Terme und Faktorisierung

Terms and Factoring

Mathematik Klasse 8 27 Aufgaben
AlgebraTermeFaktorisierenKerncurriculum

Faktorisieren schreibt eine Summe als Produkt — die Gegenrichtung des Ausmultiplizierens. Zwei Werkzeuge tragen alles: gemeinsame Faktoren ausklammern (6x² + 9x = 3x(2x + 3)) und die binomischen Formeln rückwärts lesen (x² − 25 = (x + 5)(x − 5), x² + 6x + 9 = (x + 3)²). Anders als beim Ausmultiplizieren gibt es keinen festen Rechenweg: Man muss dem Term die Struktur ansehen — welches Muster liegt vor, was ist der größte gemeinsame Faktor? Die Produktform ist kein Selbstzweck, sie erlaubt das Kürzen von Bruchtermen und später das Lösen quadratischer Gleichungen über den Satz vom Nullprodukt.

Voraussetzungen (1)

Binomische Formeln
Klasse 7
›

Ermöglicht (2)

Bruchterme
Klasse 8
›
Faktorisieren und der Satz vom Nullprodukt
Klasse 9
›
Leicht
Lückentext #1 15s ▶ Testen

Multipliziere aus: 3(2x + 5) = ___.

✓ Antwort: 6x + 15
3 · 2x + 3 · 5 = 6x + 15.
Lückentext #2 15s ▶ Testen

Multipliziere aus: -2(4a - 3) = ___.

✓ Antwort: -8a + 6
-2 · 4a + (-2) · (-3) = -8a + 6.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welcher Term entsteht beim Ausmultiplizieren von 5x(2x - 3y)?

  • ● 10x² - 15xy
  • ○ 10x - 15y
  • ○ 7x² - 8xy
  • ○ 10x² - 3y
5x · 2x = 10x², 5x · (-3y) = -15xy. Also 10x² - 15xy.
Lückentext #4 15s ▶ Testen

Vereinfache: 12xy ÷ (4x) = ___.

✓ Antwort: 3y
12xy/(4x) = (12/4) · (xy/x) = 3y.
Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Vereinfache: 35x² ÷ (7x).

  • ● 5x
  • ○ 5x²
  • ○ 28x
  • ○ 5
35x²/(7x) = 5 · x²/x = 5x.
Lückentext #6 15s ▶ Testen

Klammere den gemeinsamen Faktor aus: 6a + 9b = ___.

✓ Antwort: 3(2a + 3b)
GGT der Koeffizienten ist 3. Also 6a + 9b = 3(2a + 3b).
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Klammere aus: 12x² - 8x = ?

  • ● 4x(3x - 2)
  • ○ 4(3x² - 2x)
  • ○ 2x(6x - 4)
  • ○ x(12x - 8)
GGT ist 4x. 12x²/(4x) = 3x und -8x/(4x) = -2. Also 4x(3x - 2).
Lückentext #8 20s ▶ Testen

Klammere aus: 15ab - 5bc = ___.

✓ Antwort: 5b(3a - c)
Gemeinsamer Faktor: 5b. 15ab/(5b) = 3a, -5bc/(5b) = -c. Also 5b(3a - c).
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Es gilt: 8a + 9b = 17ab.

✓ Falsch
Falsch. 8a und 9b sind verschiedenartige Glieder. Man kann sie nicht zu einem Produkt zusammenfassen. Setze z. B. a = 1, b = 1 ein: 8 + 9 = 17 ≠ 17·1·1 = 17. Aber für a = 2, b = 1: 16 + 9 = 25 ≠ 34.
Wahr / Falsch #10 20s ▶ Testen

Die Summe zweier gerader Zahlen ist immer gerade.

✓ Wahr
Richtig. Seien 2m und 2n die geraden Zahlen. Dann ist 2m + 2n = 2(m + n), also gerade.
Multiple Choice #11 15s ▶ Testen

Welcher Ausdruck beschreibt drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen?

  • ● n, n+1, n+2
  • ○ n, 2n, 3n
  • ○ n-1, n, n+2
  • ○ n, n+1, n+3
Aufeinanderfolgende Zahlen unterscheiden sich jeweils um 1: n, n+1, n+2.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Multipliziere aus: -a(a - b + 2) = ___.

✓ Antwort: -a² + ab - 2a
-a · a = -a², -a · (-b) = ab, -a · 2 = -2a.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne 7(2x - 3) - 5(x + 4) für x = 3.

✓ Antwort: -14
Vereinfachen: 14x - 21 - 5x - 20 = 9x - 41. Für x = 3: 9·3 - 41 = 27 - 41 = -14.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Vereinfache: -24a³b ÷ (8a²) = ___.

✓ Antwort: -3ab
-24a³b/(8a²) = -3 · a³/a² · b = -3ab.
Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Welche Faktorisierung von 9x²y - 27xy² + 15xy ist vollständig?

  • ● 3xy(3x - 9y + 5)
  • ○ 3(3x²y - 9xy² + 5xy)
  • ○ xy(9x - 27y + 15)
  • ● 3xy(3x - 9y + 5)
GGT aller drei Terme ist 3xy. 9x²y/(3xy) = 3x, -27xy²/(3xy) = -9y, 15xy/(3xy) = 5.
Lückentext #5 15s ▶ Testen

Klammere aus: a³ - a² = ___.

✓ Antwort: a²(a - 1)
Gemeinsamer Faktor: a². a³/a² = a, -a²/a² = -1. Also a²(a - 1).
Lückentext #6 25s ▶ Testen

Multipliziere aus: (a + 3)(a + 5) = ___.

✓ Antwort: a² + 8a + 15
a·a + a·5 + 3·a + 3·5 = a² + 5a + 3a + 15 = a² + 8a + 15.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Was ergibt (x - 2)(x + 7)?

  • ● x² + 5x - 14
  • ○ x² - 5x - 14
  • ○ x² + 9x - 14
  • ○ x² + 5x + 14
x·x + x·7 + (-2)·x + (-2)·7 = x² + 7x - 2x - 14 = x² + 5x - 14.
Zahleneingabe #8 20s ▶ Testen

Berechne (x + 4)(x - 4) für x = 10.

✓ Antwort: 84
(x + 4)(x - 4) = x² - 16. Für x = 10: 100 - 16 = 84.
Wahr / Falsch #9 30s ▶ Testen

Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist immer ungerade.

✓ Wahr
Richtig. Seien 2m+1 und 2n+1 die Zahlen. Dann ist (2m+1)(2n+1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1, also ungerade.
Zahleneingabe #10 25s ▶ Testen

Die Summe dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen beträgt 102. Wie lautet die kleinste der drei Zahlen?

✓ Antwort: 33
n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 102. Also 3n = 99, n = 33.
Lückentext #11 30s ▶ Testen

Klammere vollständig aus: 14u²v - 21uv + 35uv² = ___.

✓ Antwort: 7uv(2u - 3 + 5v)
GGT ist 7uv. 14u²v/(7uv) = 2u, -21uv/(7uv) = -3, 35uv²/(7uv) = 5v.
Multiple Choice #12 20s ▶ Testen

Vereinfache: (15ab - 5bc) ÷ (5b).

  • ● 3a - c
  • ○ 3ab - c
  • ○ 3a - bc
  • ○ 15a - 5c
(15ab - 5bc)/(5b) = 15ab/(5b) - 5bc/(5b) = 3a - c.
Zahleneingabe #13 25s ▶ Testen

Ein Rechteck hat die Seiten a = 4,5 cm und b = 2,5 cm. Wird b um x = 1,2 cm vergrößert, wie groß ist der neue Flächeninhalt (in cm²)?

✓ Antwort: 16.65
A = a · (b + x) = 4,5 · (2,5 + 1,2) = 4,5 · 3,7 = 16,65 cm².
Zahleneingabe #14 25s ▶ Testen

Udo denkt sich eine Zahl, verdoppelt sie, addiert 5 und subtrahiert die gedachte Zahl. Er erhält 17. Wie lautet die gedachte Zahl?

✓ Antwort: 12
2x + 5 - x = x + 5 = 17. Also x = 12.
Wahr / Falsch #15 15s ▶ Testen

Für alle reellen Zahlen a und b gilt: (a + b)² = a² + b².

✓ Falsch
Falsch. (a + b)² = a² + 2ab + b². Der gemischte Term 2ab fehlt in a² + b².
Schwer
Lückentext #1 35s ▶ Testen

Vereinfache: x(y - z) - y(x + z) + z(x - y) = ___.

✓ Antwort: -2yz
xy - xz - yx - yz + zx - zy = -2yz (xy und -yx heben sich auf, -xz und zx heben sich auf).