Potenzen und Zählprinzip

Powers and Counting Principle

Mathematik Klasse 5 18 Aufgaben
ArithmetikPotenzenZählprinzip

Eine Potenz schreibt ein wiederholtes Produkt gleicher Faktoren kurz: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2, mit der Basis 2 und dem Exponenten 5. Zehnerpotenzen zählen die Nullen: 10⁶ = 1.000.000 trägt sechs Nullen. Beim Zählprinzip ergibt sich die Zahl mehrstufiger Auswahlen als Produkt der Stufen — bei 3 Eissorten und 2 Bechergrößen sind es 3 · 2 = 6 Möglichkeiten. Auf das Vorzeichen kommt es an: (−5)² = 25, aber −5² = −25.

Voraussetzungen (1)

Schriftliche Multiplikation
Klasse 4
›

Ermöglicht (1)

Potenzbegriff erweitern — warum a⁰ = 1 gilt
Klasse 9
›
Leicht
Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Berechne: 2⁵

✓ Antwort: 32
2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Die Basis 2 steht fünfmal als Faktor.
Zahleneingabe #2 10s ▶ Testen

Was ist 10³?

✓ Antwort: 1000
10³ = 10 · 10 · 10 = 1000. Der Exponent 3 zeigt die Zahl der Nullen.
Lückentext #3 10s ▶ Testen

7² = ___

✓ Antwort: 49
7² = 7 · 7 = 49. Das ist eine Quadratzahl.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Berechne: 4³

✓ Antwort: 64
4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Das ist eine Kubikzahl.
Wahr / Falsch #5 10s ▶ Testen

Für jede natürliche Zahl a gilt: a¹ = a.

✓ Wahr
Ein einziger Faktor: a¹ = a. So ist die Potenz mit dem Exponenten 1 festgelegt.
Multiple Choice #6 15s ▶ Testen

Wie schreibt man 1.000.000 als Zehnerpotenz?

  • ○ 10⁵
  • ● 10⁶
  • ○ 10⁷
  • ○ 10⁸
1.000.000 hat 6 Nullen, also 10⁶. Der Exponent ist die Anzahl der Nullen.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Eis gibt es in 4 Sorten, dazu kann man zwischen Waffel und Becher wählen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

  • ○ 4
  • ○ 6
  • ● 8
  • ○ 2
Zählprinzip (Multiplikationsregel): 4 Sorten · 2 Behälter = 8 Möglichkeiten.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Schätze zuerst: Welche Quadratzahl liegt am nächsten bei 50?

  • ○ 36
  • ● 49
  • ○ 64
  • ○ 81
7² = 49 liegt nur 1 neben 50, näher als 6² = 36 oder 8² = 64. Überschlag mit Quadratzahlen.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Berechne: (−3)²

✓ Antwort: 9
(−3)² = (−3) · (−3) = 9. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Berechne: (−2)³

✓ Antwort: -8
(−2)³ = (−2) · (−2) · (−2) = 4 · (−2) = −8. Eine ungerade Potenz einer negativen Zahl bleibt negativ.
Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

(−5)² = −25

✓ Falsch
Finde den Fehler: (−5)² = (−5) · (−5) = 25, nicht −25. Nur −5² (ohne Klammer) wäre −(5²) = −25.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Welche Quadratzahl liegt zwischen 140 und 150?

✓ Antwort: 144
12² = 144. Probe: 11² = 121 ist zu klein, 13² = 169 ist zu groß — 144 ist die einzige Quadratzahl dazwischen.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

8 Milliarden = 8 × 10ⁿ. Wie groß ist der Exponent n?

✓ Antwort: 9
8 Milliarden = 8.000.000.000 = 8 × 10⁹. Nach der 8 stehen 9 Nullen.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Vergleiche 2⁴ und 4². Was stimmt?

  • ○ 2⁴ > 4²
  • ○ 2⁴ < 4²
  • ● 2⁴ = 4²
  • ○ Man kann sie nicht vergleichen
2⁴ = 16 und 4² = 16, also sind beide gleich. Basis und Exponent zu tauschen ändert den Wert sonst meist.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

In der Mensa gibt es 3 Vorspeisen, 5 Hauptgerichte und 2 Desserts. Wie viele verschiedene Menüs (je eins von jedem) sind möglich?

  • ○ 10
  • ○ 15
  • ● 30
  • ○ 60
Zählprinzip: 3 · 5 · 2 = 30 verschiedene Menüs. Jede Stufe wird multipliziert.
Sortieren #8 20s ▶ Testen

Ordne von klein nach groß: 3 + 4, 3 · 4, 3⁴

✓ Antwort: 3 + 4,3 · 4,3⁴
3 + 4 = 7, 3 · 4 = 12, 3⁴ = 81. Also 7 < 12 < 81. Die Potenz wächst am stärksten.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Für ein Passwort aus 3 Ziffern (jede von 0 bis 9) gibt es wie viele Möglichkeiten?

✓ Antwort: 1000
Zählprinzip: 10 · 10 · 10 = 10³ = 1000 Möglichkeiten, eine für jede Zahl von 000 bis 999.
Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

In einem Märchen stehen vor dem Schloss 7 Bäume. Jeder Baum hat 7 Äste, jeder Ast 7 Zweige, jeder Zweig 7 Blätter. Jedes Blatt wiegt 7 Gramm Gold. Wie viel Gramm Gold sind das?

✓ Antwort: 16807
7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 7⁵ = 16.807 Gramm. Jede der fünf Stufen multipliziert mit 7 (Zählprinzip).