Wurzel als Quadratseite

The root as a square side

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben
QuadratwurzelnQuadratzahlen

Die Quadratwurzel √A ist die Seitenlänge eines Quadrats mit dem Flächeninhalt A – die nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert A ergibt. Die Station baut die Bedeutung vor dem Rechnen auf: Quadrieren und Wurzelziehen heben sich auf, und √49 ist 7, nicht −7 und nicht 24,5. Sie räumt das Halbieren statt Wurzelziehen, die zwei Werte von √49 und die vermeintliche Wurzel aus negativen Zahlen aus. Bereitet das Abschätzen, den Beweis für √2, die Wurzelgesetze, quadratische Gleichungen und den Satz des Pythagoras vor.

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt A. Wie lang ist seine Seite s? Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert A ergibt. Sie heißt Quadratwurzel von A:

Die Zahl unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand. Bei A = 49 m² ist , denn 7 · 7 = 49. Die Hälfte, 24,5 m, wäre falsch: Ein Quadrat mit dieser Seite hätte über 600 m².

Quadrieren und Wurzelziehen heben sich auf. Aus 5 wird beim Quadrieren 25, und die Wurzel aus 25 führt zurück zu 5. Deshalb ist und .

Die Wurzel ist nicht negativ. Zwar gilt auch (−7)² = 49, aber meint nur die nichtnegative Zahl, also 7. Einen negativen Radikanden gibt es nicht, denn kein Quadrat ist negativ; nur ist erlaubt.

Stelle A mit dem Regler ein, zum Beispiel A = 2. Welche Seite s passt zu welchem Flächeninhalt?

Ermöglicht (4)

Die Hypotenuse berechnen
Klasse 9
›
Warum √2 kein Bruch ist
Klasse 9
›
Wurzelgesetze
Klasse 9
›
Wurzeln abschätzen
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein quadratisches Beet hat den Flächeninhalt 49 m². Wie lang ist eine Seite?

  • ● 7 m
  • ○ 24,5 m
  • ○ 2401 m
Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 49 ergibt: 7 · 7 = 49, also s = √49 = 7 m. 24,5 wäre die Hälfte von 49 (halbiert statt Wurzel), 2401 wäre 49² (quadriert statt Wurzel).
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Das gekippte Quadrat im Gitter hat den Flächeninhalt 5 cm². Wie lang ist seine Seite?

  • ● √5 cm
  • ○ 2,5 cm
  • ○ 5 cm
Die Seite s erfüllt s · s = 5 cm², also s = √5 cm ≈ 2,24 cm. Die Hälfte 2,5 cm ergibt quadriert 6,25 cm², und 5 cm würde 25 cm² ergeben.
Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Das gekippte Quadrat im Gitter hat die Seitenlänge √10 cm.

✓ Wahr
Das Quadrat liegt in einem 4 × 4-Quadrat (16 cm²); vier Eckdreiecke mit je 1,5 cm² fallen weg: 16 − 6 = 10 cm². Seite = √10 cm.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Was ergibt (√13)²?

  • ● 13
  • ○ 169
  • ○ 6,5
√13 ist die Zahl, die mit sich selbst 13 ergibt. Also ist (√13)² = √13 · √13 = 13. 169 wäre 13², und 6,5 ist die Hälfte von 13.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Welchen Wert hat der Term im Rechenbaum?

  • ● 3
  • ○ 9
  • ○ 1,5
3² = 9, und √9 = 3: Erst quadrieren, dann die Wurzel ziehen, bringt dich zur Ausgangszahl zurück. 9 wäre nur das Quadrat, 1,5 die Hälfte von 3.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Der Term im Rechenbaum hat den Wert 49.

✓ Falsch
√7 ist die Zahl, die quadriert 7 ergibt; also (√7)² = 7. 49 wäre 7², die Reihenfolge ist aber Wurzel zuerst, dann Quadrat.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Nora rechnet 5² = 25. Welche Rechnung bringt sie von 25 wieder zu 5?

  • ● √25
  • ○ 25 : 2
  • ○ 25²
Die Wurzel macht das Quadrieren rückgängig: √25 = 5. 25 : 2 = 12,5 halbiert nur, 25² = 625 quadriert weiter.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welche Zahl ist √49?

  • ● 7
  • ○ −7
  • ○ 7 und −7
Das Wurzelzeichen steht für die nichtnegative Zahl mit dem Quadrat 49. Zwar ist auch (−7)² = 49, aber √49 = 7. Nur die Gleichung x² = 49 hat zwei Lösungen, ±7.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Welcher Punkt auf der Zahlengeraden gehört zu √9?

  • ● B
  • ○ A
  • ○ C
√9 = 3, das ist Punkt B. A liegt bei −3 (die negative Lösung von x² = 9), C bei 9 (dem Radikanden selbst).
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

√(−16) = −4

✓ Falsch
Kein Quadrat einer Zahl ist negativ: (−4)² = 16, nicht −16. Deshalb ist √(−16) nicht definiert – auch nicht als −4.
Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

√0 = 0

✓ Wahr
Der Radikand 0 ist erlaubt: 0 · 0 = 0, also √0 = 0.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 81 cm². Seine Seitenlänge in cm: ___

✓ Antwort: 9
Die Seite s erfüllt s² = 81. Wegen 9 · 9 = 81 ist s = √81 = 9 cm.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Setze ein: (√___)² = 23

✓ Antwort: 23
Quadrieren hebt die Wurzel auf: (√23)² = 23.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Berechne √((−9)²).

✓ Antwort: 9
(−9)² = 81 und √81 = 9. Die Wurzel ist nie negativ, deshalb kommt nicht −9 heraus.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Ein Quadrat ist flächengleich zu einem Rechteck mit 8 cm und 18 cm Seitenlänge. Wie lang ist die Quadratseite (in cm)?

✓ Antwort: 12
Rechteck: 8 · 18 = 144 cm². Das Quadrat hat dieselbe Fläche, also s = √144 = 12 cm.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne (√5)² + √(4²).

✓ Antwort: 9
(√5)² = 5 und √(4²) = √16 = 4. Summe: 5 + 4 = 9.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Von den Zahlen −25, −1, 0, 1 und 25: Für wie viele ist √a definiert?

✓ Antwort: 3
Der Radikand darf nicht negativ sein: 0, 1 und 25 sind erlaubt, −25 und −1 nicht. Das sind 3 Zahlen.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Quadrat und ein Rechteck mit den Seiten 4 cm und 9 cm haben denselben Flächeninhalt. Zeichne beide Figuren, bestimme die Seitenlänge des Quadrats mit Rechnung und gib seinen Umfang an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Rechteck: A = 4 cm · 9 cm = 36 cm². Quadrat: s² = 36 cm², also s = √36 cm = 6 cm. Umfang u = 4 · 6 cm = 24 cm.
Erst die gemeinsame Fläche: 4 · 9 = 36 cm². Die Quadratseite ist die Zahl, die mit sich selbst 36 ergibt: √36 = 6 cm; der Umfang ist 4 · 6 = 24 cm.