Gleichungen aus Texten aufstellen

Setting up equations from texts

Mathematik Klasse 7 16 Aufgaben

AlgebraGleichungen

Aus einem Text wird eine Gleichung in drei Schritten: festlegen, wofür x steht (eine Zahl mit Einheit), Wortgruppen in Terme übersetzen und zwei Beschreibungen derselben Größe gleichsetzen (Invarianzprinzip). Der Abschnitt räumt aus, x als Gegenstand statt als Zahl zu lesen (Küchemann 1981, Malle 1993) und Aussagen wie „3-mal so viele A wie B“ umzudrehen (A = 3B, nicht B = 3A). Er bereitet das Deuten der Lösung und jede Sachaufgabe der Jahrgangsstufen 8 bis 10 vor, die den Modellierungskreislauf (Blum und Leiß 2007) durchläuft.

Wofür steht x?

Ein Taxi kostet 3 € Grundpreis und 2 € je Kilometer. Die Fahrt kostet 15 €. Wie lang ist sie? Zuerst legst du fest, wofür x steht: x = Länge der Fahrt in Kilometern. x ist eine Zahl mit Einheit, nicht „das Taxi“. Eine gute Festlegung nennt die Größe und die Einheit, sonst kannst du die Terme später nicht lesen.

Wörter werden Terme

Dann übersetzt du Wortgruppen in Terme. „3 mehr als t“ ist t + 3, „3-mal so viel wie t“ ist 3t, „3 weniger als t“ ist t − 3. Bei „weniger als“ steht die Zahl hinten. Vorsicht bei „3-mal so viele A wie B“: Das Größere ist A, also A = 3B, nicht B = 3A. Bei 12 Äpfeln und 4 Birnen stimmt A = 3B, denn 12 = 3 · 4; B = 3A würde 4 = 36 behaupten. Für die Fahrt sind 2 € je Kilometer der Term 2x, mit Grundpreis 3 + 2x.

Dieselbe Zahl 3, drei verschiedene Wörter, drei verschiedene Terme.

Zwei Wege zur selben Größe

Der Preis der Fahrt lässt sich auf zwei Wegen beschreiben: aus den Angaben als 3 + 2x und als bekannter Preis 15. Beides ist dieselbe Größe, also setzt du gleich: $3 + 2 x = 15$ . Diese Idee heißt Invarianzprinzip: Eine Größe, die sich nicht verändert, wird auf zwei Arten beschrieben.

Ziehe x. Wann sind beide Balken gleich lang?

Im Bild spielen die beiden Balken die Rolle der beiden Waagschalen: links der Grundpreis 3 und zwei Beutel x, rechts 15. Gelöst wird wie gewohnt, $∣ - 3$ und $∣: 2$ , also x = 6. Gefragt war aber: Wie lang ist die Fahrt? „x = 6“ beantwortet das noch nicht.

Voraussetzungen (2)

Äquivalenzumformungen und Probe

Ermöglicht (1)

Die Lösung deuten

Klasse 7

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Heft kostet 1,20 € mehr als ein Stift. Der Preis des Stifts soll x heißen. Welche Festlegung ist vollständig?

● x = Preis des Stifts in Euro
○ x = der Stift
○ x = Preis des Hefts in Euro

x steht für eine Zahl mit Einheit: den Preis des Stifts in Euro. „x = der Stift“ nennt einen Gegenstand statt einer Zahl, und der Preis des Hefts ist der Term x + 1,20, nicht x.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Ein 12 m langer Zaun besteht aus vier gleich langen Feldern. Wofür steht x im Bild?

● Länge eines Feldes in Metern
○ Anzahl der Felder
○ Länge des ganzen Zauns in Metern

Jedes Feld hat die Länge x, vier Felder ergeben 4x = 12 m. Die Anzahl der Felder (4) ist bekannt, und die Länge des ganzen Zauns steht mit 12 m schon im Bild.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Zu „Tom ist 3 Jahre älter als Lea“ ist „x = Lea“ eine vollständige Festlegung für x.

✓ Falsch

Falsch. x muss eine Zahl sein: „x = Leas Alter in Jahren“. Dann ist Toms Alter x + 3.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Tom ist t Jahre alt, Lea ist 3 Jahre jünger (Bild). Welcher Term gibt Leas Alter an?

● t − 3
○ 3 − t
○ 3t

Jünger heißt weniger: Von Toms Alter t werden 3 abgezogen, also t − 3. 3 − t dreht die Reihenfolge um (für t = 10 wäre das −7), 3t bedeutet 3-mal so alt.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

„x ist um 5 größer als y“ wird zu x = 5y.

✓ Falsch

Falsch. „Um 5 größer“ heißt: 5 dazu, also x = y + 5. x = 5y würde bedeuten, dass x fünfmal so groß ist wie y.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Es gibt 3-mal so viele Äpfel (a) wie Birnen (b). Welche Gleichung stimmt?

● a = 3b
○ b = 3a
○ a = b + 3

Es gibt mehr Äpfel, also wird die Zahl der Birnen verdreifacht: a = 3b. Bei b = 4 sind es 12 Äpfel. b = 3a dreht die Rollen um, a = b + 3 verwechselt „3-mal so viele“ mit „3 mehr“.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Museum verlangt 6 € Eintritt, jede Audioführung kostet 3 €. Jana zahlt insgesamt 15 €. Welche Gleichung passt (x = Anzahl der Audioführungen)?

● 6 + 3x = 15
○ 6 · 3x = 15
○ 9x = 15

Der Preis besteht aus dem Eintritt plus 3 € je Führung: 6 + 3x, und er ist 15 €. 6 · 3x multipliziert die beiden Beträge, 9x addiert 6 und 3 zu einem Preis je Führung.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Ein Schwimmbad kostet 3 € Eintritt plus 1,50 € je Stunde. Für 6 € Gesamtpreis gilt 3 + 1,5x = 6 (x = Anzahl der Stunden).

✓ Wahr

Der Preis ist 3 + 1,5x, und er soll 6 € sein. Für x = 2 gilt 3 + 3 = 6.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Beide Balken sind gleich lang. Welche Gleichung beschreibt das Bild?

● 4 + 3x = 19
○ 4x + 3 = 19
○ 7x = 19

Oben liegen ein Stück 4 und drei Stücke x, zusammen 4 + 3x. Der untere Balken ist 19 lang, also 4 + 3x = 19. 4x + 3 verwechselt die Rollen der Zahlen, 7x zählt 4 und 3 als Stücke von x.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

x ist der Preis des Stifts in Euro. Das Heft kostet x + 1,20 Euro. Für x = 0,8 kostet das Heft ___ Euro.

✓ Antwort: 2

Einsetzen: 0,8 + 1,20 = 2,00. Das Heft kostet 2 €.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Lisa hat t Euro, Max hat 3-mal so viel. Für t = 7 hat Max ___ Euro.

✓ Antwort: 21

Max hat 3t Euro, für t = 7 sind das 3 · 7 = 21 Euro.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Zu 5 + 4x = 25 passt der Text: 5 € Grundgebühr und ___ € je Stunde.

✓ Antwort: 4

In 5 + 4x = 25 ist 5 die feste Gebühr und 4x der Preis für x Stunden. Also kostet jede Stunde 4 €.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Heft kostet 1,20 € mehr als ein Stift. Der Stift kostet 1,30 €. Wie viel Euro kosten Stift und Heft zusammen?

✓ Antwort: 3.8

Das Heft kostet 1,30 € + 1,20 € = 2,50 €. Zusammen sind es 1,30 € + 2,50 € = 3,80 €.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Max hat 3-mal so viel Geld wie Lisa (siehe Bild). Max hat 27 Euro. Wie viel Euro hat Lisa?

✓ Antwort: 9

Mit t für Lisas Geld gilt 3t = 27, also t = 27 : 3 = 9. Probe: 3 · 9 = 27.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Kino verlangt 4 € Eintritt und 2 € je Getränk. Sara zahlt 14 €. Wie viele Getränke hat sie gekauft? (Stelle eine Gleichung auf und löse sie.)

✓ Antwort: 5

x = Anzahl der Getränke: 4 + 2x = 14 | − 4, 2x = 10 | : 2, x = 5. Probe: 4 € + 5 · 2 € = 14 €.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Tarif A kostet 5 € Grundgebühr plus 3 € je Gigabyte, Tarif B kostet 2 € Grundgebühr plus 4 € je Gigabyte. Bei welcher Datenmenge kosten beide Tarife gleich viel? Lege x fest, schreibe für beide Tarife einen Term, stelle die Gleichung auf und löse sie. Gib die Datenmenge mit Einheit an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: x = Anzahl der Gigabyte. Tarif A: 5 + 3x, Tarif B: 2 + 4x. Gleichung: 5 + 3x = 2 + 4x | − 3x; 5 = 2 + x | − 2; x = 3. Probe: 5 + 3 · 3 = 14 und 2 + 4 · 3 = 14. Antwort: Bei 3 Gigabyte kosten beide Tarife 14 €.

Zwei Beschreibungen derselben Größe (dieselben Kosten) werden gleichgesetzt: 5 + 3x = 2 + 4x. Für x = 3 kosten beide 14 €.