Binomische Formeln

Binomial Formulas

Mathematik Klasse 7 19 Aufgaben
AlgebraBinomische FormelnKerncurriculum

(a + b)² ist nicht a² + b², sondern a² + 2ab + b² — der Linearitäts-Fehlschluss ist der häufigste Algebra-Fehler der Sekundarstufe (Malle 1993). Die drei binomischen Formeln (a ± b)² und (a + b)(a − b) sind keine Merksätze, sondern folgen aus dem zweifachen Distributivgesetz und werden am Flächenbild des zerlegten Quadrats sichtbar; das gemischte Glied 2ab ist die fehlende Fläche. Zahlenbeispiele wie (3 + 4)² = 49 ≠ 3² + 4² = 25 widerlegen den Fehler. Vorwärts dienen sie dem Ausmultiplizieren, rückwärts als Faktorisierungswerkzeug in Klasse 8.

Voraussetzungen (1)

Termumformungen
Klasse 7
›

Ermöglicht (3)

Binomische Formeln (Vertiefung)
Klasse 9
›
Quadratische Ergänzung
Klasse 9
›
Terme und Faktorisierung
Klasse 8
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Was ergibt (a + b)²?

  • ○ a² + b²
  • ● a² + 2ab + b²
  • ○ a² + ab + b²
  • ○ 2a² + 2b²
Die 1. binomische Formel: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Was ergibt (a - b)²?

  • ○ a² - b²
  • ● a² - 2ab + b²
  • ○ a² - ab + b²
  • ○ a² - 2ab - b²
Die 2. binomische Formel: (a - b)² = a² - 2ab + b².
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

Was ergibt (a + b)(a - b)?

  • ● a² - b²
  • ○ a² + b²
  • ○ a² - 2ab + b²
  • ○ a² - ab
Die 3. binomische Formel: (a + b)(a - b) = a² - b².
Lückentext #4 20s ▶ Testen

(x + 5)² = x² + ___ + 25

✓ Antwort: 10x
(x + 5)² = x² + 2 · x · 5 + 5² = x² + 10x + 25.
Lückentext #5 20s ▶ Testen

(x - 4)² = x² - 8x + ___

✓ Antwort: 16
(x - 4)² = x² - 2 · x · 4 + 4² = x² - 8x + 16.
Zahleneingabe #6 15s ▶ Testen

Berechne (x + 3)² für x = 7.

✓ Antwort: 100
(7 + 3)² = 10² = 100. Oder: 49 + 42 + 9 = 100.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

(a + b)² = a² + b²

✓ Falsch
Falsch. (a + b)² = a² + 2ab + b². Der gemischte Term 2ab fehlt.
Mittel
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche binomische Formel wird hier angewendet? 49 - 25 = (7 + 5)(7 - 5)

  • ○ 1. binomische Formel
  • ○ 2. binomische Formel
  • ● 3. binomische Formel
  • ○ Keine binomische Formel
a² - b² = (a + b)(a - b) ist die 3. binomische Formel mit a = 7 und b = 5.
Lückentext #2 25s ▶ Testen

(2x + 3)² = 4x² + ___ + 9

✓ Antwort: 12x
(2x + 3)² = (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² + 12x + 9.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Vereinfache: (3x - 2)(3x + 2)

  • ● 9x² - 4
  • ○ 9x² + 4
  • ○ 9x² - 12x + 4
  • ○ 6x² - 4
3. binomische Formel: (3x)² - 2² = 9x² - 4.
Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Berechne 51² mithilfe der 1. binomischen Formel: (50 + 1)² = ?

✓ Antwort: 2601
(50 + 1)² = 50² + 2 · 50 · 1 + 1² = 2500 + 100 + 1 = 2601.
Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

Berechne 99² mithilfe der 2. binomischen Formel.

✓ Antwort: 9801
(100 - 1)² = 100² - 2 · 100 · 1 + 1² = 10000 - 200 + 1 = 9801.
Lückentext #6 25s ▶ Testen

(5a - 3b)² = 25a² - ___ + 9b²

✓ Antwort: 30ab
(5a - 3b)² = (5a)² - 2 · 5a · 3b + (3b)² = 25a² - 30ab + 9b².
Zahleneingabe #7 25s ▶ Testen

Berechne 47 · 53 mithilfe der 3. binomischen Formel.

✓ Antwort: 2491
47 · 53 = (50 - 3)(50 + 3) = 50² - 3² = 2500 - 9 = 2491.
Multiple Choice #8 25s ▶ Testen

Welcher Term ist äquivalent zu x² + 6x + 9?

  • ● (x + 3)²
  • ○ (x + 9)²
  • ○ (x + 3)(x - 3)
  • ○ (x + 6)²
x² + 6x + 9 = x² + 2 · x · 3 + 3² = (x + 3)². Das ist die 1. binomische Formel rückwärts.
Lückentext #9 20s ▶ Testen

Ergänze: x² - 14x + 49 = (x - ___)²

✓ Antwort: 7
x² - 14x + 49 = x² - 2 · x · 7 + 7² = (x - 7)².
Wahr / Falsch #10 20s ▶ Testen

(2x + 5)² = 4x² + 20x + 25

✓ Wahr
Richtig. (2x)² + 2 · 2x · 5 + 5² = 4x² + 20x + 25.
Schwer
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Faktorisiere: 16a² - 9b²

  • ○ (4a - 3b)²
  • ● (4a + 3b)(4a - 3b)
  • ○ (16a + 9b)(a - b)
  • ○ (4a - 3b)(4a + 9b)
16a² - 9b² = (4a)² - (3b)² = (4a + 3b)(4a - 3b) nach der 3. binomischen Formel.
Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Vereinfache: (x + 2)² - (x - 2)². Für welchen Wert von x ergibt das 24?

✓ Antwort: 3
(x + 2)² - (x - 2)² = (x² + 4x + 4) - (x² - 4x + 4) = 8x. Dann 8x = 24, also x = 3.