Prisma und Zylinder

Prism and cylinder

Mathematik Klasse 8 16 Aufgaben

GeometrieOberflächeVolumen

Gerade Prismen und der Kreiszylinder werden mit Fachwörtern beschrieben (Grundfläche, Deckfläche, Mantelfläche, Höhe), im Schrägbild gezeichnet (Vorderfläche wahr, Tiefe unter 45° auf die Hälfte, verdeckte Kanten gestrichelt) und als Netz aufgeklappt; das Mantelrechteck des Zylinders ist so breit wie der Umfang der Grundfläche. Räumt aus: die Grundfläche sei immer der Boden, die Tiefe werde in wahrer Länge gezeichnet und das Mantelrechteck sei so breit wie r oder d. Bereitet die Oberfläche und das Volumen des Zylinders vor.

Körper und Fachwörter

Ein gerades Prisma hat zwei parallele, deckungsgleiche Vielecke als Grundfläche und Deckfläche. Die Seitenflächen sind Rechtecke und heißen zusammen Mantelfläche; die Höhe h steht senkrecht auf der Grundfläche. Beim Zylinder sind Grund- und Deckfläche Kreise, der Mantel ist gekrümmt. Vorsicht: Die Grundfläche ist nicht immer der „Boden“. Das Dreiecksprisma im Bild liegt auf einem Rechteck, seine Grundfläche ist das Dreieck ABC.

Gerades Dreiecksprisma: Grundfläche ABC, Deckfläche DEF, drei Rechtecke als Mantelfläche.

Das Schrägbild

Auf Papier zeichnet man Körper im Schrägbild: Die Vorderfläche wird in wahrer Größe gezeichnet, die Tiefe nach hinten unter 45° und auf die Hälfte verkürzt. Ein Quader mit 6 cm Tiefe erhält also eine 3 cm lange Tiefenkante. Verdeckte Kanten zeichnet man gestrichelt. Ein Kreis in der Vorderfläche bleibt ein Kreis; der waagerechte Grundkreis eines stehenden Zylinders wird zur Ellipse.

Ändere die wahre Tiefe p. Wie lang ist die gezeichnete Tiefenkante?

Schrägbild eines stehenden Zylinders: Der Grundkreis wird zur Ellipse, verdeckte Kanten sind gestrichelt.

Das Netz

Schneidet man die Mantelfläche auf und klappt den Körper auf, entsteht das Netz. Beim Prisma sind das die zwei Grundflächen und die Rechtecke des Mantels. Beim Zylinder sind es zwei Kreise und ein Rechteck: Es ist so hoch wie der Zylinder und so breit wie der Umfang der Grundfläche, $2 π r$ , denn der Mantel wickelt sich einmal um den Kreis. Für $r = 2 cm$ und $h = 5 cm$ ist das Rechteck $12, 6 cm \times 5 cm$ groß.

Netz eines Zylinders: zwei Kreise und ein Rechteck, so breit wie der Umfang 2πr.

Voraussetzungen (1)

Umfang und die Zahl π

Klasse 8

›

Ermöglicht (2)

Oberfläche des Zylinders

Klasse 8

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Volumen: Grundfläche mal Höhe

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Das gerade Prisma im Bild liegt auf einer seiner Rechteckflächen. Welche Fläche ist seine Grundfläche?

● Dreieck ABC
○ Rechteck ABED
○ Rechteck BCFE

Die Grundfläche ist das Vieleck, das dem Prisma den Namen gibt: das Dreieck ABC (mit dem Deckdreieck DEF). Das Rechteck ABED ist nur der „Boden“, auf dem das Prisma liegt, BCFE eine Seitenfläche des Mantels.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein sechseckiger Bleistift (ohne Spitze) ist ein gerades Prisma; seine Mantelfläche besteht aus sechs Rechtecken.

✓ Wahr

Grund- und Deckfläche sind Sechsecke, jede der sechs Seiten ergibt ein Rechteck im Mantel.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welcher Gegenstand hat die Form eines geraden Prismas?

● ein sechseckiger Bleistift
○ eine Konservendose
○ ein Fußball

Ein Prisma hat Vielecke als Grund- und Deckfläche: das Sechseck des Bleistifts. Die Konservendose hat Kreise – sie ist ein Zylinder –, der Fußball hat keine ebenen Flächen.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Quader ist 6 cm tief. Wie wird die Tiefe im Schrägbild gezeichnet?

● 3 cm lang unter 45°
○ 6 cm lang unter 45°
○ 3 cm lang unter 90°

Im Schrägbild wird die Tiefe auf die Hälfte verkürzt (6 : 2 = 3 cm) und unter 45° nach hinten gezeichnet. 6 cm wäre die wahre Länge, 90° eine Kante nach oben.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Im Schrägbild werden die Kanten der Vorderfläche eines Quaders auf die Hälfte verkürzt gezeichnet.

✓ Falsch

Nur die Tiefe wird halbiert. Die Vorderfläche erscheint in wahrer Größe, Rechtecke bleiben Rechtecke.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Ein Zylinder steht auf dem Tisch. Wie zeichnet man seine waagerechte kreisförmige Grundfläche im Schrägbild?

● als Ellipse (flachgedrückter Kreis)
○ als Kreis
○ als Quadrat

Ein waagerechter Kreis erscheint im Schrägbild verkürzt, also als Ellipse. Nur ein Kreis in der Vorderfläche bliebe ein Kreis.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Zylinder hat r = 2 cm und h = 5 cm. Aus welchen Teilen besteht sein Netz?

● Rechteck 12,6 cm × 5 cm und zwei Kreise mit r = 2 cm
○ Rechteck 4 cm × 5 cm und zwei Kreise mit r = 2 cm
○ Rechteck 12,6 cm × 5 cm und ein Kreis mit r = 2 cm

Das Rechteck ist so breit wie der Umfang: 2 · π · 2 cm ≈ 12,6 cm, und h = 5 cm hoch. Dazu kommen Grund- und Deckfläche, also zwei Kreise. 4 cm ist der Durchmesser, nicht der Umfang; ein einzelner Kreis lässt den Zylinder oben oder unten offen.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Das Mantelrechteck eines Zylinders mit r = 3 cm und h = 8 cm ist 3 cm breit und 8 cm hoch.

✓ Falsch

Die Breite ist der Umfang der Grundfläche: 2 · π · 3 cm ≈ 18,85 cm. Nur die Höhe (8 cm) stimmt.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Zu welchem Körper gehört dieses Netz?

● gerades Dreiecksprisma
○ Pyramide mit dreieckiger Grundfläche
○ Quader

Das Netz hat zwei kongruente Dreiecke (Grund- und Deckfläche) und drei Rechtecke im Mantel: ein Dreiecksprisma. Eine Pyramide hätte nur ein Dreieck und Dreiecke als Seiten, ein Quader sechs Rechtecke.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Ein gerades Prisma hat eine sechseckige Grundfläche. Aus wie vielen Rechtecken besteht seine Mantelfläche?

✓ Antwort: 6

Jede Seite des Sechsecks ergibt ein Rechteck im Mantel: 6 Rechtecke.

Zahleneingabe #2 15s ▶ Testen

Unter welchem Winkel (in Grad) werden die nach hinten laufenden Kanten im Schrägbild gezeichnet?

✓ Antwort: 45

Die Tiefenkanten laufen unter 45° nach hinten und sind auf die Hälfte verkürzt.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Das Mantelrechteck eines Zylinders mit r = 5 cm ist so breit wie der Umfang der Grundfläche. Wie breit ist es (in cm, auf 0,1 gerundet)?

✓ Antwort: 31.4

2 · π · 5 cm = 31,416 cm ≈ 31,4 cm.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Ein gerades Prisma hat insgesamt 10 Flächen. Wie viele Ecken hat seine Grundfläche?

✓ Antwort: 8

Zwei Flächen sind Grund- und Deckfläche, die übrigen 10 − 2 = 8 sind Rechtecke des Mantels – so viele, wie die Grundfläche Seiten (und Ecken) hat: 8.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Im Schrägbild eines Quaders ist die Tiefenkante 2,5 cm lang gezeichnet. Wie tief ist der Quader in Wirklichkeit (in cm)?

✓ Antwort: 5

Gezeichnet ist die halbe Tiefe. Wirklich sind es 2 · 2,5 cm = 5 cm.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Ein Etikett soll eine Dose (r = 4 cm, h = 10 cm) einmal genau umhüllen. Wie lang muss das Etikett sein (in cm, auf 0,1 gerundet)?

✓ Antwort: 25.1

Das Etikett ist das Mantelrechteck, seine Länge der Umfang: 2 · π · 4 cm = 25,133 cm ≈ 25,1 cm. Die Höhe 10 cm ist die Breite des Etiketts.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Eine Dose ist ein Zylinder mit r = 4 cm und h = 11 cm. Zeichne ihr Netz mit allen Maßen, berechne die Breite des Rechtecks und begründe in einem Satz, warum das Rechteck so breit sein muss. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Netz: zwei Kreise mit r = 4 cm und ein Rechteck mit der Höhe 11 cm. Breite = Umfang der Grundfläche = 2 · π · 4 cm ≈ 25,13 cm. Begründung: Der Mantel wird einmal um den Kreis herumgewickelt, seine Länge ist der Umfang der Grundfläche.

Das Rechteck ist so breit wie der Umfang der Grundfläche, 2 · π · 4 cm ≈ 25,13 cm, und 11 cm hoch; dazu zwei Kreise mit r = 4 cm.