Funktionales Denken — Zuordnung und Kovariation

Functional thinking — assignment and covariation

Mathematik Klasse 8 16 Aufgaben
FunktionenGraphenKerncurriculum

Ein funktionaler Zusammenhang ordnet jedem Wert der einen Größe genau einen der anderen zu (Zuordnung) und sagt, wie sich die eine ändert, wenn die andere wächst (Kovariation) — die ersten beiden Grundvorstellungen nach Vollrath (1989), noch vor dem formalen Funktionsbegriff. Aus Graphen, Tabellen und Alltagssituationen wird qualitativ gedeutet: Füllgraphen von Gefäßen, Weg-Zeit-Verläufe, steigende und fallende Abschnitte. Falsch ist der Graph-als-Bild-Fehler — einen Graphen als Foto der Situation zu lesen, etwa ein Geschwindigkeitsdiagramm als Berg-und-Tal-Strecke (Clement 1985).

Voraussetzungen (1)

Koordinatensystem, Punkte und Geraden
Klasse 5
›

Ermöglicht (2)

Funktionsbegriff
Klasse 8
›
Steigung als Änderungsrate
Klasse 8
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Graph zeigt die Wassertiefe in einer Badewanne über die Zeit: erst steigt er steil, dann verläuft er waagrecht, dann fällt er. Was passiert im waagrechten Abschnitt?

  • ● Die Wassertiefe bleibt gleich
  • ○ Das Wasser wird abgelassen
  • ○ Die Wanne läuft besonders schnell voll
Waagrecht heißt — die Zeit vergeht, aber der Wert ändert sich nicht. Der Hahn ist zu, der Stöpsel drin.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Weg-Zeit-Graph, der steil ansteigt, bedeutet: Der Radfahrer fährt gerade einen steilen Berg hinauf.

✓ Falsch
Der Graph ist kein Foto der Landschaft. Steil ansteigend heißt hier — in kurzer Zeit viel Weg, also hohes Tempo, auch auf ebener Straße.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Eine schmale Vase und ein breiter Topf werden gleichmäßig mit Wasser gefüllt. In welchem Gefäß steigt der Wasserstand schneller?

  • ● In der schmalen Vase
  • ○ Im breiten Topf
  • ○ In beiden gleich schnell
Gleiches Wasser pro Sekunde verteilt sich in der schmalen Vase auf weniger Grundfläche — der Pegel steigt schneller.
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

In einer Tabelle steht: 1 kg → 2,50 €, 2 kg → 5,00 €, 3 kg → 7,50 €. Welcher Wert ist 4 kg zugeordnet?

  • ● 10,00 €
  • ○ 8,50 €
  • ○ 12,50 €
Jedes Kilogramm kostet 2,50 € — pro Kilogramm mehr steigt der Preis um denselben Betrag.
Wahr / Falsch #5 12s ▶ Testen

Wenn ein Graph von links nach rechts fällt, wird der zugeordnete Wert kleiner, während die Ausgangsgröße wächst.

✓ Wahr
Genau das heißt fallen — wachsendes x, kleiner werdendes y. Das ist die Kovariationssicht.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Ein fallender Abschnitt in einem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen bedeutet, dass das Auto rückwärts fährt.

✓ Falsch
Fallende Geschwindigkeit heißt bremsen — das Auto wird langsamer, fährt aber weiter vorwärts. Der Graph zeigt das Tempo, nicht den Ort.
Lückentext #7 20s ▶ Testen

Eine Kerze ist beim Anzünden 20 cm lang und brennt pro Stunde 2 cm ab. Nach 3 Stunden ist sie ___ cm lang.

✓ Antwort: 14
Pro Stunde 2 cm weniger — nach 3 Stunden sind 6 cm abgebrannt, es bleiben 20 − 6 = 14 cm.
Wahr / Falsch #8 12s ▶ Testen

Aus einem Graphen kann man auch Werte ablesen, die in einer Wertetabelle nicht als Zeile stehen.

✓ Wahr
Der Graph zeigt den Zusammenhang durchgehend — auch Zwischenwerte lassen sich ablesen, die Tabelle nennt nur einzelne Paare.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Zwei verschiedene Situationen können auf denselben Graphen führen — zum Beispiel eine abbrennende Kerze und ein leerlaufender Wassertank.

✓ Wahr
Der Graph zeigt nur das Muster des Zusammenhangs. Gleichmäßige Abnahme sieht immer gleich aus, egal was abnimmt.
Mittel
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Temperatur an einem Tag: morgens 8 °C, mittags 17 °C, abends 11 °C. Was beschreibt die Zuordnung hier?

  • ● Jeder Uhrzeit wird genau eine Temperatur zugeordnet
  • ○ Jeder Temperatur wird genau eine Uhrzeit zugeordnet
  • ○ Uhrzeit und Temperatur sind unabhängig
Zu jedem Zeitpunkt gibt es genau eine Temperatur. Umgekehrt gilt das nicht — 11 °C kann morgens und abends vorkommen.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welcher Satz beschreibt die Kovariation beim Kerzen-Beispiel (pro Stunde brennen 2 cm ab)?

  • ● Wächst die Zeit um 1 Stunde, nimmt die Länge um 2 cm ab
  • ○ Nach 5 Stunden ist die Kerze 10 cm lang
  • ○ Die Kerze war am Anfang 20 cm lang
Kovariation beschreibt, wie sich der eine Wert ändert, wenn der andere wächst — nicht einen einzelnen Wert.
Lückentext #3 15s ▶ Testen

In einem Weg-Zeit-Graphen verläuft ein Abschnitt waagrecht. In dieser Zeit ___ die Person.

✓ Antwort: steht
Waagrecht heißt: Die Zeit vergeht, der Weg wächst nicht — die Person steht, etwa an einer Ampel. Je steiler der Graph, desto schneller ist sie.
Lückentext #4 15s ▶ Testen

Ein Geschwindigkeits-Zeit-Graph fällt in einem Abschnitt. In dieser Zeit wird das Auto ___.

✓ Antwort: langsamer
Der Graph zeigt die Geschwindigkeit, nicht die Strecke und nicht die Richtung. Fällt er, nimmt die Geschwindigkeit ab — das Auto bremst, es fährt nicht rückwärts.
Schwer
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Marie geht zu Fuß zur Schule, wartet an der Ampel und rennt dann das letzte Stück. Welcher Weg-Zeit-Graph passt?

  • ● Erst mäßig steigend, dann waagrecht, dann steil steigend
  • ○ Erst steil steigend, dann fallend, dann waagrecht
  • ○ Gleichmäßig steigend von Anfang bis Ende
Warten heißt — Zeit vergeht, der Weg wächst nicht (waagrecht). Rennen heißt — viel Weg in kurzer Zeit (steil).
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Ein Läufer startet schnell, wird müde und immer langsamer. Wie sieht sein Weg-Zeit-Graph aus?

  • ● Er steigt, wird aber immer flacher
  • ○ Er steigt immer steiler
  • ○ Er fällt am Ende
Der Weg wächst weiter (er läuft ja noch), aber pro Minute kommt immer weniger dazu — der Graph flacht ab.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Der Geschwindigkeits-Zeit-Graph von Lenas Radtour sieht aus wie ein Berg: Er steigt erst und fällt dann wieder. Was ist Lena gefahren?

  • ● Sie ist erst immer schneller und dann wieder langsamer geworden
  • ○ Sie ist einen Berg hinauf- und wieder hinuntergefahren
  • ○ Sie ist hingefahren und auf demselben Weg zurück
Der Graph zeigt, wie sich die Geschwindigkeit mit der Zeit ändert — kein Bild der Strecke. Ein „Berg“ im Graphen heißt: schneller, dann langsamer, egal ob die Straße flach war.