Anteile von Anteilen — natürliche Häufigkeiten

Shares of shares — natural frequencies

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben
WahrscheinlichkeitBaumdiagrammeProzentKerncurriculum

Ein Anteil von einem Anteil ist ein Produkt, keine Summe: „40 % der Lernenden sind Jungen, davon 25 % im Verein — also 10 von 100". Solche zweistufigen Angaben werden konsequent in natürliche Häufigkeiten übersetzt („von 100 Fällen …", Gigerenzer & Hoffrage 1995 — das Format, in dem mehrstufige Anteilsaufgaben nachweislich um ein Mehrfaches besser gelöst werden). Das räumt die zentrale Fehlvorstellung aus, Prozentsätze verschiedener Grundwerte zu addieren oder gleichzusetzen (Krüger, Sill & Sikora). Es ist der Gedanke der Pfadmultiplikation und bereitet die bedingte Wahrscheinlichkeit der Oberstufe vor.

Voraussetzungen (2)

Laplace-Wahrscheinlichkeit
Klasse 8
›
Prozentrechnung – Vertiefung
Klasse 7
›

Ermöglicht (1)

Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s â–¶ Testen

An einer Schule sind 40 % der Lernenden Jungen. Von den Jungen spielen 25 % im Verein FuĂźball. Wie viele von 100 Lernenden sind fuĂźballspielende Jungen?

  • â—Ź 10
  • â—‹ 65
  • â—‹ 25
Von 100 Lernenden sind 40 Jungen; 25 % von 40 sind 10. Anteil vom Anteil heißt multiplizieren (65 wäre 40 + 25 addiert), nicht der zweite Prozentsatz vom Ganzen (25).
LĂĽckentext #2 25s â–¶ Testen

Von 1000 Personen haben 30 eine bestimmte Krankheit. Bei 90 % der Kranken schlägt der Test an. Wie viele kranke Personen mit positivem Test sind das? ___

âś“ Antwort: 27
90 % von 30 sind 27 — in natürlichen Häufigkeiten gerechnet ganz ohne Formel.
Wahr / Falsch #3 15s â–¶ Testen

50 % von 40 % sind 90 %.

âś“ Falsch
Nein — 0,5 · 0,4 = 0,2, also 20 %. Prozentsätze addieren funktioniert nur bei gleichem Grundwert.
Multiple Choice #4 20s â–¶ Testen

60 % der Fahrgäste eines Busses hören Musik. Davon nutzen 50 % Kopfhörer. Wie viele von 100 Fahrgästen hören Musik mit Kopfhörern?

  • â—Ź 30
  • â—‹ 110
  • â—‹ 50
Von 100 Fahrgästen hören 60 Musik, die Hälfte davon — 30 — mit Kopfhörern. 110 addiert die Prozentsätze (60 + 50), 50 nimmt 50 % vom Ganzen.
LĂĽckentext #5 20s â–¶ Testen

80 % bestehen den ersten Test. Von diesen bestehen 75 % auch den zweiten. Von 100 Personen bestehen ___ beide Tests.

âś“ Antwort: 60
80 von 100 bestehen den ersten Test; 75 % von 80 sind 60.
Multiple Choice #6 25s â–¶ Testen

Von 200 Teilnehmenden eines Laufs sind 10 % erkältet. 80 % der Erkälteten treten trotzdem an. Wie viele erkältete Startende sind das?

  • â—Ź 16
  • â—‹ 160
  • â—‹ 20
10 % von 200 sind 20 Erkältete; 80 % von 20 sind 16. 160 nimmt 80 % vom Ganzen, 20 vergisst die zweite Stufe.
Wahr / Falsch #7 12s â–¶ Testen

10 % von 10 % sind 1 %.

âś“ Wahr
Ja — 0,1 · 0,1 = 0,01. Zwei zehnprozentige Stufen hintereinander ergeben ein Hundertstel.
LĂĽckentext #8 15s â–¶ Testen

Ein Viertel von der Hälfte von 200 ist ___.

âś“ Antwort: 25
Die Hälfte von 200 ist 100, ein Viertel davon 25.
Mittel
Multiple Choice #1 25s â–¶ Testen

Von 200 Personen sind 40 % sportlich; 25 % der Sportlichen schwimmen. Welche Rechnung liefert die Zahl der Schwimmenden?

  • â—Ź 0,4 · 0,25 · 200 = 20
  • â—‹ (0,4 + 0,25) · 200 = 130
  • â—‹ 0,25 · 200 = 50
Anteil vom Anteil = multiplizieren. Die 25 % beziehen sich auf die 80 Sportlichen, nicht auf alle 200 (das gäbe 50), und Prozentsätze mit verschiedenen Grundwerten darf man nicht addieren (das gäbe 130).
Wahr / Falsch #2 20s â–¶ Testen

„25 % der Mädchen und 25 % der Jungen einer Klasse treiben Sport — also treiben 50 % der Klasse Sport."

âś“ Falsch
Die beiden 25 % beziehen sich auf verschiedene Grundwerte. Insgesamt sind es weiterhin 25 % der Klasse.
Multiple Choice #3 25s â–¶ Testen

3 von 4 Katzen mögen Trockenfutter. Jede zweite davon frisst zusätzlich Nassfutter. Welcher Anteil aller Katzen frisst beides?

  • â—Ź 3/8
  • â—‹ 1/2
  • â—‹ 3/4
Die Hälfte von 3/4 ist 3/8 — von 8 Katzen mögen 6 Trockenfutter, 3 davon auch Nassfutter.
Multiple Choice #4 25s â–¶ Testen

In welcher Aussage bezieht sich der zweite Prozentsatz auf die erste Gruppe (Anteil von einem Anteil)?

  • â—Ź Von den 30 % Brillenträgern der Schule sind 20 % kurzsichtig.
  • â—‹ 30 % tragen eine Brille und 20 % eine Uhr.
  • â—‹ 30 % der Schule sind in Klasse 10 oder in Klasse 9.
Nur dort wechselt der Grundwert — die 20 % zählen von den 30 % Brillenträgern, nicht vom Ganzen. Das ist die zweistufige Struktur, die multipliziert wird.
LĂĽckentext #5 25s â–¶ Testen

Von 500 Geräten sind 2 % defekt. Die Hälfte der defekten wird schon in der Fabrik entdeckt. Wie viele defekte Geräte werden entdeckt? ___

âś“ Antwort: 5
2 % von 500 sind 10 defekte Geräte; die Hälfte davon — 5 — wird entdeckt.
Multiple Choice #6 25s â–¶ Testen

In einem Ort sind 20 % der Menschen Kinder. 30 % der Kinder gehen in den Sportverein. Wie viele von 1000 Menschen sind Vereinskinder?

  • â—Ź 60
  • â—‹ 500
  • â—‹ 300
20 % von 1000 sind 200 Kinder; 30 % von 200 sind 60. 500 addiert die Prozentsätze (0,2 + 0,3), 300 nimmt 30 % vom Ganzen.
Wahr / Falsch #7 20s â–¶ Testen

„40 % einer Klasse sind Mädchen, 10 % der Mädchen tragen eine Brille — also tragen 50 % der Klasse eine Brille."

âś“ Falsch
10 % von 40 % sind 4 % der Klasse, nicht 50 %. Die beiden Prozentsätze haben verschiedene Grundwerte und dürfen nicht addiert werden.
Schwer
Wahr / Falsch #1 25s â–¶ Testen

„Ein Test erkennt 90 % der Kranken." Also sind auch 90 % der positiv Getesteten krank.

âś“ Falsch
Das sind verschiedene Grundwerte — „90 % der Kranken sind positiv" und „90 % der Positiven sind krank" ist nicht dasselbe (die Bedingung ist vertauscht). Unter den positiv Getesteten sind auch falsch-positive Gesunde.