Teiler und Vielfache

Divisors and multiples

Mathematik Klasse 5 18 Aufgaben

ArithmetikTeilbarkeit

Zwölf Plättchen lassen sich zu einem Rechteck mit 3 Reihen zu je 4 legen: Dann ist 3 ein Teiler von 12 und 12 ein Vielfaches von 3. Der Abschnitt führt Teiler als Seitenlängen von Rechtecken ein (vom Hofe 1995; Outhred und Mitchelmore 2000), zeigt, dass Teiler paarweise auftreten, und dass die Reihe der Vielfachen nie endet. Er räumt die Verwechslung der Richtung („12 ist ein Teiler von 3“), die unvollständige Teilermenge ohne 1 und ohne die Zahl selbst und die Vorstellung aus, Vielfache hörten irgendwo auf. Er bereitet Teilbarkeitsregeln, Primzahlen und später das Kürzen von Brüchen vor.

Lege 24 Plättchen in gleich lange Reihen. Mit 4 Reihen zu je 6 geht es genau auf, mit 5 Reihen bleiben 4 Plättchen übrig. Die Zahl 4 ist also ein Teiler von 24, weil $24 = 4 \cdot 6$ ohne Rest gilt. Man schreibt $4 ∣ 24$ . Die Zahl 5 ist kein Teiler von 24, denn $24 : 5 = 4$ Rest 4. Ein Teiler teilt eine Zahl also restlos in gleich große Gruppen.

Stelle die Zahl der Reihen ein. Bei welchen Reihenzahlen bleibt kein rotes Plättchen übrig?

Teiler kommen paarweise. Jede Malaufgabe mit dem Ergebnis 24 liefert zwei: Aus $3 \cdot 8 = 24$ werden 3 und 8. Alle Teiler von 24 bilden die Teilermenge $T_{24} = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$ . Die 1 und die Zahl selbst sind immer dabei, denn 1 · 24 gibt es immer. Ein Teiler ist nie größer als die Zahl.

Von der anderen Seite gesehen ist 24 ein Vielfaches von 4. Die Vielfachen von 4 findest du durch Weiterspringen in Viererschritten: $V_{4} = {4, 8, 12, 16, \dots}$ . Diese Reihe hört nie auf, und jede Zahl ist auch ein Vielfaches von sich selbst. Merke dir die Richtung: Der Teiler ist die kleinere Zahl, das Vielfache die größere.

Wähle die Schrittweite d. Welche Zahlen der Tafel werden gefärbt, und wie ginge es hinter der 48 weiter?

Ermöglicht (3)

Teilbarkeit durch 2, 5 und 10

Klasse 5

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Das Bild zeigt 3 Reihen zu je 5 Plättchen. Welche dieser Zahlen ist ein Teiler der Plättchenzahl?

● 3
○ 8
○ 4

3 Reihen zu je 5 Plättchen sind 3 · 5 = 15 Plättchen, und es bleibt kein Plättchen übrig. Also ist 3 ein Teiler von 15. Die 8 ist die Summe 3 + 5 und zählt keine Plättchen, und 15 : 4 = 3 Rest 3 geht nicht auf.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Alle 14 Plättchen im Bild lassen sich in Reihen zu je 4 legen, ohne dass eines übrig bleibt.

✓ Falsch

Drei volle Reihen zu je 4 brauchen 12 Plättchen, zwei bleiben übrig: 14 = 3 · 4 + 2. Die Division geht nicht auf, also ist 4 kein Teiler von 14.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

42 ist ein Vielfaches von 6, denn 42 = 6 · 7. Welche Zahl ist ein Teiler von 42?

● 6
○ 84
○ 48

Von der 6 aus gesehen ist 42 ein Vielfaches, von der 42 aus gesehen ist 6 ein Teiler. Der Teiler ist die kleinere Zahl, das Vielfache die größere. 84 ist ein Vielfaches von 42, 48 ein Vielfaches von 6; beide gehen nicht in 42 auf.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

12 ist ein Teiler von 3.

✓ Falsch

Es ist umgekehrt: 3 ist ein Teiler von 12, denn 3 · 4 = 12. Ein Teiler einer positiven Zahl ist nie größer als die Zahl selbst.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Wenn 9 ein Teiler von 54 ist, dann ist 54 ein Vielfaches von 9.

✓ Wahr

54 = 9 · 6. Das sind zwei Sichtweisen auf dieselbe Malaufgabe: 9 ist der Teiler, 54 das Vielfache.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Welche Menge enthält alle Teiler von 18?

● T₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
○ T₁₈ = {1, 2, 3, 6}
○ T₁₈ = {2, 3, 6, 9}

18 = 1 · 18 = 2 · 9 = 3 · 6. Jede Malaufgabe liefert zwei Teiler, die 1 und die 18 gehören immer dazu. In {1, 2, 3, 6} fehlen die Partner 9 und 18, in {2, 3, 6, 9} fehlen 1 und 18.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Nach dem Bild hat 20 genau fünf Teiler: 1, 2, 4, 5 und 10.

✓ Falsch

Das Rechteck 1 · 20 zeigt, dass auch 20 selbst ein Teiler von 20 ist. Es sind sechs Teiler: 1, 2, 4, 5, 10 und 20.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Die Sprünge im Bild sind jeweils 6 lang. Welche Zahl trifft man, wenn man so weiterspringt?

● 54
○ 56
○ 16

Die Sprungziele sind die Vielfachen von 6: 6, 12, 18, …, 36, 42, 48, 54. Es ist 6 · 9 = 54. Zahlen, die auf 6 enden, sind nicht automatisch Vielfache von 6: 56 = 6 · 9 + 2, 16 = 6 · 2 + 4.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Zahl 1005 gehört zu den Vielfachen von 5.

✓ Wahr

1005 = 5 · 201, also ist 1005 ein Vielfaches von 5. Die Reihe 5, 10, 15, … hört nie auf, zu jeder Zahl gibt es unendlich viele Vielfache.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze: 4 · ___ = 36, also ist 4 ein Teiler von 36.

✓ Antwort: 9

4 · 9 = 36. Es bleibt kein Rest, deshalb passen 9 Reihen zu je 4 Plättchen genau in die 36.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: Weil 8 · 5 = 40 gilt, ist 8 ein ___ von 40.

✓ Antwort: Teiler

8 ist der kleinere Faktor, der die 40 ohne Rest teilt. Also ist 8 ein Teiler von 40, und 40 ist ein Vielfaches von 8.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Wie viele Teiler hat die Zahl 20?

✓ Antwort: 6

Die Malaufgaben 1 · 20, 2 · 10 und 4 · 5 liefern die Teiler 1, 20, 2, 10, 4 und 5. Das sind 6 Teiler.

Lückentext #4 20s ▶ Testen

Ergänze die Reihe der Vielfachen von 7: 7, 14, 21, ___

✓ Antwort: 28

Jedes Mal kommt 7 dazu: 21 + 7 = 28.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für die Aufführung stehen 30 Stühle bereit. Sie werden in Reihen zu je 6 Stühlen aufgestellt. Wie viele Reihen sind es?

✓ Antwort: 5

30 : 6 = 5, denn 6 · 5 = 30. Weil 6 ein Teiler von 30 ist, gehen die Stühle ohne Rest in Reihen auf.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Welche der Zahlen 5, 6, 8, 9 und 12 sind Teiler von 48? Gib an, wie viele es sind.

✓ Antwort: 3

48 : 6 = 8, 48 : 8 = 6 und 48 : 12 = 4 gehen auf. 48 : 5 = 9 Rest 3 und 48 : 9 = 5 Rest 3 gehen nicht auf. Es sind 3 Teiler.

Zahleneingabe #3 45s ▶ Testen

36 Kinder werden in gleich große Gruppen eingeteilt. Jede Gruppe soll mindestens 2 und höchstens 18 Kinder haben. Wie viele verschiedene Gruppengrößen sind möglich?

✓ Antwort: 7

Die Teiler von 36 sind 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36. Zwischen 2 und 18 liegen 2, 3, 4, 6, 9, 12 und 18. Das sind 7 Gruppengrößen.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Eine Spielfigur startet bei 0 und springt immer 9 Felder weiter. Auf welchem Feld steht sie nach dem 12. Sprung?

✓ Antwort: 108

Nach dem 12. Sprung steht sie auf dem 12. Vielfachen von 9: 12 · 9 = 108.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Lege gedanklich 42 Plättchen zu Rechtecken mit gleich langen Reihen. Skizziere die Rechtecke, schreibe zu jedem die Malaufgabe, gib die Teilermenge T₄₂ an und entscheide mit Begründung, ob 8 ein Teiler von 42 ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizzen der Rechtecke 1 · 42, 2 · 21, 3 · 14 und 6 · 7. Daraus T₄₂ = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}. Mit 8 Reihen zu je 5 Plättchen sind es erst 40, zwei bleiben übrig: 42 = 5 · 8 + 2, also ist 8 kein Teiler von 42.

Jede Malaufgabe a · b = 42 liefert zwei Teiler. 6 · 7, 3 · 14, 2 · 21 und 1 · 42 ergeben die acht Teiler. 8 · 5 = 40 und 8 · 6 = 48 treffen die 42 nicht.