Klammern und Zusammenfassen

Brackets and like terms

Mathematik Klasse 7 13 Aufgaben
AlgebraGleichungenLinear

Kommt eine Gleichung verpackt an, etwa 2(x + 1) + 3x = x + 18, wird zuerst die Klammer ausmultipliziert (der Faktor gilt für jeden Summanden) und dann werden gleichartige Terme zusammengefasst; danach folgen x sammeln, Zahlen wegschaffen, teilen. Auf der Waage heißt das Päckchen auspacken und Beutel sortieren: Nur eine Seite ändert sich, das Gleichgewicht bleibt, weil eine Termumformung den Wert nicht ändert. Der Abschnitt räumt die dokumentierten Fehler 2(x + 1) = 2x + 1, 2x + 3x = 5x² und 7x − 3x = 10x aus (Booth 1984; MacGregor und Stacey 1997; Malle 1993). Er bereitet Bruchgleichungen, Binome und das Umstellen von Formeln vor.

Klammern zuerst

Offen blieb zuletzt . Auf der Waage sind 2(x + 1) zwei Päckchen, jedes aus einem Beutel und 1 g. Steht eine Klammer im Weg, löst du sie zuerst auf: Der Faktor vor der Klammer multipliziert jeden Summanden. Das ist das Ausmultiplizieren aus den Termumformungen, 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2 = 18. Aus 2(x + 1) wird also 2x + 2: Du packst die Päckchen aus und hast zwei Beutel und zweimal 1 g.

Ziehe den Schieber. Welche Schale ändert sich bei jedem Schritt, und warum bleibt die Waage trotzdem im Gleichgewicht?

Beim Auspacken änderst du nur die linke Seite, und die Waage bleibt trotzdem im Gleichgewicht. Du nimmst nichts weg und legst nichts dazu, du schreibst denselben Inhalt anders auf. Das ist eine Termumformung, keine Äquivalenzumformung, deshalb steht kein Strich dahinter. Wer nur den ersten Summanden malnimmt, schreibt 2x + 1 und verliert ein Gramm: Bei x = 4 wiegt 2x + 1 + 3x nur 21 g, die rechte Schale aber 22 g.

Dasselbe zeigt eine Fläche. Ein Beet ist 3 hoch und x + 2 breit. Es besteht aus zwei Teilen mit derselben Höhe 3, also ist seine Fläche . Soll sie 21 sein, folgt aus 3x + 6 = 21 mit und x = 5.

Verändere x und vergleiche 3(x + 2) mit 3x + 6. Wann erreicht die Fläche das Ziel 21?

Zuerst zusammenfassen

Nach dem Auspacken liegen links Beutel und Gewichte durcheinander: 2x + 2 + 3x. Gleichartige Terme fasst du zusammen, bevor du umformst. Wie bei den Termumformungen zählst du Beutel: 2 Beutel und 3 Beutel sind 5 Beutel, also . Im Bild ist das Schritt 2, wieder nur auf der linken Seite. Fasse jede Seite für sich zusammen und behalte die Vorzeichen: 2x + 3x ist 5x, nicht 5x², und 7x − 3x ist 4x, nicht 10x.

Ab hier geht es weiter wie bei x auf beiden Seiten: ergibt 4x + 2 = 18, ergibt 4x = 16, ergibt x = 4. Probe in der Ausgangsgleichung: 2 · (4 + 1) + 3 · 4 = 22 und 4 + 18 = 22. Die Reihenfolge lautet also: Klammern auflösen, zusammenfassen, x sammeln, Zahlen wegschaffen, teilen. Die ersten beiden Schritte ändern eine Seite, die letzten drei beide.

Bis hierher war jede Gleichung vorgegeben. Die Fahrradfrage aus dem Einstieg kommt aber als Text, und die Gleichung musst du erst selbst aufschreiben.

Voraussetzungen (2)

Variable auf beiden Seiten
Klasse 7
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Ausmultiplizieren
Klasse 7
›

Ermöglicht (1)

Das Einsetzungsverfahren
Klasse 8
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

4(x − 3) = 20. Welche Gleichung entsteht nach dem Ausmultiplizieren?

  • ● 4x − 12 = 20
  • ○ 4x − 3 = 20
  • ○ 4x + 12 = 20
Der Faktor 4 multipliziert jeden Summanden: 4 · x − 4 · 3 = 4x − 12. 4x − 3 vergisst den zweiten Faktor, 4x + 12 verliert das Minus.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Das Beet ist 2 m hoch und (y + 5) m breit und hat 18 m² Fläche. Welche Gleichung passt?

  • ● 2(y + 5) = 18
  • ○ 2y + 5 = 18
  • ○ y + 10 = 18
Die Fläche ist Höhe mal Breite, und die Breite y + 5 steht in einer Klammer: 2(y + 5) = 18. 2y + 5 multipliziert nur den ersten Summanden, y + 10 lässt den Faktor 2 bei y weg.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Für das Rechteck ist 3(x + 4) = 15 gleichbedeutend mit 3x + 4 = 15.

✓ Falsch
Falsch. Beide Teilflächen haben die Höhe 3: 3(x + 4) = 3x + 12. Richtig ist also 3x + 12 = 15 (mit x = 1).
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

7x − 3x + 4 = 20. Welche Gleichung entsteht nach dem Zusammenfassen?

  • ● 4x + 4 = 20
  • ○ 10x + 4 = 20
  • ○ 4x − 4 = 20
7x − 3x = 4x, die 4 bleibt und behält ihr Pluszeichen. 10x addiert die Koeffizienten, 4x − 4 verändert das Vorzeichen der 4.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

2x + 5 + 3x = 30. Welche Zeile ist richtig?

  • ● 5x + 5 = 30
  • ○ 5x² + 5 = 30
  • ○ 10x = 30
Gleichartige Terme: 2x + 3x = 5x, die 5 bleibt stehen. 5x² verwechselt x + x mit x · x, und 10x rechnet 2x + 5 + 3x zu 10x.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

9x − 2x + 5 = 19 wird zu 7x + 5 = 19.

✓ Wahr
9x − 2x = 7x, die 5 bleibt. Danach | − 5 und | : 7 mit x = 2.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Auf einer Schale liegen zwei Päckchen, jedes aus einem Beutel (x g) und einem Gewicht 3 g. Welcher Term ohne Klammer beschreibt die Schale?

  • ● 2x + 6
  • ○ 2x + 3
  • ○ x + 6
Zwei Päckchen sind 2(x + 3) = 2 · x + 2 · 3 = 2x + 6: zwei Beutel und zweimal 3 g. 2x + 3 packt nur die Beutel aus, x + 6 nur die Gewichte.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

5(x + 2) = 30 wird nach dem Ausmultiplizieren zu 5x + ___ = 30

✓ Antwort: 10
5 · 2 = 10, also 5x + 10 = 30. Danach | − 10 und | : 5 mit x = 4.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Links liegen zuerst 2 Beutel (je x g), dann 3 g, dann 3 Beutel. Fasse zusammen: ___ · x + 3 = 23. Welche Zahl steht vor dem x?

✓ Antwort: 5
Die Beutel sind gleichartig: 2x + 3x = 5x. Die 3 g bleiben allein. Es entsteht 5x + 3 = 23 mit x = 4.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Löse 3(x − 2) = 18.

✓ Antwort: 8
3(x − 2) = 3x − 6 = 18. Dann | + 6: 3x = 24; | : 3: x = 8. Probe: 3 · (8 − 2) = 18.
KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Löse 2(3x − 4) + 5 = 2x + 29. Schreibe jeden Schritt mit Umformungsstrich auf (Klammer auflösen, zusammenfassen, x sammeln, Zahlen wegschaffen, teilen) und mache die Probe. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 2(3x − 4) + 5 = 2x + 29; 6x − 8 + 5 = 2x + 29; 6x − 3 = 2x + 29 | − 2x; 4x − 3 = 29 | + 3; 4x = 32 | : 4; x = 8; L = {8}. Probe: 2 · (3 · 8 − 4) + 5 = 2 · 20 + 5 = 45 und 2 · 8 + 29 = 45.
Erst Klammer und Zusammenfassen, dann x auf eine Seite: 4x = 32, x = 8. Probe: beide Seiten 45.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse 9x − 4x + 7 = 2x + 25.

✓ Antwort: 6
Zusammenfassen: 5x + 7 = 2x + 25. Dann | − 2x: 3x + 7 = 25; | − 7: 3x = 18; | : 3: x = 6. Probe: 9 · 6 − 4 · 6 + 7 = 37 und 2 · 6 + 25 = 37.
Zahleneingabe #4 45s ▶ Testen

Löse 3(x + 2) + x = 2x + 16.

✓ Antwort: 5
Klammer: 3x + 6 + x = 2x + 16; zusammenfassen: 4x + 6 = 2x + 16; | − 2x: 2x + 6 = 16; | − 6: 2x = 10; | : 2: x = 5. Probe: 3 · 7 + 5 = 26 und 2 · 5 + 16 = 26.