Lorentzkraft auf bewegte Ladungen

Die Formel $F=B\cdot I\cdot l$ beschreibt die Kraft auf einen ganzen Leiter. Aber ein Leiter ist kein massives Ding, das „als Ganzes" gepackt wird: Nur der stromdurchflossene Leiter spürt eine Kraft, der stromlose nicht. Der Verdacht liegt nahe, dass das Feld in Wahrheit an den bewegten Ladungsträgern im Inneren angreift — der Draht wird nur mitgezogen. Halte kurz inne: Wenn im Leiterstück $N$ Elektronen driften, welcher Anteil der Gesamtkraft entfällt dann auf ein einzelnes?

Rechnen wir es nach. Im Leiterstück der Länge $l$ driften $N$ Elektronen mit der Driftgeschwindigkeit $v=l/\Delta t$; in der Zeit $\Delta t$ fließt die Ladung $N\cdot e$ durch den Querschnitt, also ist $I=Ne/\Delta t$. Einsetzen:

$$F=B\cdot I\cdot l=B\cdot \frac{Ne}{\Delta t}\cdot v\Delta t=N\cdot evB$$

Die Gesamtkraft ist das $N$-fache einer Teilchenkraft — auf ein einzelnes Elektron entfällt genau $evB$. Für ein beliebiges Teilchen mit Ladung $q$ heißt das:

$$F_L=q\cdot v\cdot B$$

Das ist die Lorentzkraft — die Kraft des Magnetfelds auf eine einzelne bewegte Ladung. Ihre Richtung liefert wieder die Drei-Finger-Regel der rechten Hand (Daumen: Bewegungsrichtung der positiven Ladung, Zeigefinger: Feld, Mittelfinger: Kraft); für Elektronen nimmst du die linke Hand. Die Kraft steht senkrecht auf $\vec{v}$ und auf $\vec{B}$.

Bisher stand die Bewegung immer senkrecht zum Feld. Was aber, wenn das Teilchen schräg zu den Feldlinien fliegt — oder sogar genau längs ihnen? Lege dich fest, bevor du das Applet anfasst: Wie groß ist die Kraft bei $\alpha =0$, also $\vec{v}\parallel \vec{B}$?

Die Zerlegung ist der ganze Trick: Der Anteil $v_{\parallel }$ längs der Feldlinien ist für das Feld unsichtbar — parallel zu $\vec{B}$ gibt es keine Lorentzkraft. Nur der senkrechte Anteil $v_{\perp }=v\sin \alpha$ trägt. Damit gilt allgemein:

$$F_L=q\cdot v\cdot B\cdot \sin \alpha$$

Prüfe es im Applet gegen dein Gefühl: Bei $\alpha =90^{\circ }$ ist $\sin \alpha =1$ — maximale Kraft. Ziehst du den Pfeil auf die Feldlinie ($\alpha =0$), verschwinden Quer-Anteil und Kraft zusammen. Die beiden Anzeigefelder zeigen dabei stets dieselbe Zahl — die Kraft folgt dem senkrechten Geschwindigkeitsanteil. Und wohin zeigt sie? Aus der Zeichenebene heraus, auf dich zu — senkrecht zu $\vec{v}$ und $\vec{B}$, deshalb kann das Bild sie nur als Chip anzeigen.

Zwei Fehlvorstellungen kannst du jetzt gezielt abhaken. Erstens: Ein Magnetfeld wirkt nicht auf jede Ladung. Für $v=0$ ist $F_L=0$ — eine ruhende Ladung spürt nichts, und ein Teilchen längs der Feldlinien ebenfalls nichts. Zweitens: Die Kraft zeigt nicht in Feldrichtung. Anders als im elektrischen Feld, wo $\vec{F}=q\vec{E}$ längs der Feldlinien wirkt, steht die Lorentzkraft immer senkrecht auf den Linien. Wer beide Felder in einen Topf wirft, sagt hier systematisch das Falsche voraus.

Mit $F_L=qvB\sin \alpha$ hast du das Werkzeug für alles, was folgt: den Hall-Effekt, bei dem diese Kraft im Inneren eines Leiters Ladungen trennt — und die Kreisbahnen frei fliegender Teilchen, bei denen sie zur Zentripetalkraft wird.