Mittelsenkrechte und Lot
Perpendicular bisector and perpendicular
Mit Zirkel und Lineal entsteht die Mittelsenkrechte von AB aus zwei Kreisbögen mit demselben Radius um A und B (Radius gröĂer als die halbe Strecke); die Gerade durch die beiden Schnittpunkte ist die Achse. Das Lot fĂ€llt man von einem Punkt auĂerhalb der Geraden, indem man einen Kreis um P zeichnet und die Mittelsenkrechte der herausgeschnittenen Strecke bildet; im Punkt auf der Geraden errichtet man es genauso. RĂ€umt aus: verschiedene Radien, zu kleine Radien und âLot durch AugenmaĂâ. Die Konstruktionen folgen aus dem gleichen Abstand der Achsenpunkte; sie bereiten die Winkelhalbierende, die Ortslinien und die Dreieckskonstruktionen vor.
Die Mittelsenkrechte
Konstruieren heiĂt: nur mit Zirkel und Lineal zeichnen, so wie es schon Euklid um 300 v. Chr. in seinen âElementenâ tat. Die
- Stelle den Zirkel auf einen Radius r, der gröĂer als die halbe Strecke AB ist. Er bleibt fĂŒr beide Bögen gleich.
- Zeichne einen
Kreisbogen um A. - Zeichne mit demselben r einen Kreisbogen um B. Beide schneiden sich in
Sâ und Sâ . - Zeichne die Gerade durch Sâ und Sâ.
Warum stimmt das? Sâ und Sâ sind von A und B je r entfernt, also gleich weit. Solche Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten. Ist r kleiner als die halbe Strecke, treffen sich die Bögen gar nicht.
Das Lot fÀllen
Ein Lot auf eine Gerade g steht senkrecht auf g. Liegt der Punkt
Der Schnittpunkt F mit g heiĂt FuĂpunkt. Die LĂ€nge PF ist der Abstand von P zu g. Denn von allen Strecken, die P mit einem Punkt von g verbinden, ist das Lot die kĂŒrzeste. Deshalb misst man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden immer entlang des Lots und nie schrĂ€g.
Das Lot errichten
Liegt P schon auf g, errichtest du das Lot in P: Ein Kreis um P mit beliebigem Radius schneidet g in A und B, und P ist die Mitte von AB, denn PA = PB. Die Mittelsenkrechte von AB steht senkrecht auf g und geht durch P. Die Bögen um A und B brauchen wieder einen Radius, der gröĂer ist als die halbe Strecke AB, sonst treffen sie sich nicht.
Der Trick ist beide Male derselbe: Ein Lot ist die
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (2)
Du konstruierst die Mittelsenkrechte von AB und hast den Kreisbogen um A gezeichnet. Was zeichnest du als NĂ€chstes?
Tippe auf die Mittelsenkrechte von AB.
Die Strecke AB ist 6 cm lang. Welchen Radius wĂ€hlst du fĂŒr die Kreisbögen um A und um B?
FĂŒr den Bogen um B darf man einen gröĂeren Radius nehmen als fĂŒr den Bogen um A; die Schnittpunkte liegen trotzdem auf der Mittelsenkrechten von AB.
Der Punkt P liegt nicht auf der Geraden g. Womit beginnst du, um das Lot von P auf g zu fÀllen?
Tippe auf das Lot von P auf g.
Das Lot von P auf g ist die kĂŒrzeste Verbindung von P zu einem Punkt der Geraden g.
Die Gerade g und ein Punkt P auf g sind gegeben. Wie heiĂt die Konstruktion der senkrechten Geraden durch P?
Beim Errichten des Lots in P schneidet ein Kreis um P die Gerade g in A und B. Dann ist P die Mitte der Strecke AB.
Die Mittelsenkrechte von AB (AB = 7 cm) schneidet AB im Punkt M. Wie lang ist AM (in cm)?
Die Strecke AB ist 11 cm lang. Der Radius der Bögen muss gröĂer sein als wie viele cm?
Das Lot von P auf g hat den FuĂpunkt F, und PF ist 3,2 cm lang. Welchen Abstand hat P von g (in cm)?
Wie viele Kreise oder Kreisbögen zeichnest du mindestens, um das Lot in einem Punkt P von g zu errichten?
Der Punkt S liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. Es ist SA = 6,5 cm. Wie lang ist SB (in cm)?
Die Strecke AB ist 9,4 cm lang. Welchen kleinsten ganzzahligen Radius (in cm) kannst du fĂŒr die Kreisbögen wĂ€hlen?
P hat von der Geraden g den Abstand 4 cm. Q wandert auf g entlang. Welche LĂ€nge hat die kĂŒrzeste Strecke PQ (in cm)?
Ein Kreis um P (P liegt auf g) schneidet g in A und B, es ist AB = 9 cm. Wie groĂ ist der Radius des Kreises (in cm)?
Zeichne eine Strecke AB mit AB = 7 cm und konstruiere mit Zirkel und Lineal ihre Mittelsenkrechte. Notiere den gewĂ€hlten Radius und begrĂŒnde in einem Satz, warum er gröĂer als 3,5 cm sein muss. Miss zur Kontrolle AM und den Winkel zwischen Mittelsenkrechte und AB. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.