Summen multiplizieren

Multiplying sums

Mathematik Klasse 7 14 Aufgaben

AlgebraTermeDistributivgesetz

Zwei Summen werden multipliziert, indem das Distributivgesetz zweimal angewendet wird: jeder Summand der ersten Klammer mit jedem der zweiten, danach werden gleichartige Terme zusammengefasst. Das Rechteck aus vier Teilflächen begründet es. Der Abschnitt räumt aus, nur erste mit erster und letzte mit letzter Zahl zu multiplizieren ((x + 3)(x + 2) = x² + 6, Kirshner und Awtry 2004), das Produkt der Zahlen zu vergessen und die Vorzeichen zu verlieren ((x − 3)(x + 2)). Er bereitet die binomischen Formeln vor.

Jeder mit jedem

Ein Rechteck ist (x + 3) breit und (x + 2) hoch. Es besteht aus vier Teilflächen: x · x, x · 2, 3 · x und 3 · 2. Das Distributivgesetz wird zweimal angewendet:

$(x + 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 = x^{2} + 5 x + 6$

Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten multipliziert: 2 · 2 = 4 Produkte. Danach fasst du die gleichartigen Summanden 2x und 3x zusammen. Wer nur x · x und 3 · 2 rechnet, erhält x² + 6 und vergisst die beiden mittleren Flächen.

Zur Kontrolle setzt du x = 3 ein: (3 + 3)(3 + 2) = 30 und 9 + 15 + 6 = 30.

Verändere x und ordne die Teilflächen den Summanden zu.

Vorzeichen mitnehmen

In (x − 3)(x + 2) ist −3 ein Summand, sein Minus wandert in beide Produkte mit:

$(x - 3) (x + 2) = x^{2} + 2 x - 3 x - 6 = x^{2} - x - 6$

Es gilt (−3) · 2 = −6, und 2x − 3x = −x. Sind beide Klammern gleich, etwa (x + 3)(x + 3), hat das Ergebnis eine besondere Gestalt: Das sind die binomischen Formeln, Thema des nächsten Kurses.

Zwei Minuszeichen ergeben ein Plus: (x − 1)(x − 4) = x² − 4x − x + 4 = x² − 5x + 4. Das Produkt der Zahlen ist positiv, die mittleren Summanden sind negativ.

Jeder Summand der ersten Klammer trifft jeden Summanden der zweiten.

Voraussetzungen (2)

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Multipliziere aus: (a + 2)(b + 3)

● ab + 3a + 2b + 6
○ ab + 6
○ ab + 3a + 2b

Jeder Summand mit jedem: a · b + a · 3 + 2 · b + 2 · 3 = ab + 3a + 2b + 6. ab + 6 multipliziert nur erste mit erster und letzte mit letzter Zahl, ab + 3a + 2b vergisst das Produkt 2 · 3.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Das Rechteck ist (m + 4) breit und (n + 1) hoch. Welcher Term gibt seinen Flächeninhalt als Summe an?

● mn + m + 4n + 4
○ mn + 4
○ mn + m + 4n

Vier Teilflächen: m · n, m · 1, 4 · n und 4 · 1 = 4. mn + 4 zählt nur zwei der vier Teilflächen, mn + m + 4n vergisst die kleine Ecke.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Multipliziere aus und fasse zusammen: (x + 6)(x + 2)

● x² + 8x + 12
○ x² + 12
○ x² + 8x

x² + 2x + 6x + 12 = x² + 8x + 12: die beiden mittleren Produkte sind gleichartig. x² + 12 vergisst sie, x² + 8x das Produkt der Zahlen.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Rechteck besteht aus den Teilflächen x², 5x, x und 5. Welcher Term gibt die Gesamtfläche zusammengefasst an?

● x² + 6x + 5
○ x² + 5
○ 7x² + 5

5x + x = 6x (gleichartig), also x² + 6x + 5. x² + 5 lässt die mittleren Flächen weg; 7x² macht aus allen x-Teilen x².

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

(a + 3)(a + 7) = a² + 10a + 21

✓ Wahr

Richtig. a² + 7a + 3a + 21 = a² + 10a + 21: 3a und 7a sind gleichartig, 3 · 7 = 21.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Multipliziere aus und fasse zusammen: (y − 4)(y + 1)

● y² − 3y − 4
○ y² − 3y + 4
○ y² + 5y − 4

y² + y − 4y − 4 = y² − 3y − 4. In y² − 3y + 4 wurde (−4) · 1 = +4 gerechnet, in y² + 5y − 4 das Minus von −4y verloren.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

(x − 2)(x − 5) = x² − 7x + 10

✓ Wahr

Richtig. x² − 5x − 2x + 10 = x² − 7x + 10: (−2) · (−5) = +10, und −5x − 2x = −7x.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze: (x + 1)(y + 5) = xy + 5x + y + ___

✓ Antwort: 5

Die vier Produkte sind xy, 5x, y und 1 · 5 = 5.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Es gilt (x + 2)(x + 5) = x² + b · x + 10. Wie groß ist b?

✓ Antwort: 7

x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10. Die beiden mittleren Produkte 5x und 2x werden addiert: b = 7.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: (x − 4)(x + 1) = x² − 3x − ___

✓ Antwort: 4

x² + x − 4x − 4 = x² − 3x − 4: (−4) · 1 = −4.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Ein Rechteck ist (x + 3) m breit und (y + 2) m hoch. Wie groß ist sein Flächeninhalt für x = 2 und y = 5 (in m²)?

✓ Antwort: 35

Breite 5 m, Höhe 7 m: 35 m². Ausmultipliziert xy + 2x + 3y + 6 = 10 + 4 + 15 + 6 = 35.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Rechteck ist (x + 4) breit und (x + 3) hoch, ausmultipliziert x² + 7x + 12. Wie groß ist sein Flächeninhalt für x = 3?

✓ Antwort: 42

Für x = 3: 7 · 6 = 42. Probe mit dem ausmultiplizierten Term: 9 + 21 + 12 = 42.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Rechteck ist (x − 2) breit und (x + 4) hoch, ausmultipliziert x² + 2x − 8. Wie groß ist sein Flächeninhalt für x = 8?

✓ Antwort: 72

Für x = 8: 6 · 12 = 72. Probe mit dem ausmultiplizierten Term: 64 + 16 − 8 = 72.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Multipliziere aus und fasse zusammen: (2x − 3)(x + 4). Schreibe alle vier Teilprodukte einzeln auf und achte auf die Vorzeichen. Prüfe dein Ergebnis für x = 2. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: (2x − 3)(x + 4) = 2x · x + 2x · 4 + (−3) · x + (−3) · 4 = 2x² + 8x − 3x − 12 = 2x² + 5x − 12. Probe für x = 2: (2 · 2 − 3)(2 + 4) = 1 · 6 = 6 und 2 · 4 + 10 − 12 = 6.

Jeder Summand mit jedem: 2x², 8x, −3x, −12. Die mittleren Produkte 8x und −3x ergeben 5x. Probe für x = 2: 1 · 6 = 6 und 8 + 10 − 12 = 6.