Die Falle — warum 1/2 + 1/3 nicht 2/5 ist

Zurück zu den Streifen vom Ende des letzten Abschnitts und zur Schokolade vom Anfang: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$. Diesmal haben die beiden Streifen verschiedene Nenner — Halbe und Drittel. Die Teile sind unterschiedlich groß.

Erst raten, dann nachsehen: Viele rechnen „oben plus oben, unten plus unten" und schreiben $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$. Halte kurz inne: Kann das stimmen? Du legst zu einem halben Streifen noch etwas dazu — muss das Ergebnis dann kleiner oder größer als $\frac{1}{2}$ sein?

Prüfen wir die Behauptung $\frac{2}{5}$ direkt gegen $\frac{1}{2}$. Im Bild steht Bruch A auf $\frac{1}{2}$ und Bruch B auf dem behaupteten Ergebnis $\frac{2}{5}$:

Der Streifen sagt es unmissverständlich: $\frac{2}{5}<\frac{1}{2}$. Das behauptete Ergebnis ist kleiner als der halbe Streifen, mit dem du gestartet bist. Das ist unmöglich: Bei einer Addition legst du etwas dazu, das Ergebnis muss größer als jeder einzelne Summand sein. Also ist $\frac{2}{5}$ falsch.

Stelle jetzt Streifen A auf $\frac{1}{3}$, den anderen Summanden. Die Zeile unter dem Bild meldet: $\frac{2}{5}$ ist größer als $\frac{1}{3}$. Das behauptete Ergebnis liegt also zwischen den beiden Brüchen, über $\frac{1}{3}$ und unter $\frac{1}{2}$. Das ist kein Zufall: „Oben plus oben, unten plus unten" landet bei zwei verschiedenen Brüchen immer zwischen den beiden, nie über dem größeren. Eine Summe muss aber über dem größeren liegen.

Am deutlichsten wird es bei $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$. Die falsche Regel gibt $\frac{2}{4}$. Im Bild darunter steht A auf $\frac{1}{2}$ und B auf diesem Ergebnis:

Die Zeile meldet „gleich groß": Nach der falschen Regel ändert ein halber Streifen nichts, wenn man ihn dazulegt. Zwei halbe Streifen sind aber ein ganzer, B muss ganz gefärbt sein, zum Beispiel $\frac{4}{4}$.

Woran liegt der Fehler? An der Teilgröße. Ein Halb und ein Drittel sind verschieden große Teile — so wie du 3 Äpfel und 2 Birnen nicht einfach „5 Äpfel" nennen kannst. Solange die Teile nicht gleich groß sind, gibt es keinen gemeinsamen Namen für sie, und man darf sie nicht zusammenzählen. Den Nenner „mitzuaddieren" ist doppelt falsch: Er ist keine Anzahl, sondern die Größe eines Teils — die ändert sich beim Zusammenlegen nicht.

Damit ist die Frage genauer gestellt: Gibt es eine Teilgröße, in die sich ein Halb und ein Drittel beide genau zerschneiden lassen? Dann wären die Teile gleich groß, und man dürfte wieder zählen.