Bruchgleichungen

Fraction Equations

Mathematik Klasse 8 17 Aufgaben
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Eine Bruchgleichung hat die Variable im Nenner. Zuerst wird die Definitionsmenge bestimmt (Nenner ≠ 0), dann mit dem Hauptnenner multipliziert und die entstehende lineare Gleichung gelöst. Das Multiplizieren mit einem variablen Term ist keine Äquivalenzumformung: Es kann Scheinlösungen erzeugen, die außerhalb der Definitionsmenge liegen und darum verworfen werden mĂŒssen. Die Probe am Schluss ist deshalb Pflicht, nicht KĂŒr. Solche Gleichungen entstehen etwa bei gemeinsamer Arbeitszeit oder Geschwindigkeiten.

Voraussetzungen (2)

Bruchterme
Klasse 8
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Lineare Gleichungen
Klasse 7
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Leicht
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Löse: 12/x = 4.

✓ Antwort: 3
12/x = 4 → 12 = 4x → x = 3. Probe: 12/3 = 4 ✓
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Löse: 20/(x + 1) = 5.

✓ Antwort: 3
20/(x + 1) = 5 → 20 = 5(x + 1) → 20 = 5x + 5 → 15 = 5x → x = 3. Probe: 20/4 = 5 ✓
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Löse: 6/(x - 2) = 3.

✓ Antwort: 4
6/(x - 2) = 3 → 6 = 3(x - 2) → 6 = 3x - 6 → 12 = 3x → x = 4. Probe: 6/2 = 3 ✓
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Löse: 15/(x + 3) = 3.

✓ Antwort: 2
15 = 3(x + 3) → 15 = 3x + 9 → 6 = 3x → x = 2. Probe: 15/5 = 3 ✓
LĂŒckentext #5 20s ▶ Testen

Löse die Formel v = s/t nach t auf: t = ___.

✓ Antwort: s/v
v = s/t → v · t = s → t = s/v.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Löse nach x auf: a/x = b.

  • ○ x = ab
  • ● x = a/b
  • ○ x = b/a
  • ○ x = a - b
a/x = b → a = bx → x = a/b.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Bei Bruchgleichungen muss man immer prĂŒfen, ob die Lösung die Definitionsmenge verletzt.

✓ Wahr
Richtig. Durch Multiplikation mit dem Nenner können Scheinlösungen entstehen. Man muss prĂŒfen, dass der Nenner nicht 0 wird.
Zahleneingabe #8 20s ▶ Testen

Löse: 10/(2x + 4) = 1.

✓ Antwort: 3
10 = 2x + 4 → 6 = 2x → x = 3. Probe: 10/(6 + 4) = 10/10 = 1 ✓
LĂŒckentext #9 15s ▶ Testen

Löse die Formel F = m · a nach m auf: m = ___.

✓ Antwort: F/a
F = m · a → m = F/a.
Mittel
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Löse: 2/x + 3/x = 10.

  • ● x = 0,5
  • ○ x = 2
  • ○ x = 5
  • ○ x = 1
2/x + 3/x = 5/x = 10 → x = 5/10 = 0,5. Probe: 2/0,5 + 3/0,5 = 4 + 6 = 10 ✓
Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Bei der Gleichung 5/(x - 1) = 0 ist x = 1 eine Lösung.

✓ Falsch
Falsch. FĂŒr x = 1 ist der Nenner 0 — der Term ist nicht definiert. Zudem hat 5/(x-1) = 0 keine Lösung, da 5 ≠ 0.
Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Löse: 1/x + 1/(2x) = 3.

  • ● x = 1/2
  • ○ x = 1
  • ○ x = 3/2
  • ○ x = 2
Hauptnenner 2x: 2/(2x) + 1/(2x) = 3 → 3/(2x) = 3 → 2x = 1 → x = 1/2. Probe: 1/(1/2) + 1/(2·1/2) = 2 + 1 = 3 ✓
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Löse: (x + 2)/3 = (x - 1)/2. Berechne x.

✓ Antwort: 7
Hauptnenner 6: 2(x + 2) = 3(x - 1) → 2x + 4 = 3x - 3 → 7 = x. Probe: 9/3 = 3 und 6/2 = 3 ✓
Zahleneingabe #5 35s ▶ Testen

Löse: 4/(x - 1) = 2/(x - 3). Berechne x.

✓ Antwort: 5
Kreuzweise multiplizieren: 4(x - 3) = 2(x - 1) → 4x - 12 = 2x - 2 → 2x = 10 → x = 5. Probe: 4/4 = 1 und 2/2 = 1 ✓
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Löse nach h auf: V = π · rÂČ Â· h.

  • ● h = V/(π · rÂČ)
  • ○ h = V · π · rÂČ
  • ○ h = π · rÂČ/V
  • ○ h = V - π · rÂČ
V = π · rÂČ Â· h → h = V/(π · rÂČ).
Zahleneingabe #7 25s ▶ Testen

Löse: (3x)/(x + 2) = 2. Berechne x.

✓ Antwort: 4
3x = 2(x + 2) → 3x = 2x + 4 → x = 4. Probe: 12/6 = 2 ✓
Schwer
LĂŒckentext #1 45s ▶ Testen

Löse die Formel 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ nach R auf. Tipp: Erst addieren, dann Kehrwert. R = ___.

✓ Antwort: (R₁ · R₂)/(R₁ + R₂)
1/R = 1/R₁ + 1/R₂ = (R₂ + R₁)/(R₁ · R₂). Also R = (R₁ · R₂)/(R₁ + R₂).