Teiler, Vielfache und Teilbarkeitsregeln

Divisors, Multiples and Divisibility Rules

Mathematik Klasse 5 15 Aufgaben
ArithmetikTeilbarkeitKerncurriculum

Teiler und Vielfaches sind zwei Sichtweisen auf dieselbe Beziehung: 6 ist Teiler von 42, 42 ist Vielfaches von 6, die Division 42 : 6 geht ohne Rest auf. Die Teilbarkeitsregeln folgen aus dem Stellenwert (Padberg, Zahlentheorie und Arithmetik): 10, 100 und 1000 sind durch 2, 5 und 10 teilbar, deshalb entscheidet allein die Endziffer (Endstellenregel); 9, 99 und 999 sind durch 3 und 9 teilbar, deshalb lässt eine Zahl beim Teilen durch 3 oder 9 denselben Rest wie ihre Quersumme (Quersummenregel). Damit sind die Regeln für 2, 3, 5, 9 und 10 keine Merksätze, sondern begründbar.

Voraussetzungen (2)

Division mit Rest
Klasse 3
›
Stellenwert bis 1.000.000
Klasse 4
›

Ermöglicht (1)

Primzahlen und Primfaktorzerlegung
Klasse 5
›
Leicht
Wahr / Falsch #1 10s ▶ Testen

6 ist ein Teiler von 42.

✓ Wahr
42 ÷ 6 = 7, die Division geht ohne Rest auf. Also ist 6 ein Teiler von 42 — und 42 ein Vielfaches von 6.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

„35 ist ein Vielfaches von 7." Welcher Satz sagt dasselbe aus der anderen Richtung?

  • ● 7 ist ein Teiler von 35.
  • ○ 35 ist ein Teiler von 7.
  • ○ 7 ist ein Vielfaches von 35.
Teiler und Vielfaches sind zwei Sichtweisen auf dieselbe Beziehung, denn 35 = 7 × 5 ohne Rest.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

Welche Zahl ist durch 3 teilbar?

  • ● 114
  • ○ 116
  • ○ 121
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Bei 114 ist 1 + 1 + 4 = 6 — durch 3 teilbar. 116 ist zwar gerade, aber gerade heißt nicht durch 3 teilbar (Quersumme 8), und bei 121 ist die Quersumme 4.
Wahr / Falsch #4 10s ▶ Testen

Die Zahl 345 ist durch 5 teilbar.

✓ Wahr
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet. 345 endet auf 5, also stimmt es. Probe, 345 = 5 × 69.
Multiple Choice #5 10s ▶ Testen

Welche Zahl ist durch 10 teilbar?

  • ● 540
  • ○ 505
  • ○ 514
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 ist. 505 endet auf 5 (nur durch 5 teilbar), 514 ist zwar gerade, endet aber nicht auf 0.
Lückentext #6 15s ▶ Testen

Bestimme die Quersumme von 4.827. Sie ist ___.

✓ Antwort: 21
Quersumme: 4 + 8 + 2 + 7 = 21.
Lückentext #7 15s ▶ Testen

Welche Ziffer muss man an 56.738 anhängen, damit die entstehende sechsstellige Zahl durch 10 teilbar ist? Die Ziffer ist ___.

✓ Antwort: 0
Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet. Also entsteht 567.380.
Mittel
Wahr / Falsch #1 20s ▶ Testen

4.827 ist durch 3 teilbar.

✓ Wahr
Quersumme von 4.827: 4 + 8 + 2 + 7 = 21. Da 21 durch 3 teilbar ist, ist auch 4.827 durch 3 teilbar.
Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Durch welche der Zahlen 2, 3, 5, 10 ist die Zahl 270 teilbar?

  • ○ Nur durch 2 und 5
  • ○ Nur durch 3 und 5
  • ● Durch 2, 3, 5 und 10
  • ○ Durch 2, 3 und 5, aber nicht durch 10
270 endet auf 0, also teilbar durch 2, 5 und 10. Die Quersumme 2 + 7 + 0 = 9 ist durch 3 teilbar, also auch 270.
Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Zerlege 4.826 = 4.820 + 6. Welcher Teil entscheidet, ob 4.826 durch 2 teilbar ist?

  • ● nur die Endziffer 6
  • ○ nur der Teil 4.820
  • ○ beide Teile gemeinsam
Der Teil 4.820 besteht aus Zehnern, Hundertern und Tausendern — und 10, 100, 1000 sind alle durch 2 teilbar. Ob ein Rest bleibt, entscheidet darum allein die Endziffer 6. Genau deshalb genügt bei der 2er-Regel der Blick auf die letzte Ziffer.
Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Tim prüft die 23 mit der Quersumme: „2 + 3 = 5, also ist 23 durch 5 teilbar." Hat er recht?

✓ Falsch
Nein — die 5er-Regel ist eine Endstellenregel, keine Quersummenregel: Die Zahl muss auf 0 oder 5 enden. 23 endet auf 3 und ist nicht durch 5 teilbar (23 = 4 × 5 + 3).
Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Die Zahl 738 ist durch 9 teilbar.

✓ Wahr
Quersumme: 7 + 3 + 8 = 18. Da 18 durch 9 teilbar ist, ist auch 738 durch 9 teilbar. Probe: 738 = 9 × 82.
Lückentext #6 30s ▶ Testen

In der Zahl 7▢4 ist eine Ziffer verdeckt. Die Zahl soll durch 9 teilbar sein. Die verdeckte Ziffer ist ___.

✓ Antwort: 7
Die Quersumme 7 + ▢ + 4 = 11 + ▢ muss durch 9 teilbar sein. Das klappt nur mit ▢ = 7, denn 11 + 7 = 18. Probe: 774 = 9 × 86.
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Die Zahl 380 ist durch 10 teilbar. Ist sie damit automatisch auch durch 2 und durch 5 teilbar?

✓ Wahr
Ja — 380 = 38 × 10, und 10 = 2 × 5. Jedes Vielfache von 10 ist darum auch ein Vielfaches von 2 und von 5.
Schwer
Multiple Choice #1 35s ▶ Testen

Zerlege 234 = 2 × 99 + 3 × 9 + (2 + 3 + 4). Welcher Teil entscheidet, ob 234 durch 9 teilbar ist?

  • ● die Quersumme 2 + 3 + 4
  • ○ der Teil 2 × 99
  • ○ der Teil 3 × 9
Die Teile mit 99 und 9 sind sicher durch 9 teilbar — übrig bleibt genau die Quersumme 2 + 3 + 4 = 9. Deshalb funktioniert die Quersummenregel: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme es ist.