Anwendungen am rechtwinkligen Dreieck

Applications in the right triangle

Mathematik Klasse 9 37 Aufgaben

GeometrieTrigonometrieRechtwinkliges DreieckKerncurriculum

Hier wird gerechnet: fehlende Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck aus dem, was die Aufgabe hergibt — und der Weg dorthin wird aufgeschrieben, weil der LehrplanPLUS M9 7.1 genau das verlangt („Lösungswege dokumentieren und präsentieren"). Der Kern ist, das gesuchte Verhältnis zu benennen, bevor der Taschenrechner angefasst wird. Räumt zwei Fehlerquellen aus: den Rechner im Bogenmaß und die Benennung der Katheten relativ zum falschen Winkel. Trägt die Sachaufgaben aus Vermessung und Technik.

Fünf Schritte vom Text zum Dreieck

Der Dachdecker vom Anfang hat kein Dreieck mit a, b und c vor sich, sondern ein Dach, eine Neigung und eine waagrechte Länge. Vom Text zum Dreieck führen immer dieselben fünf Schritte:

Skizze. Zeichne, was der Text beschreibt. Ohne Skizze rätst du, welche Seite gemeint ist.
Rechten Winkel suchen und markieren. Er steckt fast immer in einer senkrechten Wand, einem Lot oder dem waagrechten Boden. Ohne ihn gilt keines der drei Verhältnisse.
Seiten relativ zum gegebenen Winkel benennen. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel. Welche der beiden Katheten Gegenkathete und welche Ankathete ist, hängt am Winkel α, mit dem du rechnest — nicht am Buchstaben in der Skizze.
Das Verhältnis wählen, in dem beides steht: die gegebene und die gesuchte Seite. Erst dann greifst du zum Taschenrechner.
Größenordnung prüfen. Eine Kathete ist immer kürzer als die Hypotenuse; ein Sinus- oder Kosinuswert liegt zwischen $0$ und $1$ .

Der erste Durchlauf ist dieses Dach. Es hat die Neigung $α = 35°$ , von der Traufe bis unter den First sind es waagrecht $4, 0 m$ . Die Skizze ist die Figur. Das ganze Dach ist ein gleichschenkliges Dreieck ohne rechten Winkel; erst die Senkrechte unter dem First, eine Hilfslinie, teilt es in zwei rechtwinklige Hälften. Von α aus ist die waagrechte Strecke die Ankathete $b$ , die gesuchte Firsthöhe die Gegenkathete $a$ . Zwei Katheten, keine Hypotenuse — also Tangens.

Das halbe Dach als Dreieck: Ab welcher Neigung liegt der First höher, als die waagrechte Strecke lang ist?

$tan 35° = \frac{a}{4 , 0 m}$ $a = 4, 0 \cdot tan 35° \approx 4, 0 \cdot 0, 700 \approx 2, 8 m$ Probe: $2, 8 m$ ist kleiner als $4, 0 m$ , wie es unter 45⁠° sein muss — erst ab 45⁠° ist $tan α \geq 1$ . Der Taschenrechner steht dabei auf DEG, also auf Grad.

Höhenwinkel und Tiefenwinkel

Wer etwas anpeilt, misst den Winkel von der Waagrechten aus, nie vom Boden und nie von der Senkrechten: Der Höhenwinkel liegt zwischen der Waagrechten durch das Auge und der Sichtlinie nach oben, der Tiefenwinkel zwischen der Waagrechten und der Sichtlinie nach unten. Höhen- und Tiefenwinkel sind gleich groß, weil die beiden Waagrechten parallel sind.

Ein Messgerät peilt eine Turmspitze an. Wo beginnt das Dreieck? Such die Waagrechte durch die Optik

O

: Was liegt darüber, was darunter? Schalte dann auf den Tiefenwinkel um. (Nicht maßstäblich.)

Der Berg vom Anfang

So peilt man den Berggipfel vom Anfang an: Laut Karte liegt er $1200 m$ höher als du, das Gerät misst den Höhenwinkel $8°$ . Gesucht ist der waagrechte Abstand $d$ , die Ankathete. Sie steht im Nenner: $tan 8° = 1200 m / d$ , also $d = \frac{1200 m}{tan 8°} \approx \frac{1200 m}{0 , 1405} \approx 8540 m$ Gut 8,5 km.

Was der Kurs gezeigt hat. Dach und Berg sind dasselbe Dreieck: Ein spitzer Winkel legt die Form fest, die Form legt die drei Verhältnisse fest, und eine einzige bekannte Seite legt die Größe fest. Stillschweigend galt dabei immer: ein rechter Winkel und ein Winkel unter 90⁠°. Für 120⁠° gibt es kein solches Dreieck mehr. Wie Sinus und Kosinus trotzdem weitergehen, zeigt der Einheitskreis im nächsten Kurs.

Voraussetzungen (2)

Alle drei Verhältnisse zusammen

Ermöglicht (2)

Pyramide und Kegel

Klasse 10

›

Sinussatz und Kosinussatz – Angewandte Dreiecksberechnungen

Klasse 10

›

Leicht

Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse c und dem Winkel α gegenüber von Kathete a gilt:

○ sin α = a/b
● sin α = a/c
○ sin α = c/a
○ sin α = b/c

Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse. Die Kathete a liegt dem Winkel α gegenüber, c ist die Hypotenuse.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

In einem rechtwinkligen Dreieck ist α = 30° und die Hypotenuse c = 10 cm. Wie lang ist die Gegenkathete a?

● 5 cm
○ 5√3 cm
○ 10 cm
○ 10√3 cm

sin 30° = 0,5. Also a = c · sin 30° = 10 · 0,5 = 5 cm.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Ein Hang hat eine Steigung von 15°. Auf 100 m horizontaler Strecke überwindet man welche Höhe? (sin 15° ≈ 0,259, cos 15° ≈ 0,966, tan 15° ≈ 0,268)

○ 25,9 m
● 26,8 m
○ 96,6 m
○ 15,0 m

Höhe = horizontale Strecke · tan 15° = 100 · 0,268 = 26,8 m.

Wahr / Falsch #4 10s ▶ Testen

sin 45° = cos 45°

✓ Wahr

Richtig. cos 45° = sin(90° − 45°) = sin 45°. Beide sind gleich √2/2 ≈ 0,707.

Multiple Choice #5 35s ▶ Testen

Ein Seil der Länge l hängt senkrecht und wird um den Winkel β ausgelenkt. Welcher Term gibt an, um wie viel sich das untere Ende dabei gehoben hat?

● l · (1 − cos β)
○ l · cos β
○ l · (1 − sin β)

Das Ende hängt jetzt l · cos β unter dem Aufhängepunkt statt l. Die Differenz l − l · cos β ist der Hub. Der Term l · cos β ist der neue Abstand selbst, nicht die Änderung.

Multiple Choice #6 35s ▶ Testen

Von einem 12 m hohen Balkon sieht man ein Auto unter dem Tiefenwinkel 25°. Welche Gleichung liefert die waagrechte Entfernung d?

● tan 25° = 12/d
○ tan 25° = d/12
○ sin 25° = 12/d

Höhe und waagrechte Entfernung sind die beiden Katheten. Die Höhe liegt dem Tiefenwinkel gegenüber, also tan 25° = 12/d und d ≈ 25,7 m.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

In einem gleichschenkligen Dreieck wird die Höhe auf die Basis gezeichnet. Was passiert mit der Basis?

● Sie wird halbiert
○ Sie wird gedrittelt
○ Sie bleibt ungeteilt

Die Höhe auf die Basis ist zugleich Mittelsenkrechte — sie halbiert die Basis und zerlegt das Dreieck in zwei gleiche rechtwinklige Hälften.

Im Bild tippen #8 20s ▶ Testen

Von E aus sieht man das Auto A. Tippe auf die Linie, die bei E mit der Sichtlinie EA den Tiefenwinkel bildet.

✓ Antwort: EH

Der Tiefenwinkel wird gegen die Waagrechte durch das Auge gemessen — das ist EH. EF ist die Senkrechte (der Winkel zwischen ihr und der Sichtlinie ist der Rest zu 90°), und FA berührt E gar nicht.

Im Bild tippen #9 20s ▶ Testen

Aus dem Fenster O sieht man die Turmspitze S. Tippe auf die Linie, die bei O mit der Sichtlinie OS den Höhenwinkel bildet.

✓ Antwort: OH

Der Höhenwinkel liegt zwischen der Waagrechten durch das Auge und der Sichtlinie — also OH. Der Boden PT liegt 6 m tiefer und geht nicht durch O; wer von ihm aus misst, vergisst die Augenhöhe. OP ist die Senkrechte.

Multiple Choice #10 15s ▶ Testen

Eine Leiter lehnt schräg an einer senkrechten Wand. Welche Strecke ist im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse?

● Die Leiter
○ Die Höhe an der Wand
○ Der Abstand am Boden

Der rechte Winkel liegt dort, wo Wand und Boden sich treffen. Die Hypotenuse liegt ihm gegenüber — das ist die Leiter. Höhe an der Wand und Abstand am Boden sind die beiden Katheten.

Multiple Choice #11 30s ▶ Testen

Ein Turm ist 50 m hoch. Du siehst seine Spitze unter dem Höhenwinkel 20°, also gilt tan 20° = 50 m / d für deinen waagrechten Abstand d. Wie rechnest du d aus?

● d = 50 m : tan 20°
○ d = 50 m · tan 20°
○ d = tan 20° : 50 m

d steht im Nenner. Beide Seiten mal d ergibt d · tan 20° = 50 m, dann durch tan 20° teilen — d ≈ 50 : 0,364 ≈ 137 m. 50 · tan 20° ≈ 18 m wäre kürzer als der Turm hoch ist, bei einem Winkel unter 45° unmöglich.

Mittel

Lückentext #1 10s ▶ Testen

cos α = Ankathete / ___

✓ Antwort: Hypotenuse

Kosinus ist das Verhältnis der Ankathete (neben dem Winkel, nicht die Hypotenuse) zur Hypotenuse.

Lückentext #2 10s ▶ Testen

tan α = Gegenkathete / ___

✓ Antwort: Ankathete

Tangens ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete.

Zahleneingabe #3 10s ▶ Testen

Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete = 6 cm, Hypotenuse = 10 cm. Berechne sin α. (Als Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.6

sin α = 6/10 = 0,6.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Für jeden spitzen Winkel α gilt: sin²α + cos²α = 1.

✓ Wahr

Richtig. Dies folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras: (a/c)² + (b/c)² = (a² + b²)/c² = c²/c² = 1.

Lückentext #5 15s ▶ Testen

Es gilt: cos α = sin(___° − α).

✓ Antwort: 90

Die Komplementärwinkelbeziehung: cos α = sin(90° − α). Die Ankathete von α ist die Gegenkathete von (90° − α).

Zahleneingabe #6 20s ▶ Testen

sin α = 0,8. Berechne cos α. (Als Dezimalzahl)

✓ Antwort: 0.6

sin²α + cos²α = 1 → cos²α = 1 − 0,64 = 0,36 → cos α = 0,6.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welcher Zusammenhang besteht zwischen tan α und sin α, cos α?

○ tan α = sin α · cos α
● tan α = sin α / cos α
○ tan α = cos α / sin α
○ tan α = sin α + cos α

tan α = Gegenkathete/Ankathete = (Gegenkathete/Hypotenuse) / (Ankathete/Hypotenuse) = sin α / cos α.

Lückentext #8 20s ▶ Testen

Der erste Schritt bei einer Sachaufgabe ist immer: eine ___ zeichnen

✓ Antwort: Skizze

Erst die Skizze, dann der rechte Winkel, dann die Benennung der Seiten — erst danach entscheidet sich, welches Verhältnis gebraucht wird.

Lückentext #9 20s ▶ Testen

Die Höhe auf die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks zerlegt es in zwei ___ Dreiecke

✓ Antwort: rechtwinklige

Zwei rechtwinklige Dreiecke — und erst in denen gelten Sinus, Kosinus und Tangens.

Zahleneingabe #10 30s ▶ Testen

Ein Messgerät steht 1,6 m über dem Boden. Über der Gerätehöhe ragt der Turm noch 24,7 m auf. Wie hoch ist der Turm insgesamt (in m)?

✓ Antwort: 26.3

Das Hilfsdreieck liefert nur das Stück über dem Gerät; die Gerätehöhe kommt am Schluss dazu - 24,7 m + 1,6 m = 26,3 m.

Zahleneingabe #11 25s ▶ Testen

Die Sichtlinie zu einer Turmspitze bildet mit der Senkrechten einen Winkel von 50°. Wie groß ist der Höhenwinkel (in Grad)?

✓ Antwort: 40

Der Höhenwinkel wird gegen die Waagrechte gemessen, und Waagrechte und Senkrechte stehen im rechten Winkel aufeinander. Also 90° − 50° = 40°.

Zahleneingabe #12 25s ▶ Testen

Von der Spitze eines Leuchtturms sieht man ein Boot unter dem Tiefenwinkel 12°. Unter welchem Höhenwinkel sieht man vom Boot aus die Spitze (in Grad)?

✓ Antwort: 12

Beide Winkel liegen an derselben Sichtlinie und werden gegen eine Waagrechte gemessen. Die beiden Waagrechten sind parallel, also sind die Winkel gleich groß (Wechselwinkel) — 12°.

Lückentext #13 20s ▶ Testen

Aus sin α = a / c folgt a = c · ___

✓ Antwort: sin α

a steht im Zähler. Beide Seiten mal c genommen ergibt a = c · sin α — eine 7,0 m lange Leiter unter 35° reicht 7,0 m · sin 35° ≈ 4,0 m hoch.

Schwer

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Rechtwinkliges Dreieck: α = 45°, Ankathete b = 7 cm. Berechne die Gegenkathete a (in cm).

✓ Antwort: 7

tan 45° = 1. Also a = b · tan 45° = 7 · 1 = 7 cm.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Turm wirft einen 20 m langen Schatten. Der Sonneneinfallswinkel beträgt 60°. Wie hoch ist der Turm? (Gerundet auf 1 Dezimale, in m. tan 60° ≈ 1,732)

✓ Antwort: 34.6

tan 60° = Höhe/Schatten → Höhe = 20 · tan 60° = 20 · 1,732 ≈ 34,6 m.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Rechtwinkliges Dreieck: α = 30°, Gegenkathete a = 4 cm. Berechne die Hypotenuse c (in cm).

✓ Antwort: 8

sin 30° = a/c → 0,5 = 4/c → c = 8 cm.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Ein gleichschenkliges Dreieck hat Basis 10 cm und Schenkel 13 cm. Berechne die Höhe auf die Basis (in cm).

✓ Antwort: 12

Die Höhe halbiert die Basis. Im rechtwinkligen Teildreieck: h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → h = 12 cm.

Zahleneingabe #5 60s ▶ Testen

Aus 45 m Entfernung erscheint die Spitze eines Kirchturms unter dem Höhenwinkel 38°. Das Messgerät steht 1,6 m über dem Boden. Wie hoch ist der Turm (in m, auf 0,1 m genau)?

✓ Antwort: 36.8

Über dem Messgerät liegen 45 m · tan 38° ≈ 35,2 m. Dazu kommt die Gerätehöhe 1,6 m, also insgesamt ≈ 36,8 m.

Zahleneingabe #6 60s ▶ Testen

Ein gleichschenkliges Dreieck ABC hat die Schenkel a = b = 44,2 cm und die Basis c = 63,4 cm. Berechne den Basiswinkel α (in Grad, auf 0,1° genau).

✓ Antwort: 44.2

Die Höhe auf die Basis halbiert c. Im rechtwinkligen Halbdreieck ist cos α = 31,7/44,2 ≈ 0,717, also α ≈ 44,2°.

KI-bewertete Rechnung #7 240s ▶ Testen

Ein gleichschenkliges Dreieck ABC hat die Schenkel a = b = 44,2 cm und die Basis c = 63,4 cm. Zeichne die Höhe auf die Basis ein und berechne damit die Höhe sowie alle drei Innenwinkel. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Die Höhe halbiert die Basis. h = √(44,2² − 31,7²) ≈ 30,8 cm. Basiswinkel: cos α = 31,7/44,2, also α = β ≈ 44,2°. Spitzenwinkel: γ = 180° − 2 · 44,2° ≈ 91,6°.

Die Höhe zerlegt das gleichschenklige Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke — erst dann sind Sinus, Kosinus und Tangens anwendbar. Kontrolle: α + β + γ = 180°.

KI-bewertete Rechnung #8 240s ▶ Testen

Ein Vermessungsgerät steht 1,6 m über dem Boden und 45 m von einem Kirchturm entfernt. Die Turmspitze erscheint unter dem Höhenwinkel 38°. Zeichne eine Skizze mit dem rechtwinkligen Dreieck und berechne die Turmhöhe über dem Boden. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Im rechtwinkligen Dreieck ist tan 38° = h₁/45 m, also h₁ = 45 m · tan 38° ≈ 35,2 m. Die Turmhöhe über dem Boden ist h = 35,2 m + 1,6 m ≈ 36,8 m.

Das rechtwinklige Dreieck sitzt auf Augenhöhe des Geräts, nicht auf dem Boden — deshalb der zweite Schritt. Dieser Aufbau ist die Standardmethode der Vermessung.

Zahleneingabe #9 60s ▶ Testen

Von einem 12 m hohen Balkon sieht man ein Auto unter dem Tiefenwinkel 25°. Wie weit steht das Auto waagrecht vom Haus entfernt (in m, auf 0,1 m genau)?

✓ Antwort: 25.7

Der Tiefenwinkel am Balkon ist so groß wie der Winkel am Auto zwischen Boden und Sichtlinie. Dort liegt die Höhe 12 m gegenüber und d an, also tan 25° = 12/d und d = 12 / tan 25° ≈ 25,7 m.

Zahleneingabe #10 60s ▶ Testen

Eine Rampe soll 1,2 m Höhe unter einem Steigungswinkel von 6° überwinden. Wie lang wird die schräge Rampe (in m, auf eine Nachkommastelle)?

✓ Antwort: 11.5

Höhe und Rampe sind Gegenkathete und Hypotenuse, also sin 6° = 1,2 m / c. c steht im Nenner — c = 1,2 m : sin 6° ≈ 1,2 : 0,1045 ≈ 11,5 m. Wer 1,2 · sin 6° rechnet, bekommt 0,13 m, kürzer als die Höhe.

Zahleneingabe #11 60s ▶ Testen

Du stehst auf einem Aussichtspunkt 90 m über einem See und siehst ein Boot unter dem Tiefenwinkel 12°. Wie weit ist das Boot waagrecht entfernt (in m, auf ganze Meter)?

✓ Antwort: 423

Höhe 90 m und Abstand d sind die beiden Katheten — tan 12° = 90 m / d. d steht im Nenner, also d = 90 m : tan 12° ≈ 90 : 0,2126 ≈ 423 m.

Zahleneingabe #12 45s ▶ Testen

Eine 7,0 m lange Leiter lehnt unter dem Winkel 35° gegen den Boden an einer senkrechten Wand. Wie hoch reicht sie (in m, auf eine Nachkommastelle)?

✓ Antwort: 4

Die Leiter ist die Hypotenuse, die Höhe an der Wand die Gegenkathete von 35°: sin 35° = a / 7,0 m, also a = 7,0 m · sin 35° ≈ 7,0 · 0,574 ≈ 4,0 m. 7,0 · cos 35° ≈ 5,7 m ist der Abstand am Boden, nicht die Höhe.

Zahleneingabe #13 45s ▶ Testen

Eine 7,0 m lange Leiter soll an einer senkrechten Wand 6,0 m hoch reichen. Unter welchem Winkel gegen den Boden muss sie stehen (in Grad, auf ganze Grad)?

✓ Antwort: 59

Höhe und Leiter sind Gegenkathete und Hypotenuse: sin α = 6,0 : 7,0 ≈ 0,857, also α = sin⁻¹(0,857) ≈ 59°.