Wurzelgesetze

Root laws

Mathematik Klasse 9 18 Aufgaben

QuadratwurzelnTerme

Unter der Wurzel darf man multiplizieren und dividieren: √a · √b = √(a · b) und √a : √b = √(a : b), denn beide Seiten ergeben quadriert dasselbe. Für Summen und Differenzen gibt es kein solches Gesetz: √9 + √16 = 7, aber √(9 + 16) = 5. Wurzeln mit gleichem Radikanden fasst man wie 2x + 5x zusammen, und Potenzen wie (2√3)² = 12 quadrieren den Faktor mit. Räumt √(a + b) = √a + √b und das vergessene Quadrieren des Vorfaktors aus. Bereitet teilweises Radizieren, den Nenner und Potenzen mit rationalen Exponenten vor.

Mal und geteilt

Unter der Wurzel darf man multiplizieren und dividieren. Für a, b ≥ 0 gilt $a \cdot b = a \cdot b und a : b = a : b (b > 0)$ Beide Seiten ergeben quadriert dasselbe, zum Beispiel $(a \cdot b)^{2} = a \cdot b$ . So wird $2 \cdot 8 = 16 = 4$ und $72 : 2 = 36 = 6$ . Man darf auch rückwärts lesen: $36 = 4 \cdot 9$ . Das hilft im Kopf: √2 · √8 sieht unlösbar aus, aber 2 · 8 = 16 ist eine Quadratzahl.

Wähle a und b. Sind die beiden Balken jemals verschieden lang?

Plus und minus: kein Gesetz

Für Summen und Differenzen gibt es kein solches Gesetz. Es ist $9 + 16 = 3 + 4 = 7$ , aber $9 + 16 = 25 = 5$ . Die Kurve von $x$ steigt immer langsamer; deshalb ist $a + b$ größer als $a + b$ . Bei √(a + b) wird erst der Radikand berechnet, bei √a + √b jede Wurzel einzeln. Auch bei Differenzen gilt kein Gesetz: √25 − √9 = 2, aber √(25 − 9) = √16 = 4.

Stelle a und b ein. Wie verhält sich die Höhe bei a + b zur Summe der beiden anderen Höhen?

Gleichartige Wurzeln und Potenzen

Wurzeln mit demselben Radikanden fasst man wie $2 x + 5 x$ zusammen: $23 + 53 = 73$ . Bei $3 + 2$ geht das nicht. Der Radikand spielt die Rolle der Variablen x: Nur gleiche „Sorten“ lassen sich zusammenfassen. Bei Potenzen hilft (√a)² = a, und der Vorfaktor wird mit quadriert: $(23)^{2} = 2^{2} \cdot (3)^{2} = 12$ , sowie $(5)^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 55$ .

Voraussetzungen (1)

Wurzel als Quadratseite

Klasse 9

›

Ermöglicht (1)

Teilweise radizieren, Nenner rational

Klasse 9

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Was ist √2 · √8?

● 4
○ √10
○ 16

Unter der Wurzel wird multipliziert: √2 · √8 = √(2 · 8) = √16 = 4. √10 entstünde durch Addieren der Radikanden, 16 durch das Vergessen der Wurzel.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Der Term im Rechenbaum hat den Wert √36.

✓ Wahr

√4 · √9 = 2 · 3 = 6 = √36, denn √4 · √9 = √(4 · 9) = √36.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Rechnung stimmt?

● √9 + √16 = 7
○ √9 + √16 = √25 = 5
○ √9 + √16 = √(9 · 16) = 12

√9 = 3 und √16 = 4, also √9 + √16 = 7. Unter der Wurzel darf man nicht einfach addieren: √25 = 5 ist ein anderer Term.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Der Term im Rechenbaum hat den Wert 7.

✓ Falsch

Zuerst wird addiert: 9 + 16 = 25, dann die Wurzel gezogen: √25 = 5. Der Wert 7 wäre √9 + √16 – ein anderer Term.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Der Punkt C liegt auf der Kurve y = √x bei x = 13. Welche Rechnung liefert seine Höhe?

● √13
○ √4 + √9
○ √4 · √9

Die Höhe bei x = 13 ist √13 ≈ 3,61. √4 + √9 = 5 wäre viel zu hoch, denn die Kurve steigt immer langsamer; √4 · √9 = 6 ebenso.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Fasse zusammen: 2√3 + 5√3

● 7√3
○ 7√6
○ 10√3

Gleiche Radikanden verhalten sich wie gleiche Variablen: 2√3 + 5√3 = (2 + 5)√3 = 7√3. Der Radikand bleibt 3; 7√6 addiert die Radikanden, 10√3 multipliziert die Faktoren.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Summe lässt sich zu einem einzigen Wurzelterm zusammenfassen?

● 4√7 + 3√7
○ 4√7 + 3√5
○ 4√7 + 3

Nur bei gleichem Radikanden: 4√7 + 3√7 = 7√7. Bei √7 und √5 oder bei √7 und 3 fehlt der gemeinsame Faktor.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Was ist (2√3)²?

● 12
○ 6
○ 4√3

(2√3)² = 2² · (√3)² = 4 · 3 = 12. Der Faktor 2 wird mit quadriert. 6 wäre 2 · 3 und 4√3 quadriert nur die 2.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Was ist (√5)³?

● 5√5
○ 15
○ 25

(√5)³ = √5 · √5 · √5 = 5 · √5. Ein Faktor √5 bleibt übrig; 15 (3 · 5) und 25 sind falsche Potenzen.

Mittel

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Berechne √98 : √2.

✓ Antwort: 7

√98 : √2 = √(98 : 2) = √49 = 7.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Berechne √(36 + 64).

✓ Antwort: 10

Erst den Radikanden: 36 + 64 = 100, dann √100 = 10. (√36 + √64 wäre 6 + 8 = 14.)

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Es gilt 5√3 − 2√3 = c · √3. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 3

5√3 − 2√3 = (5 − 2)√3 = 3√3.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Berechne (√3)⁴.

✓ Antwort: 9

(√3)⁴ = ((√3)²)² = 3² = 9.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Rechteck hat die Seiten √3 cm und √12 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (in cm²)?

✓ Antwort: 6

A = √3 · √12 = √(3 · 12) = √36 = 6 cm².

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Um wie viel ist √16 + √9 größer als √(16 + 9)?

✓ Antwort: 2

√16 + √9 = 4 + 3 = 7 und √(16 + 9) = √25 = 5. Die Differenz ist 7 − 5 = 2.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Ein Rechteck hat die Seiten √2 cm und 3√2 cm. Sein Umfang ist c · √2 cm. Wie groß ist c?

✓ Antwort: 8

u = 2 · (√2 + 3√2) = 2 · 4√2 = 8√2 cm.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein Quadrat hat die Seitenlänge 2√5 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt (in cm²)?

✓ Antwort: 20

A = (2√5)² = 4 · 5 = 20 cm².

KI-bewertete Rechnung #5 300s ▶ Testen

Vereinfache √8 · √2 + √48 : √3 − 3√4 in fortlaufender Rechnung. Nenne bei jedem Schritt das verwendete Gesetz. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Produktregel: √8 · √2 = √16 = 4. Quotientenregel: √48 : √3 = √16 = 4. 3√4 = 3 · 2 = 6. Zusammen: 4 + 4 − 6 = 2.

Produkt- und Quotientenregel lassen die Radikanden zu Quadratzahlen werden: √16 = 4 zweimal; 3√4 = 6. Ergebnis 4 + 4 − 6 = 2.