Gleichartige Terme

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Mathematik Klasse 7 19 Aufgaben

AlgebraTermeVereinfachen

Gleichartige Summanden (gleiche Variable, gleiche Hochzahl) werden zusammengefasst, indem die Koeffizienten addiert werden: 3a + 2a = 5a. Der Abschnitt räumt die Zusammenzüge 3a + 2b = 5ab, 3a + 2a = 5a² und a + a² = 2a² aus (MacGregor und Stacey 1997), zeigt, dass das Vorzeichen zum Summanden gehört und x den Koeffizienten 1 hat, und macht die Probe mit Zahlen zum Werkzeug: Ein Gegenbeispiel widerlegt, ein passender Wert beweist nichts (Arcavi 1994). Er bereitet das Ausmultiplizieren und die binomischen Formeln vor.

Gleichartige Terme addieren

Drei Stäbe der Länge a und zwei weitere Stäbe der Länge a ergeben fünf Stäbe der Länge a: $3 a + 2 a = 5 a$ . Summanden wie 3a und 2a heißen gleichartig: Sie enthalten dieselbe Variable mit derselben Hochzahl. Du fasst sie zusammen, indem du die Koeffizienten addierst; die Variable bleibt stehen.

Es werden Stäbe gezählt, nicht multipliziert. 3a + 2a ist deshalb nicht 6a und nicht 5a².

Beispiele: 6b + 2b = 8b und 9y + 4y = 13y. Auch mehrere Summanden lassen sich so vereinen: 2a + 5a + a = 8a, denn das einzelne a zählt als 1a.

Verändere a und vergleiche die Chips 3a + 2a und 5a.

Ungleichartiges bleibt stehen

Ein Stab der Länge a und ein Quadrat mit der Seite a sind verschiedene Sorten. Die Summe $a + a^{2}$ lässt sich nicht kürzer schreiben. Ebenso bleibt $3 a + 2 b$ stehen, weil a und b verschiedene Variablen sind. Wer daraus 5ab macht, verwechselt die Summe mit einem Produkt.

Für a = 3 hat a + a² den Wert 12, der falsche Zusammenzug 2a² aber den Wert 18.

Gleichartig heißt mehr als „sieht ähnlich aus“: 4x und 3x² haben beide ein x, aber verschiedene Hochzahlen, 4x und 3y verschiedene Buchstaben. Nur 4x + 3x lässt sich zu 7x zusammenfassen.

Verändere a. Bei welchem Wert stimmen a + a² und 2a² zufällig überein?

Ordnen mit Vorzeichen

In $5 x - 3 + 2 x + 7$ gehört das Vorzeichen zum Summanden dahinter: Die Summanden sind 5x, −3, 2x und 7. Du darfst sie umordnen, wenn das Vorzeichen mitwandert. Die x-Summanden ergeben 5x + 2x = 7x, die Zahlen −3 + 7 = 4.

Ein Summand wie x hat den Koeffizienten 1: 7x − x = 6x, nicht 7.

Ein längeres Beispiel: 4x − 7 + 3x + 9 wird zu 4x + 3x − 7 + 9 = 7x + 2. Das −7 wandert als Ganzes, nicht nur die 7.

Die x-Summanden (amber) und die Zahlen (blau) werden getrennt zusammengefasst; jeder Summand behält sein Vorzeichen.

Die Probe

Ob eine Umformung stimmt, prüfst du mit Zahlen. Für a = 2 und b = 3 hat 3a + 2b den Wert 12, 5ab aber den Wert 30: Ein einziges Gegenbeispiel widerlegt die Umformung.

Umgekehrt beweist ein passender Wert nichts. Für a = 1 und b = 1 sind beide Terme gleich 5, gleichwertig sind sie trotzdem nicht. Die Probe deckt Fehler auf; begründet wird eine Umformung durch die Rechenregeln.

Es gibt also zwei Werkzeuge mit verschiedenen Aufgaben: Die Rechenregeln begründen, dass zwei Terme gleichwertig sind, die Probe findet Fehler schnell. Im Zweifel rechnest du erst die Probe.

Nur bei a = 1 und b = 1 stimmen die Werte zufällig überein.

Ermöglicht (2)

Summen multiplizieren

Klasse 7

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Variable auf beiden Seiten

Klasse 7

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Fasse zusammen: 6b + 2b

● 8b
○ 12b
○ 8b²

6b + 2b: 6 Stäbe b und 2 Stäbe b sind 8 Stäbe b, also 8b. Die Koeffizienten werden addiert (12b wäre 6 · 2), die Variable bleibt b (nicht b²).

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Zwei Reihen bestehen aus Stäben der gleichen Länge a. Welcher Term gibt die Gesamtlänge beider Reihen an?

● 7a
○ 12a
○ 7a²

Es liegen 4 + 3 = 7 Stäbe der Länge a: 7a. 12a würde 4 · 3 rechnen, a² wäre ein Quadrat.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Summe lässt sich zu einem einzigen Summanden zusammenfassen?

● 4x + 3x
○ 4x + 3y
○ 4x + 3x²

Nur gleichartige Summanden lassen sich zusammenfassen: 4x + 3x = 7x. Bei 4x + 3y sind die Buchstaben verschieden, bei 4x + 3x² die Hochzahlen.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Fasse so weit wie möglich zusammen: a + a²

● a + a²
○ 2a²
○ a³

Ein Stab a und ein Quadrat a² sind verschiedene Sorten. a + a² bleibt stehen. 2a² und a³ sind falsch: Für a = 3 ist a + a² = 12, aber 2a² = 18 und a³ = 27.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Fasse zusammen: 5x − 3 + 2x + 7

● 7x + 4
○ 7x + 10
○ 3x + 4

5x + 2x = 7x und −3 + 7 = 4, also 7x + 4. Das Vorzeichen gehört zum Summanden dahinter: 7x + 10 rechnet −3 wie +3, 3x + 4 macht aus +2x ein −2x.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Sieben Stäbe der Länge x liegen nebeneinander, ein Stab (rot) wird weggenommen. Welcher Term gibt die Länge der übrigen Stäbe an?

● 6x
○ 7
○ 8x

7x − x = 6x: Der Summand x hat den Koeffizienten 1. Das Ergebnis 7 entstünde, wenn x einfach wegfiele; 8x wäre 7x + x.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Jonas behauptet: 3a + 2b = 5ab. Für welche Einsetzung siehst du sofort, dass er sich irrt?

● a = 2 und b = 3
○ a = 1 und b = 1
○ a = 0 und b = 0

Für a = 2, b = 3 ist 3a + 2b = 12, aber 5ab = 30. Bei a = 1, b = 1 (5 und 5) und bei a = 0, b = 0 (0 und 0) stimmen beide Terme zufällig überein und verraten nichts.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Tabelle zeigt: Für a = 1 und b = 1 haben 3a + 2b und 5ab den gleichen Wert. Also gilt 3a + 2b = 5ab für alle Zahlen a und b.

✓ Falsch

Falsch. Ein einziger passender Wert beweist nichts: Für a = 2, b = 3 ist 3a + 2b = 12, aber 5ab = 30. Ein einziges Gegenbeispiel widerlegt die Umformung dagegen.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Fasse zusammen: 9y + 4y = ___

✓ Antwort: 13y

9y + 4y = (9 + 4)y = 13y.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: 2a + 5b + 3a = 5a + ___

✓ Antwort: 5b

Die a-Summanden ergeben 2a + 3a = 5a. Der Summand 5b ist ungleichartig und bleibt stehen.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: 4x − 7 + 3x + 9 = 7x + ___

✓ Antwort: 2

4x + 3x = 7x und −7 + 9 = 2.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Berechne den fehlenden Wert der Tabelle: 3a + 2b für a = 2 und b = 3.

✓ Antwort: 12

3a + 2b = 3 · 2 + 2 · 3 = 6 + 6 = 12. Der Wert von 5ab (30) ist ein anderer: Die Terme sind nicht gleichwertig.

Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

Fülle die Lücke. 4x + 3 + 2x = □x + 3

✓ Antwort: 6

Zahleneingabe #6 20s ▶ Testen

Fülle die Lücke. 5x − 1 + 3x = □x − 1

✓ Antwort: 8

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Zaunstück besteht aus 5 Latten der Länge a und 3 weiteren Latten der Länge a. Für a = 1,2 m: Wie lang ist das Zaunstück (in m)?

✓ Antwort: 9.6

Zusammengefasst ist die Länge 5a + 3a = 8a. Für a = 1,2 m: 8 · 1,2 = 9,6 m.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Fasse 2x + 5y + 3x zusammen und berechne den Wert des zusammengefassten Terms für x = 4 und y = 1.

✓ Antwort: 25

2x + 5y + 3x = 5x + 5y. Für x = 4, y = 1: 5 · 4 + 5 · 1 = 20 + 5 = 25.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Fasse zusammen und berechne den Wert für x = 5: 8x − 3 − 2x + 10

✓ Antwort: 37

8x − 2x = 6x und −3 + 10 = 7, also 6x + 7. Für x = 5: 6 · 5 + 7 = 30 + 7 = 37.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Mia fasst 4x + 3x + 2 zu 9x zusammen. Setze x = 2 in beide Terme ein. Wie groß ist der Wert von 4x + 3x + 2 minus der Wert von 9x?

✓ Antwort: -2

Für x = 2 ist 4x + 3x + 2 = 16 und 9x = 18; der Unterschied ist 16 − 18 = −2. Die Werte sind verschieden, Mias Umformung ist falsch (richtig wäre 7x + 2).

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Fasse den Term 3a + 4b − a + 2b + 5 so weit wie möglich zusammen. Schreibe jeden Schritt auf: Welche Summanden sind gleichartig? Prüfe dein Ergebnis, indem du a = 2 und b = 1 in den Anfangs- und in den Endterm einsetzt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Gleichartig sind 3a und −a (ergibt 2a), 4b und 2b (ergibt 6b); die Zahl 5 bleibt. 3a + 4b − a + 2b + 5 = 2a + 6b + 5. Probe für a = 2, b = 1: Anfangsterm 3 · 2 + 4 · 1 − 2 + 2 · 1 + 5 = 15, Endterm 2 · 2 + 6 · 1 + 5 = 15; beide Werte stimmen überein.

3a − a = 2a (das Minus gehört zu a), 4b + 2b = 6b, die 5 bleibt: 2a + 6b + 5. Beide Terme haben für a = 2, b = 1 den Wert 15 — die Probe widerlegt Fehler, beweist aber nicht für alle Zahlen.