Potential und Spannung

Potential and Voltage

Physik Klasse 12 14 Aufgaben

Elektrisches PotentialSpannungElektrisches FeldKerncurriculum

Im homogenen Feld hängt die Arbeit W = q·E·s nur vom Abstand zum Bezugsniveau ab, nicht vom Weg — ganz wie die Hubarbeit m·g·h im Schwerefeld. Teilt man diese Arbeit durch die Ladung, erhält man das Potential φ = W/q, die „elektrische Höhe" eines Ortes und eine Größe des Feldes, nicht der Probeladung. Die Spannung ist die Potentialdifferenz zweier Punkte, U = Δφ; aus der Energiebilanz folgt für das homogene Feld E = U/d mit der Einheit V/m. Wichtig ist die Unterscheidung: Das Potential gehört zu einem Punkt, die Spannung zu zwei Punkten. Trägt Kondensator, Coulombpotential und die Beschleunigung geladener Teilchen.

Können & Üben

Kondensator-Werkstatt — Potential, Kapazität, Energie

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90 min · once

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Vier Stationen nach dem Prinzip Vermuten – Beobachten – Erklären in Kleingruppen, Rotation nach etwa 20 Minuten. Jede Gruppe führt eine Messtabelle; Vermutungen werden vor dem Messen notiert. Station 1 — Flammensonde und Äquipotentiallinien. Vermuten: Wie ändert sich das Potential zwischen den Kondensatorplatten von Ort zu Ort — und wie im Feld einer geladenen Kugel? Beobachten: Die Flammensonde liefert im Plattenfeld ein Potential, das linear mit dem Abstand von der geerdeten Platte wächst; auf Bahnen parallel zu den Platten bleibt es konstant, bei der Kugel fällt es mit dem Abstand. Erklären: Punkte gleichen Potentials bilden Flächen senkrecht zu den Feldlinien; die Spannung ist die Potentialdifferenz zwischen zwei Flächen. Modellgrenze: Die Flamme selbst stört das Feld leicht — die Sonde misst gut, aber nicht rückwirkungsfrei. Sicherheitshinweis: offene Flamme, Abstand zu Papier und Haaren. Station 2 — Wovon hängt C ab? Vermuten: Verdoppelt sich die gespeicherte Ladung mit der Spannung? Was macht der Plattenabstand, was die Fläche? Beobachten: Messreihen mit dem Elektrometer — Q wächst proportional zu U; bei festem U sinkt Q mit wachsendem d (C proportional 1/d) und wächst mit der überlappenden Fläche A. Erklären: Q/U ist die Kapazität C, eine Bauteilgröße mit C = ε0·A/d. Sicherheitshinweis: Hochspannung! Umbauten nur spannungsfrei, Platten vor jedem Verstellen entladen. Station 3 — Dielektrikum. Vermuten: Ändert eine Glasplatte zwischen den Platten die Kapazität, obwohl sie nicht leitet? Beobachten: Beim Einschieben steigt die aufgenommene Ladung bei gleicher Spannung — mit Glas etwa um den Faktor 5, mit Kunststoff weniger. Erklären: Die im Dielektrikum ausgerichteten Dipole schwächen das Feld im Inneren; εr fasst das als Materialkonstante (C = εr·ε0·A/d). Modellgrenze: εr ist keine Naturkonstante, sondern material- und frequenzabhängig. Station 4 — Der Kondensator als Energiespeicher. Vermuten: Hebt der auf doppelte Spannung geladene Kondensator die Last doppelt oder vierfach so hoch? Beobachten: Der Kondensator treibt über den Motor ein Gewicht am Faden nach oben; bei 2U ist die Hubhöhe rund viermal so groß — W wächst mit U². Danach am Interface die Auf- und Entladekurven über einen Widerstand aufnehmen. Erklären: W = ½·C·U² als Fläche im Q-U-Diagramm; die RC-Kurven zeigen, wie Ladung und Spannung exponentiell laufen. Modellgrenze: Motor- und Reibungsverluste machen die Energiebilanz nur näherungsweise sichtbar. Abschluss in der Runde: Von der Potentiallandkarte (Station 1) über die Bauteilgröße C (Stationen 2 und 3) zum Energiespeicher (Station 4) — wo steckt die Energie? Im Feld zwischen den Platten, nicht "in den Platten".

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4–16

Bisher haben wir das Feld über Kräfte beschrieben. Jetzt wechseln wir die Perspektive — zur Energie. Der Wegweiser ist eine Analogie, die du seit der Mittelstufe kennst: das Heben einer Masse im Schwerefeld. Sage voraus: Wenn Hochheben um h die Energie $W = m g h$ speichert — was ist dann das elektrische Gegenstück?

Dieselbe Struktur zweimal: konstante Kraft, Energie proportional zum Abstand vom Bezugsniveau — links W = mgh, rechts W = qEs.

Im homogenen Feld ist die Kraft $q E$ konstant wie die Gewichtskraft — also ist die Arbeit ebenso simpel: Eine positive Ladung im Abstand s von der negativen Platte trägt die potentielle Energie $W = q E s$ . Entscheidend ist dabei nur der Abstand vom Bezugsniveau, nicht der Weg dorthin — schräg, direkt oder im Zickzack, es zählt dasselbe s. Genau wie beim Bergsteigen.

Nun der Kunstgriff, den du von der Feldstärke kennst: Die Energie W hängt noch von q ab — also teilen wir durch q. Der Quotient beschreibt dann den Ort im Feld allein. Er heißt das elektrische Potential:

$φ = \frac{W}{q} [φ] = 1 \frac{J}{C} = 1 V$

Das Potential ist so etwas wie die „elektrische Höhe" eines Punktes. Alle Punkte gleicher Höhe bilden eine Äquipotentialfläche — im Plattenkondensator sind das Ebenen parallel zu den Platten, senkrecht zu den Feldlinien. Prüfe es selbst:

Schiebe die grüne Äquipotentialebene mit dem Regler x durch den Kondensator (negative Platte = Bezugsniveau links) und verändere die Spannung U. Die Anzeige zeigt φ(x) — auf der Ebene selbst ist das Potential überall gleich.

Trage φ gegen x auf, und du bekommst das einfachste Diagramm des Kapitels — eine Gerade:

Das Potential wächst linear von der negativen zur positiven Platte; die Steigung der Geraden ist die Feldstärke E.

Jetzt fehlt nur noch ein Schritt zur vertrautesten Größe der E-Lehre. Transportiert man eine Ladung q von einem Punkt mit $φ_{1}$ zu einem Punkt mit $φ_{2}$ , kostet (oder liefert) das die Energie $W = q \cdot (φ_{2} - φ_{1})$ . Diese Potentialdifferenz ist die Spannung:

$U_{12} = Δ φ = φ_{2} - φ_{1}$

Anders als das Potential hängt sie von keinem Bezugsniveau ab — Differenzen bleiben gleich, egal wo die Null liegt. Anschaulich: $U = 1 V$ zwischen zwei Punkten heißt, der Transport von $1 C$ kostet $1 J$ . Und weil im homogenen Feld $φ (x) = E \cdot x$ gilt, ist die Spannung über den ganzen Plattenabstand d gerade $U = E \cdot d$ — umgestellt die Formel, mit der man Feldstärken tatsächlich misst:

$E = \frac{U}{d}$

Daher stammt die Einheit $V/m$ , die neben $N/C$ gleichberechtigt für E steht. Merke die Rollenverteilung: Potential ist eine Eigenschaft eines Punktes (relativ zum gewählten Nullniveau), Spannung eine Eigenschaft zweier Punkte. Beim Gewitter hast du beide Größen im Großformat gesehen — 100 MV über einen Kilometer; beim Kondensator wird E = U/d zur Arbeitsformel jedes Versuchs.

Voraussetzungen (2)

Die elektrische Feldstärke

Klasse 12

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Energieformen und mechanische Arbeit

Klasse 9

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Ermöglicht (6)

Blitz und Donner

Klasse 12

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Coulombgesetz und Radialfeld

Die Durchbruchfeldstärke

Klasse 12

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Elektronen im Längsfeld

Klasse 12

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Kondensator und Kapazität

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Welche Größe des Gravitationsfelds entspricht in der Analogie dem elektrischen Potential φ?

● Der Quotient W/m = g·h, also die "Höhenlage" pro Kilogramm
○ Die Gewichtskraft F = m·g
○ Die Masse m des gehobenen Körpers
○ Die Fallbeschleunigung g allein

Wie φ = W/q die Lageenergie pro Ladung angibt, gibt g·h die Lageenergie pro Masse an — das Potential ist die "elektrische Höhe". Kraft und Masse entsprechen dagegen der Feldkraft bzw. der Probeladung, nicht dem Potential.

Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Die Arbeit, um eine Ladung im homogenen Feld von der einen Platte zur anderen zu bringen, hängt davon ab, auf welchem Weg die Ladung transportiert wird.

✓ Falsch

Wie beim Heben im Gravitationsfeld zählt nur der Abstand vom Bezugsniveau, nicht der Weg — Wegstücke quer zur Feldrichtung kosten keine Arbeit. Genau diese Wegunabhängigkeit macht die Definition eines Potentials überhaupt erst möglich.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Wie ist das elektrische Potential φ eines Punktes definiert?

● Als Quotient aus potentieller Energie und Ladung, φ = W/q
○ Als Produkt aus Feldstärke und Ladung
○ Als die Kraft auf eine Probeladung in diesem Punkt
○ Als die Energie, die eine Ladung von 1 C besitzt, unabhängig vom Bezugsniveau

Division durch q macht die Energiebeschreibung von der Probeladung unabhängig — φ beschreibt den Feldpunkt. Das Potential ist dabei eine relative Größe, denn das Bezugsniveau darf frei gewählt werden.

Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Verschiebt man eine Ladung entlang einer Äquipotentialfläche, so wird dabei keine Arbeit gegen das Feld verrichtet.

✓ Wahr

Auf einer Äquipotentialfläche ist Δφ = 0, also W = q·Δφ = 0. Die Bewegung verläuft senkrecht zu den Feldlinien — wie ein Wanderweg auf konstanter Höhe im Gebirge.

Wahr / Falsch #5 25s ▶ Testen

Verschiebt man das Bezugsniveau des Potentials, so ändert sich auch die Spannung zwischen zwei festen Punkten des Feldes.

✓ Falsch

Beide Potentiale verschieben sich um denselben Betrag, ihre Differenz bleibt gleich — wie Höhenunterschiede nicht davon abhängen, ob man ab Meeresspiegel oder ab Erdboden misst. Nur Potentialwerte selbst sind bezugsabhängig, Spannungen nicht.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Wie ändert sich das Potential längs einer Feldlinie?

● Es nimmt in Richtung der Feldlinie ab
○ Es nimmt in Richtung der Feldlinie zu
○ Es bleibt entlang der Feldlinie konstant
○ Es schwankt periodisch

Feldlinien laufen von Plus nach Minus, also vom hohen zum niedrigen Potential — eine positive Probeladung "fällt" den Potentialberg hinab. Konstant ist das Potential nur senkrecht dazu, auf den Äquipotentialflächen.

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Zwischen zwei Punkten liegt die Spannung 1 V. Was bedeutet das energetisch?

● Der Transport von 1 C Ladung zwischen den Punkten setzt 1 J Energie um
○ Jedes Elektron nimmt dort 1 J Energie auf
○ Pro Sekunde fließt 1 C Ladung
○ Das Feld hat überall die Stärke 1 N/C

Aus U = W/q folgt 1 V = 1 J/C — die Spannung misst Energie pro Ladung. Die analoge Größe im Gravitationsfeld hätte die Einheit J/kg; Stromstärke und Feldstärke sind andere Größen mit anderen Einheiten.

Mittel

Lückentext #1 15s ▶ Testen

Die elektrische Spannung U zwischen zwei Punkten ist die ___ ihrer Potentiale.

✓ Antwort: Differenz

U = Δφ = φ₂ − φ₁ — deshalb ist die Spannung unabhängig davon, wo man das Nullniveau festlegt. Das Potential gehört zu einem Punkt, die Spannung immer zu zwei Punkten.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

An einem Plattenkondensator mit Plattenabstand d = 5 cm liegt die Spannung U = 300 V. Berechne die Feldstärke des homogenen Feldes. (Antwort in V/m)

✓ Antwort: 6000

E = U/d = 300 V / 0,05 m = 6000 V/m. Der Plattenabstand muss in Meter umgerechnet werden — mit 5 statt 0,05 ergäbe sich der falsche Wert 60 V/m.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Im homogenen Feld eines Kondensators herrscht die Feldstärke E = 2·10⁴ V/m bei einem Plattenabstand von 2 mm. Berechne die anliegende Spannung. (Antwort in V)

✓ Antwort: 40

U = E·d = 2·10⁴ V/m · 0,002 m = 40 V. Die Gleichung E = U/d verknüpft die messbare Spannung mit der Feldstärke und liefert die gebräuchliche Einheit V/m.

Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Die negative Platte eines Kondensators liegt auf φ = 0. Im homogenen Feld gilt φ(x) = E·x mit E = 4000 V/m. Berechne das Potential im Abstand x = 3 cm von der negativen Platte. (Antwort in V)

✓ Antwort: 120

φ = E·x = 4000 · 0,03 V = 120 V. Das Potential wächst linear mit dem Abstand von der Bezugsplatte — die Steigung der Geraden ist gerade die Feldstärke.

Zahleneingabe #5 35s ▶ Testen

Ein Elektron durchläuft die Spannung U = 100 V. Berechne die aufgenommene Energie. (e = 1,6·10⁻¹⁹ C; Antwort in 10⁻¹⁷ J)

✓ Antwort: 1.6

W = q·U = 1,6·10⁻¹⁹ · 100 J = 1,6·10⁻¹⁷ J. Die Formel W = q·Δφ macht die Spannung zur Energie pro Ladung — 1 V bedeutet 1 J pro Coulomb.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Eine Ladung q = 2·10⁻⁶ C wird im homogenen Feld E = 5000 V/m um s = 0,1 m gegen die Feldrichtung verschoben. Berechne die verrichtete Arbeit. (Antwort in mJ)

✓ Antwort: 1

W = q·E·s = 2·10⁻⁶ · 5000 · 0,1 J = 10⁻³ J = 1 mJ. Im homogenen Feld ist die Kraft konstant, die Arbeit also einfach Kraft mal Weg längs der Feldrichtung.

Multiple Choice #2 35s ▶ Testen

Mit einer Flammensonde tastet man das Feld eines Plattenkondensators ab. Was wird dabei gemessen, und was findet man?

● Das Potential einzelner Punkte; Flächen gleichen Potentials liegen parallel zu den Platten
○ Die Feldstärke einzelner Punkte; sie nimmt zur negativen Platte hin ab
○ Die Ladung einzelner Punkte; sie ist überall gleich
○ Die Temperatur des Feldes zwischen den Platten

Die Flamme ionisiert die Luft und bringt die Sonde auf das Potential des Messpunkts, das gegen die Bezugsplatte als Spannung abgelesen wird. Alle Punkte mit gleichem Plattenabstand zeigen denselben Wert — die Äquipotentialflächen des homogenen Feldes sind Ebenen parallel zu den Platten.