Satz des Thales

Thales' Theorem

Mathematik Klasse 7 15 Aufgaben
GeometrieThalesKreiseDreiecke

Jeder Winkel im Halbkreis über dem Durchmesser ist ein rechter. Der Grund: der Radius zum Scheitelpunkt zerlegt das Dreieck in zwei gleichschenklige Teildreiecke; Basiswinkelsatz und Innenwinkelsumme liefern 2α + 2β = 180°, also α + β = 90°. Der Beweis wird als Kette dieser beiden Sätze wirklich geführt, nicht nur mitgeteilt (lokales Ordnen, Weigand et al.). Satz und Kehrsatz sind auseinanderzuhalten: Ein Scheitel innerhalb des Thaleskreises macht den Winkel stumpf, außerhalb spitz. Angewendet beim Konstruieren rechtwinkliger Dreiecke und später der Kreistangenten von einem Punkt aus.

Voraussetzungen (2)

Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke
Klasse 7
›
Innenwinkelsumme
Klasse 7
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Was besagt der Satz des Thales?

  • ○ Alle Dreiecke in einem Kreis sind gleichseitig
  • ● Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel
  • ○ Die Innenwinkelsumme beträgt 180°
  • ○ Alle Punkte auf einem Kreis haben gleichen Abstand
Satz des Thales: Liegt ein Punkt C auf dem Halbkreis über dem Durchmesser AB, so ist der Winkel ACB = 90°.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Wenn der Durchmesser eines Kreises eine Seite eines einbeschriebenen Dreiecks ist, dann hat das Dreieck einen rechten Winkel.

✓ Wahr
Richtig. Das ist der Satz des Thales: Der Winkel gegenüber dem Durchmesser ist 90°.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

A und B sind Endpunkte eines Durchmessers. C liegt auf dem Thaleskreis. Welcher Winkel ist 90°?

  • ○ Winkel bei A
  • ○ Winkel bei B
  • ● Winkel bei C
  • ○ Alle Winkel
Der Winkel bei C (gegenüber dem Durchmesser) ist nach dem Satz des Thales 90°.
Zahleneingabe #4 10s ▶ Testen

Der Durchmesser AB eines Thaleskreises ist 10 cm lang. Punkt C liegt auf dem Kreis. Wie groß ist der Winkel ACB?

✓ Antwort: 90
Nach dem Satz des Thales ist der Winkel bei C immer 90°, unabhängig von der Position von C auf dem Halbkreis.
Lückentext #5 15s ▶ Testen

Der Thaleskreis hat den ___ als Durchmesser.

✓ Antwort: Hypotenuse
Der Thaleskreis wird über der Hypotenuse (der längsten Seite des rechtwinkligen Dreiecks) als Durchmesser konstruiert.
Multiple Choice #6 15s ▶ Testen

Der Mittelpunkt des Thaleskreises liegt...

  • ○ am Scheitel des rechten Winkels
  • ● auf der Mitte der Hypotenuse
  • ○ im Schwerpunkt des Dreiecks
  • ○ auf der kürzesten Seite
Der Thaleskreis hat die Hypotenuse als Durchmesser, also liegt sein Mittelpunkt in der Mitte der Hypotenuse.
Zahleneingabe #7 15s ▶ Testen

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 13 cm lang. Wie groß ist der Radius des Thaleskreises?

✓ Antwort: 6.5
Der Thaleskreis hat die Hypotenuse als Durchmesser. Radius = 13/2 = 6,5 cm.
Mittel
Wahr / Falsch #1 20s ▶ Testen

Die Umkehrung des Satzes von Thales lautet: Wenn ein Dreieck einen rechten Winkel hat, liegt der Scheitel des rechten Winkels auf dem Thaleskreis über der Hypotenuse.

✓ Wahr
Richtig. Der Thaleskreis hat die Hypotenuse als Durchmesser, und der Scheitel des rechten Winkels liegt auf diesem Kreis.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Für die Tangente von P an den Kreis um M zeichnet man den Thaleskreis über MP. Er schneidet den Kreis im Punkt B. Welche Gerade ist die Tangente?

  • ○ Die Gerade MB
  • ● Die Gerade PB
  • ○ Die Gerade MP
B liegt auf dem Thaleskreis über MP, also ist der Winkel bei B ein rechter: MB ⟂ PB. Eine Tangente steht senkrecht auf dem Radius zum Berührpunkt — MB ist dieser Radius, also ist PB die Tangente. Deshalb nutzt man den Thaleskreis: Er liefert genau diesen rechten Winkel.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Im Thaleskreis über AB (Durchmesser = 12 cm) liegt C auf dem Kreis. Der Winkel bei A ist 35°. Wie groß ist der Winkel bei B?

✓ Antwort: 55
Winkel bei C = 90° (Thales). Winkel bei A + Winkel bei B = 180° - 90° = 90°. Also Winkel bei B = 90° - 35° = 55°.
Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Wenn ein Punkt C innerhalb des Thaleskreises über AB liegt, ist der Winkel ACB größer als 90°.

✓ Wahr
Richtig. Punkte innerhalb des Thaleskreises ergeben einen stumpfen Winkel (> 90°), Punkte außerhalb einen spitzen Winkel (< 90°).
Lückentext #5 20s ▶ Testen

Um eine Tangente von einem äußeren Punkt P an einen Kreis mit Mittelpunkt M zu konstruieren, zeichnet man den Thaleskreis über der Strecke ___.

✓ Antwort: PM
Man zeichnet den Thaleskreis über PM. Die Schnittpunkte mit dem gegebenen Kreis sind die Berührpunkte der Tangenten.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Von einem äußeren Punkt kann man genau zwei Tangenten an einen Kreis legen.

✓ Wahr
Richtig. Der Thaleskreis über der Strecke vom äußeren Punkt zum Kreismittelpunkt schneidet den gegebenen Kreis in genau zwei Punkten.
Zahleneingabe #7 20s ▶ Testen

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 cm und 8 cm. Wie lang ist die Hypotenuse (also der Durchmesser des Thaleskreises)?

✓ Antwort: 10
Nach dem Satz des Pythagoras (hier als Spezialfall): 6² + 8² = 36 + 64 = 100. √100 = 10 cm.
Schwer
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Welche Aussage folgt direkt aus dem Satz des Thales?

  • ○ In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die längste Seite
  • ● Der Mittelpunkt der Hypotenuse hat von allen drei Ecken den gleichen Abstand
  • ○ Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°
  • ○ Parallele Geraden haben gleiche Stufenwinkel
Da C auf dem Thaleskreis liegt und M der Mittelpunkt ist: MA = MB = MC = Radius. Alle drei Ecken sind gleich weit von M entfernt.