Maßstab umrechnen — multiplizieren, dividieren, niemals addieren
Converting with a Scale — Multiply, Divide, Never Add
Vom Plan zur Wirklichkeit wird mit der Maßstabszahl multipliziert, von der Wirklichkeit zum Plan durch sie dividiert — bei 1 : 200 werden aus 3 cm auf dem Plan 600 cm = 6 m in echt. Der häufigste Fehler ist additiv: die Maßstabszahl wird dazugezählt statt multipliziert (Tourniaire & Pulos 1985 dokumentieren diese „additive Strategie" als typischen ersten Zugriff auf Verhältnisaufgaben); der zweite ist die vertauschte Rechenrichtung (mal statt geteilt). Beide fallen am Stützpunkt-Gefühl auf: eine Flaggenstange von 2,54 m oder ein Plan von 9600 m Länge fühlen sich sofort falsch an.
Können & Üben
Vorhersagen — Messen — Erklären: Wie zeichnen wir unser Klassenzimmer im Maßstab?
workshop30 min · once
klassenraum, gruppentisch
Eine Predict–Observe–Explain-Werkstatt, die die additive Fehlvorstellung und die Flächen-Falle beim Maßstab mit Maßband, Kästchenpapier und Lineal sichtbar macht. Ablauf in drei Schritten: (1) VORHERSAGEN — jede Gruppe misst zuerst mit dem Maßband eine Kante ihres Gruppentischs in Zentimetern (z. B. 80 cm) und einigt sich auf einen Maßstab fürs Zeichnen, z. B. 1:10. Bevor gezeichnet wird, notiert jedes Kind zwei Vorhersagen: Wie lang wird die Tischkante auf dem Papier? Die typische Fehlvorhersage „80 cm minus 10 = 70 cm auf dem Blatt“ oder „80 + 10 = 90“ wird ausdrücklich mitnotiert — kein Versehen, sondern der Denkfehler, den die Gruppe gleich prüft. Zweite Vorhersage, für später: Wenn wir die ganze Tischfläche zeichnen und danach eine zweite Zeichnung machen, bei der beide Seiten doppelt so lang sind — wie oft so groß wird dann die gezeichnete Fläche? (2) MESSEN UND ZEICHNEN — auf Kästchenpapier zeichnet jede Gruppe die Tischkante im vereinbarten Maßstab (1:10 heißt: 80 cm werden 8 cm auf dem Papier, denn 80 : 10 = 8 — nicht 80 − 10 oder 80 + 10). Die Kinder prüfen mit dem Lineal nach, ob ihre Zeichnung wirklich 8 cm lang ist. Anschließend zeichnet jede Gruppe zusätzlich ein Rechteck, bei dem beide Seiten der ersten Zeichnung verdoppelt sind, und zählt die Kästchen in beiden Rechtecken ab: Passt das alte Rechteck zwei-, drei- oder viermal in das neue? (Antwort: genau viermal — zweimal nebeneinander, zweimal übereinander.) (3) ERKLÄREN — ein Kind formuliert die Regel in eigenen Worten: „Vom echten Tisch zur Zeichnung rechnet man geteilt durch die Maßstabszahl, nie minus oder plus. Und wenn beide Seiten doppelt so lang werden, wird die Fläche viermal so groß, nicht doppelt.“ Zum Abschluss vergleicht die Gruppe ihre erste Vorhersage („70 cm“ oder „90 cm“) mit dem Ergebnis (8 cm) und ihre Flächen-Vorhersage mit dem Auszählen der Kästchen (4-fach statt 2-fach). Die Begleitperson führt nicht vor, sondern hört zu und stellt nur Rückfragen: „Wird die Zeichnung größer oder kleiner als der echte Tisch? Was verrät dir das über mal oder geteilt? Wie viele alte Rechtecke passen wirklich in das neue — hast du nachgezählt oder geschätzt?“ Eine Beobachtung pro Kind wandert ins Lerntagebuch. Als handelnder Ausgleich zur Bildschirmarbeit am Artikel.
maths-manipulatives-lead
2–6
Du kennst jetzt die Reihenfolge: links der Plan, rechts die
Richtig ist 4 · 250 = 1000 cm = 10 m. Die
Und die Gegenrichtung? Der Schulhof ist in Wirklichkeit
45 m lang, der Plan hat den
Genau hier passiert der zweite Fehler oft: die Richtung zu vertauschen. Ben will die Turnhalle (24 m lang, Maßstab 1:400) auf den Plan zeichnen. Er rechnet 2400 · 400 = 960.000 cm — fast 10 km Papier! Der Fehler: Er hat multipliziert, obwohl die Zeichnung kleiner werden soll. Richtig ist 2400 : 400 = 6 cm.
Entscheide selbst: mal oder geteilt? Sortiere die Aufgaben in die richtige Spalte.
- Mal (Plan → Wirklichkeit)
- Geteilt (Wirklichkeit → Plan)
- Plan 3 cm, Maßstab 1:250
- Wirklichkeit 60 m, Maßstab 1:300
- Plan 5 cm, Maßstab 1:1000
- Wirklichkeit 24 m, Maßstab 1:400
- Plan 2 cm, Maßstab 1:500
Merke dir die Faustregel: Plan → Wirklichkeit: mal. Wirklichkeit → Plan: geteilt. Und egal in welche Richtung — die Maßstabszahl wird niemals addiert oder subtrahiert.
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Ein Modellbaum ist auf dem Plan (Maßstab 1:100) 3 cm hoch. Wie hoch ist der echte Baum in Metern?
Auf dem Plan (Maßstab 1:500) ist ein Weg 5 cm lang. Welche Rechnung liefert die echte Länge?
Die Flaggenstange ist auf dem Plan (1:250) 4 cm lang. In Wirklichkeit ist sie ___ cm lang.
Finn rechnet für die Flaggenstange (4 cm auf dem Plan, Maßstab 1:250): 4 + 250 = 254 cm. Welche Rechnung ist richtig?
Der Schulhof ist 45 m lang, Maßstab 1:300. Wie lang ist er auf dem Plan (in cm)?
Ben will die Turnhalle (24 m lang, Maßstab 1:400) auf den Plan zeichnen. Er rechnet 2400 · 400 = 960.000 cm. Welche Rechnung bringt die Turnhalle richtig auf den Plan?
Der Sportplatz ist 90 m lang. Für den Plan im Maßstab 1:300 rechnet Ida 9.000 : 300 = 30 cm. Stimmt ihre Rechnung?