Teilbarkeit, ggT und kgV

Divisibility, GCD, and LCM

Mathematik Klasse 6 21 Aufgaben
TeilbarkeitZahlentheorieKerncurriculum

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ergeben sich aus ihrer Primfaktorzerlegung: Aus 72 = 2³·3² und 60 = 2²·3·5 folgen ggT = 2²·3 = 12 und kgV = 2³·3²·5 = 360. Die Teilbarkeitsregeln (Endziffer für 2, 5, 10; Quersumme für 3 und 9; letzte zwei Ziffern für 4) entscheiden Teilbarkeit ohne Division. Der ggT trägt das vollständige Kürzen von Brüchen, das kgV liefert den Hauptnenner beim Addieren. Beide lösen Sachaufgaben mit gemeinsamen Takten — etwa, wann zwei Buslinien wieder gleichzeitig abfahren.

Voraussetzungen (2)

Primzahlen und Primfaktorzerlegung
Klasse 5
›
Multiplikation und Division ganzer Zahlen
Klasse 5
›

Ermöglicht (1)

Verhältnisse kürzen und erweitern
Klasse 6
›
Leicht
Wahr / Falsch #1 15s ▶ Testen

246 ist durch 3 teilbar.

✓ Wahr
Quersumme: 2 + 4 + 6 = 12. Da 12 durch 3 teilbar ist, ist auch 246 durch 3 teilbar.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

5738 ist durch 4 teilbar.

✓ Falsch
Für Teilbarkeit durch 4 zählen die letzten beiden Ziffern. 38 ÷ 4 = 9 Rest 2, also ist 5738 nicht durch 4 teilbar.
Lückentext #3 15s ▶ Testen

Die Quersumme von 87444 ist ___.

✓ Antwort: 27
8 + 7 + 4 + 4 + 4 = 27.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Wie viele Teiler hat die Zahl 12?

✓ Antwort: 6
Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6, 12 — das sind 6 Teiler.
Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

87444 ist durch 9 teilbar.

✓ Wahr
Quersumme 27 ist durch 9 teilbar, also ist auch 87444 durch 9 teilbar.
Lückentext #6 15s ▶ Testen

Zwei Zahlen, die außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben, heißen zueinander ___.

✓ Antwort: teilerfremd
Zahlen mit ggT = 1 heißen teilerfremd, z. B. 25 und 18.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne den ggT von 45 und 60.

✓ Antwort: 15
45 = 3² · 5, 60 = 2² · 3 · 5. Gemeinsame Primfaktoren 3 · 5 = 15.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Welche Zahl ist durch 6 teilbar?

  • ● 138
  • ○ 124
  • ○ 135
Durch 6 heißt: durch 2 (gerade) und durch 3 (Quersumme). 138 ist gerade und hat Quersumme 12 — passt. 124 ist zwar gerade, aber Quersumme 7; 135 hat Quersumme 9, ist aber ungerade.
Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Ist 5478 durch 6 teilbar?

✓ Wahr
Ja. 5478 endet auf 8, ist also durch 2 teilbar. Quersumme 5 + 4 + 7 + 8 = 24, also durch 3 teilbar. Durch 2 und durch 3 heißt durch 6.
Lückentext #4 25s ▶ Testen

Die Primfaktorzerlegung von 72 ist 2^___ · 3².

✓ Antwort: 3
72 = 8 · 9 = 2³ · 3². Der Exponent von 2 ist 3.
Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Was sind die gemeinsamen Teiler von 24 und 18?

  • ● 1, 2, 3, 6
  • ○ 1, 2, 3, 4, 6
  • ○ 1, 2, 6
  • ○ 1, 3, 9
Teiler von 24: {1,2,3,4,6,8,12,24}. Teiler von 18: {1,2,3,6,9,18}. Gemeinsam: {1,2,3,6}.
Zahleneingabe #6 25s ▶ Testen

Berechne den ggT von 36 und 55.

✓ Antwort: 1
36 = 2² · 3², 55 = 5 · 11. Keine gemeinsamen Primfaktoren, also ggT = 1 — die Zahlen sind teilerfremd.
Zahleneingabe #7 25s ▶ Testen

Berechne das kgV von 8 und 12.

✓ Antwort: 24
Vielfache von 8: 8, 16, 24, … Vielfache von 12: 12, 24, … Das kleinste gemeinsame ist 24.
Zahleneingabe #8 25s ▶ Testen

Berechne das kgV von 15 und 20.

✓ Antwort: 60
15 = 3 · 5, 20 = 2² · 5. kgV = 2² · 3 · 5 = 60.
Multiple Choice #9 35s ▶ Testen

An einer Haltestelle fährt Bus A alle 8 Minuten, Bus B alle 12 Minuten. Um 6:00 Uhr fahren beide gleichzeitig. Wann das nächste Mal?

  • ● um 6:24 Uhr
  • ○ um 6:20 Uhr
  • ○ um 6:48 Uhr
  • ○ um 6:12 Uhr
kgV(8, 12) = 24. Nach 24 Minuten fahren beide wieder gleichzeitig, also um 6:24 Uhr.
Multiple Choice #10 30s ▶ Testen

Du kürzt 42/56 vollständig. Welchen ggT brauchst du?

  • ● 14
  • ○ 7
  • ○ 2
  • ○ 6
42 = 2 · 3 · 7, 56 = 2³ · 7. ggT = 2 · 7 = 14, und 42/56 = 3/4.
Wahr / Falsch #11 20s ▶ Testen

Lisa weiß: 3 teilt 27, und 3 teilt 45. Ohne die Summe auszurechnen sagt sie: „Dann teilt 3 auch 27 + 45." Hat sie recht?

✓ Wahr
Richtig. 27 = 3 · 9 und 45 = 3 · 15, also ist 27 + 45 = 3 · (9 + 15) — wieder ein Vielfaches von 3. Das gilt für jede Summe zweier Vielfacher von 3.
Wahr / Falsch #12 20s ▶ Testen

Tom weiß: 5 teilt 40, aber 5 teilt 43 nicht. Er behauptet: „Die Summe 40 + 43 ist trotzdem durch 5 teilbar." Hat er recht?

✓ Falsch
Nein. 40 + 43 = 83 endet auf 3 — nicht durch 5 teilbar. Teilt 5 nur einen der beiden Summanden, bleibt bei der Summe immer ein Rest.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne das kgV von 4, 6 und 9.

✓ Antwort: 36
Schrittweise: kgV(4, 6) = 12, dann kgV(12, 9) = 36.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Welche Ziffer muss x in 725x6 sein, damit die Zahl durch 9 teilbar ist?

✓ Antwort: 7
Quersumme: 7 + 2 + 5 + x + 6 = 20 + x. Für Teilbarkeit durch 9 muss 20 + x ein Vielfaches von 9 sein: 27, also x = 7.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Für quadratische Fliesen mit 15 cm Seitenlänge soll ein Boden 45 cm × 75 cm lückenlos belegt werden. Wie viele Fliesen sind es?

✓ Antwort: 15
45 ÷ 15 = 3 Fliesen längs, 75 ÷ 15 = 5 Fliesen quer. Anzahl: 3 · 5 = 15 Fliesen.