Erweitern teilt jedes Teil noch einmal fein, Kürzen fasst Teile zu größeren zusammen – der Anteil am Ganzen bleibt derselbe, nur sein Name ändert sich. Die Station erklärt beides an Streifen und Kreisen und macht daraus die Rechenregel: Zähler und Nenner mit derselben Zahl malnehmen oder durch dieselbe Zahl teilen. Sie räumt das Addieren und Subtrahieren („beide plus 2“) als Erweitern und Kürzen aus. Sie bereitet den Größenvergleich, den Hauptnenner und das Rechnen mit Prozentangaben vor. Die Einführung (Johannes, Tag 6–7) beginnt ohne Regel: „gleich viel, nur anders geschnitten“ (1/2 = 3/6 am selben Blech), dann „kleiner schneiden heißt Zähler und Nenner mal dieselbe Zahl“ mit der fehlenden Zahl (2/3 = □/6), erst vorgemacht, dann mit einem Schritt weniger.
Bens Torte liegt schon in Stücken da, ein Teil davon ist gegessen. Schneide jedes Stück noch einmal durch, dann noch feiner, und beobachte dabei den gefärbten Teil.
Verfeinere die Teilung mit dem Regler s. Es werden mehr gefärbte Stücke – wird dabei auch der gefärbte Kuchen größer?
Mehr Stücke, gleich viel Kuchen. Das ist schon die ganze Idee, jetzt in Zahlen. Ben hat 4 von 12 Tortenstücken gegessen: 124. Schneidet man jedes Stück noch einmal in gleich große kleinere Teile, sind es mehr Teile – aber der gegessene Kuchen bleibt gleich groß. Das heißt Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert. Erweitern ändert nur den Namen des Anteils, nicht seine Größe – Mias 83 und 249 sind derselbe Anteil.
32=3⋅22⋅2=64
Kürzen
Der Weg zurück heißt Kürzen: Zähler und Nenner werden durch denselben Teiler dividiert, mehrere kleine Teile werden zu einem großen zusammengefasst. Bens 124 lässt sich durch 4 kürzen:
124=12:44:4=31
Ben hat also ein Drittel der Torte gegessen. Kürzt man so lange, bis Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, ist der Bruch vollständig gekürzt.
Dreimal derselbe Anteil: Aus 8/12 wird durch Zusammenfassen 4/6 und dann 2/3. Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner nur noch den gemeinsamen Teiler 1 haben.
Der Wert bleibt, wenn man mit derselben Zahl malnimmt oder durch dieselbe Zahl teilt. Addiert oder subtrahiert man dagegen, entsteht ein anderer Bruch: 21 und 2+21+2=43 sind verschieden groß.
Im Streifen sind 2 von 3 Teilen gefärbt. Die gestrichelten Linien halbieren jedes Teil. Welcher Bruch beschreibt denselben gefärbten Teil in der feineren Teilung?
● 4/6
○ 2/6
○ 4/3
Jedes Drittel wird in 2 Teile geteilt: aus 3 Teilen werden 6, aus 2 gefärbten werden 4. Der gefärbte Anteil ist 4/6. 2/6 verändert nur den Nenner, 4/3 nur den Zähler – dann wäre der Anteil ein anderer.
Drei gleich lange Streifen zeigen denselben gefärbten Anteil. Der erste ist in 12 Teile geteilt (8 gefärbt), der zweite in 6 Teile. Welcher Bruch gehört zum dritten Streifen?
● 2/3
○ 4/6
○ 8/12
Der dritte Streifen ist der gröbste: 3 Teile, 2 gefärbt. Jeweils 2 Teile des zweiten Streifens sind hier zu einem zusammengefasst: 4/6 = 2/3. 8/12 und 4/6 gehören zu den ersten beiden Streifen.
3/6 entsteht durch Erweitern mit 3: (1 · 3)/(2 · 3). 3/4 entsteht, wenn man zu Zähler und Nenner 2 addiert, 2/3, wenn man 1 addiert – beides ändert den Wert.
a) Ben hat 4 von 12 Tortenstücken gegessen. Zeichne einen Kreis mit 12 gleich großen Sektoren, färbe Bens 4 Stücke und zeige durch Umrandung, wie man zu größeren Teilen zusammenfasst. Kürze 4/12 vollständig.
b) Mia hat 3/8 vom Blechkuchen gegessen. Erweitere den Bruch auf Vierundzwanzigstel und begründe in einem Satz, warum Erweitern den Anteil nicht verändert.
Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
✓ Antwort: a) Kreis mit 12 Sektoren, 4 gefärbt; je 4 Sektoren zu einem Drittel umrandet, ein Drittel gefärbt: 4/12 = (4 : 4)/(12 : 4) = 1/3. b) 3/8 = (3 · 3)/(8 · 3) = 9/24. Erweitern schneidet jedes Stück in 3 kleinere, die gefärbte Fläche bleibt gleich groß.
a) 4/12 = 1/3 (beide durch 4). b) 3/8 = 9/24 (beide mal 3). Beides ändert nur die Feinheit der Teilung, nicht den Anteil.