Elementare gebrochen-rationale Funktionen

Elementary Rational Functions

Mathematik Klasse 8 17 Aufgaben
FunktionenRationalAlgebraKerncurriculum

Eine gebrochen-rationale Funktion hat die Variable im Nenner, etwa f(x) = a/(x − b) + c mit der Hyperbel y = 1/x als Grundform. An der DefinitionslĂŒcke x = b wachsen die Werte ĂŒber alle Grenzen — dort verlĂ€uft eine senkrechte Asymptote; fĂŒr große x nĂ€hert sich der Graph der waagrechten Asymptote y = c, ohne sie zu erreichen. Dieses „nĂ€hert sich, erreicht nie" ist der Kern; der Graph schneidet die Asymptote nicht und setzt an der LĂŒcke nicht „bei null" fort. Wertetabellen nahe der Polstelle machen das Verhalten konkret.

Voraussetzungen (2)

Funktionsbegriff
Klasse 8
â€ș
Bruchterme
Klasse 8
â€ș
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher x-Wert gehört nicht zur Definitionsmenge von f(x) = 3/(x - 4)?

  • ○ x = 0
  • ○ x = 3
  • ● x = 4
  • ○ x = -4
Der Nenner x - 4 darf nicht 0 werden. x - 4 = 0 → x = 4. Also ist x = 4 nicht in der Definitionsmenge.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welcher x-Wert gehört nicht zur Definitionsmenge von f(x) = 5/(x + 2)?

  • ○ x = 5
  • ○ x = 2
  • ● x = -2
  • ○ x = 0
x + 2 = 0 → x = -2. FĂŒr x = -2 ist der Nenner 0, daher ist dieser Wert ausgeschlossen.
LĂŒckentext #3 15s ▶ Testen

Die Definitionsmenge von f(x) = 1/x ist D = ℝ \ {___}.

✓ Antwort: 0
Der Nenner x darf nicht 0 sein. Also D = ℝ \ {0}.
Zahleneingabe #4 15s ▶ Testen

Berechne f(2) fĂŒr f(x) = 6/(x - 1).

✓ Antwort: 6
f(2) = 6/(2 - 1) = 6/1 = 6.
Zahleneingabe #5 15s ▶ Testen

Berechne f(-1) fĂŒr f(x) = 4/(x + 3).

✓ Antwort: 2
f(-1) = 4/(-1 + 3) = 4/2 = 2.
Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 1/x hat die y-Achse als senkrechte Asymptote.

✓ Wahr
Richtig. FĂŒr x → 0 gehen die Funktionswerte gegen ±∞. Die Gerade x = 0 (y-Achse) ist die senkrechte Asymptote.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Gerade ist die senkrechte Asymptote von f(x) = 2/(x - 3)?

  • ○ x = 2
  • ● x = 3
  • ○ x = -3
  • ○ y = 3
Die senkrechte Asymptote liegt dort, wo der Nenner 0 wird: x - 3 = 0 → x = 3.
Zahleneingabe #8 20s ▶ Testen

Bestimme den y-Achsenabschnitt von f(x) = 4/(x + 2).

✓ Antwort: 2
f(0) = 4/(0 + 2) = 4/2 = 2. Der Graph schneidet die y-Achse bei y = 2.
Mittel
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Gerade ist die waagerechte Asymptote von f(x) = 2/(x - 3)?

  • ○ y = 2
  • ● y = 0
  • ○ y = 3
  • ○ y = -3
FĂŒr x → ±∞ geht 2/(x - 3) → 0. Die waagerechte Asymptote ist y = 0 (die x-Achse).
Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 1/x schneidet die x-Achse.

✓ Falsch
Falsch. 1/x = 0 hat keine Lösung. Der Graph nÀhert sich der x-Achse an, schneidet sie aber nie.
LĂŒckentext #3 25s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = 3/(x + 1) hat die senkrechte Asymptote x = ___ und die waagerechte Asymptote y = ___.

✓ Antwort: -1 und 0
Senkrechte Asymptote: x + 1 = 0 → x = -1. Waagerechte Asymptote: FĂŒr x → ±∞ geht f(x) → 0, also y = 0.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Was passiert mit dem Graphen von f(x) = a/x, wenn man a verdoppelt?

  • ○ Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt
  • ● Der Graph wird in y-Richtung gestreckt
  • ○ Die Asymptoten verschieben sich
  • ○ Der Graph wird nach rechts verschoben
Der Parameter a streckt den Graphen in y-Richtung. GrĂ¶ĂŸeres a → die Hyperbel liegt weiter von den Achsen entfernt.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

Bestimme den y-Achsenabschnitt von f(x) = -6/(x - 3).

✓ Antwort: 2
f(0) = -6/(0 - 3) = -6/(-3) = 2.
Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Wie verĂ€ndert sich der Graph von f(x) = 1/x, wenn man zu f(x) = 1/(x - 2) ĂŒbergeht?

  • ○ Verschiebung um 2 nach oben
  • ● Verschiebung um 2 nach rechts
  • ○ Verschiebung um 2 nach links
  • ○ Streckung um Faktor 2
Das -2 im Nenner verschiebt den Graphen um 2 Einheiten nach rechts. Die senkrechte Asymptote wandert von x = 0 nach x = 2.
Wahr / Falsch #7 25s ▶ Testen

Die Funktion f(x) = -1/x hat einen Graphen, der in den Quadranten II und IV liegt.

✓ Wahr
Richtig. FĂŒr x > 0: f(x) < 0 (Quadrant IV). FĂŒr x < 0: f(x) > 0 (Quadrant II).
Zahleneingabe #8 25s ▶ Testen

FĂŒr welchen x-Wert hat f(x) = 12/(x - 1) den Funktionswert 4?

✓ Antwort: 4
12/(x - 1) = 4 → 12 = 4(x - 1) → 12 = 4x - 4 → 16 = 4x → x = 4.
Schwer
Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

FĂŒr welche Funktion gilt: Der Graph hat die senkrechte Asymptote x = -5 und die waagerechte Asymptote y = 0?

  • ○ f(x) = 1/(x - 5)
  • ● f(x) = 1/(x + 5)
  • ○ f(x) = 5/x
  • ○ f(x) = (x + 5)/x
Senkrechte Asymptote x = -5 bedeutet Nenner x + 5 = 0. Waagerechte Asymptote y = 0 passt zu f(x) = 1/(x + 5).