Gleichnamig machen — der gemeinsame Nenner

Halbe und Drittel lassen sich nicht zusammenzählen, weil ihre Teile verschieden groß sind. Gesucht ist also eine kleinere Teilgröße, in die sich beide Streifen genau zerschneiden lassen. Dafür gibt es ein Werkzeug, das du schon kennst: Aus dem Kapitel über Kürzen und Erweitern kennst du das Erweitern — Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen, der Anteil bleibt derselbe. Zum Beispiel ist $\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 2}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}$.

Im Bild heißt das: Jedes Teil wird noch einmal in gleich große Stücke zerschnitten. Beide Streifen zeigen zuerst $\frac{1}{2}$. Stelle den Nenner von Bruch B auf 4, dann auf 6, und suche jedes Mal den Zähler, bei dem die Zeile unter dem Bild „gleich groß" meldet:

Bei Vierteln passt $\frac{2}{4}$, bei Sechsteln $\frac{3}{6}$: Der gefärbte Teil bleibt gleich lang, er ist nur feiner geteilt. Mit $\frac{1}{3}$ in Streifen A findest du bei Sechsteln $\frac{2}{6}$. Diesen Schritt nennt man Erweitern — hier auf Sechstel:

$$\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{3}{6}\frac{1}{3}=\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{2}{6}$$

Warum gerade Sechstel? Halbe lassen sich in Viertel, Sechstel, Achtel … zerschneiden; die möglichen Nenner sind die Vielfachen von 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Drittel lassen sich in Sechstel, Neuntel, Zwölftel zerschneiden; das sind die Vielfachen von 3: 3, 6, 9, 12. Die kleinste Zahl, die in beiden Reihen steht, ist 6, das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3, kurz kgV (gesprochen „k-g-V"). Diese Zahl heißt Hauptnenner. Auch 12 steht in beiden Reihen und wäre ein gemeinsamer Nenner, nur mit kleineren Teilen; der Hauptnenner ist der kleinste.

Jetzt sind beide Brüche gleichnamig: 3 Sechstel und 2 Sechstel, dieselbe Teilgröße. Also darfst du zählen:

3 Sechstel und 2 Sechstel sind zusammen 5 Sechstel. Stellst du B auf $\frac{5}{6}$, ist B genau zwei Sechstel weiter gefärbt als A mit $\frac{3}{6}$: Das sind die $\frac{2}{6}$, die dazugekommen sind. Damit ist der ganze Rechenweg:

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$$

Und $\frac{5}{6}$ ist größer als $\frac{1}{2}$ — genau wie es sein muss, wenn man etwas dazulegt. Die falsche Regel lieferte $\frac{2}{5}$, also weniger als die Hälfte. Abziehen geht auf demselben Weg: $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$; stelle B zurück auf $\frac{2}{6}$, dann ist A genau ein Sechstel weiter gefärbt als B. Der Rechenweg hat drei Schritte: gleichnamig machen → Zähler addieren oder subtrahieren → gemeinsamen Nenner behalten.

Zurück zur Schokolade vom Anfang. Eine halbe Tafel und ein Drittel einer gleich großen Tafel sind zusammen $\frac{5}{6}$ Tafel; zur ganzen Tafel fehlt ein Sechstel. Die Regel „oben plus oben, unten plus unten" gab $\frac{2}{5}$, weniger als die halbe Tafel, mit der du angefangen hast. Der Fehler lag nicht im Rechnen, sondern im Zählen verschieden großer Teile.

Dieses Kapitel hat es sich leicht gemacht: zwei Brüche, kleine Nenner, keine gemischten Zahlen. Bei anderen Nennern bleibt der Weg derselbe, nur der Hauptnenner ist schwerer zu sehen. Für $\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$ stehen 12 in beiden Vielfachen-Reihen, also $\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$. Manchmal lässt sich das Ergebnis danach kürzen: $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.