben beide die Grundseite 8 cm. Beim ersten ist die schräge Seite 4 cm lang, beim zweiten 6 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt des zweiten Parallelogramms (in cm²)?

✓ Antwort: 24

Der Abstand der Parallelen ist die Höhe: h = 3 cm. Die schräge Seite spielt keine Rolle: A = 8 cm · 3 cm = 24 cm² – wie beim ersten Parallelogramm.