Der Hall-Effekt

1879 machte der amerikanische Physiker Edwin Herbert Hall (1855–1938) ein Experiment, das die Lorentzkraft im Inneren eines Leiters sichtbar macht. Der Aufbau: Ein flacher Streifen aus leitendem Material (Breite $b$, Dicke $d$) wird senkrecht von einem Magnetfeld durchsetzt; in Längsrichtung fließt der Strom $I$ — im Metall heißt das: Elektronen driften entgegen der technischen Stromrichtung durch den Streifen. Lege dich fest, bevor du weiterliest: Was macht die Lorentzkraft mit diesen driftenden Elektronen?

Die Drei-Finger-Regel (linke Hand, denn es sind Elektronen) sagt: Die Kraft $F_L=e\cdot v_D\cdot B$ drückt jedes driftende Elektron quer zur Stromrichtung — im Bild nach oben. Die Elektronen fließen also nicht mehr mittig durch den Streifen, sondern werden auf ihrem Weg systematisch an einen Rand gedrängt.

Was dann passiert, kennt kein Gegenstück beim geraden Stromfluss: Am oberen Rand sammelt sich ein Elektronenüberschuss, am unteren fehlen genau diese Elektronen — dort bleibt ein positiver Überschuss zurück. Getrennte Ladungen aber erzeugen selbst ein elektrisches Feld: Zwischen den Rändern wächst ein Querfeld $E_H$, das vom positiven zum negativen Rand zeigt und jedes weitere Elektron zurückzieht. Sage voraus: Wie endet dieser Wettlauf zwischen Lorentzkraft und wachsender Gegenkraft?

Der Wettlauf endet in einem Gleichgewicht — und zwar von selbst. Solange $F_L$ überwiegt, wandern weitere Elektronen an den Rand, und $E_H$ wächst; sobald die elektrische Gegenkraft die Lorentzkraft erreicht, laufen alle nachfolgenden Elektronen wieder geradeaus. Im Gleichgewicht gilt:

$$q\cdot E_H=q\cdot v_D\cdot B⟹E_H=v_D\cdot B$$

Über die Streifenbreite $b$ gehört zum homogenen Querfeld die Spannung $U_H=E_H\cdot b$ — die Hall-Spannung:

$$U_H=b\cdot v_D\cdot B$$

Bei konstantem Strom sind $b$ und $v_D$ fest — also ist $U_H\propto B$. Das prüfst du im Applet direkt: Doppeltes Feld, doppelte Spannung. Für die Formelsammlung formt man noch um: Mit der Ladungsträgerdichte $n=N/V$ ist $I=n\cdot e\cdot b\cdot d\cdot v_D$, und Einsetzen liefert

$$U_H=R_H\cdot \frac{I\cdot B}{d}\text{mit der Hall-Konstanten}{R}_H=\frac{1}{n\cdot e}$$

Die Hall-Konstante verrät, warum das Voltmeter im Applet nur Mikrovolt anzeigt: In einem Metall ist $n$ riesig, $R_H$ also winzig. Ein Halbleiterplättchen mit millionenfach weniger Ladungsträgern liefert bei gleichem Strom eine millionenfach größere Spannung — deshalb bestehen echte Hall-Sensoren aus Halbleitern.

Damit ist der Hall-Effekt doppelt nützlich:

• Magnetfelder messen und steuern. Wegen $U_H\propto B$ wird das geeichte Plättchen zur Hall-Sonde — dem Standard-Messgerät für Flussdichten, vom Physiksaal bis zum Kompass-Chip im Smartphone.
• In Halbleiter hineinschauen. Das Vorzeichen von $U_H$ verrät, ob positive oder negative Träger den Strom tragen; ihr Betrag liefert über $R_H$ die Trägerdichte $n$ und daraus die Beweglichkeit.

Merke dir das Schlussbild: Ablenkung → Aufladung → Gleichgewicht. Die Lorentzkraft startet den Prozess, das entstehende Querfeld beendet ihn, und die Spannung im Gleichgewicht ist ein direktes, lineares Maß für $B$. Mit dieser Sonde in der Hand kannst du als Nächstes die Felder von Leitern und Spulen systematisch ausmessen.