Kongruenz und Bewegungen

Congruence and Rigid Motions

Mathematik Klasse 7 20 Aufgaben

GeometrieAbbildungenKongruenz

Zwei Figuren sind deckungsgleich (kongruent), wenn eine Bewegung — Verschiebung, Drehung, Spiegelung oder ihre Verkettung — die eine genau auf die andere abbildet; Längen und Winkel bleiben dabei erhalten (abbildungsgeometrischer Zugang, Weigand et al.). Eine gespiegelte Figur ist kongruent, auch wenn bloßes Schieben sie nicht zur Deckung bringt. Kongruenz ist nicht Ähnlichkeit: Vergrößert ist nicht mehr deckungsgleich. Diese Bedeutung macht die Kongruenzsätze zu Abkürzungen statt zu Ritualen.

Voraussetzungen (3)

Ermöglicht (1)

Kongruenz und Kongruenzsätze

Klasse 7

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Leicht

Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Eine Abbildung bildet A(1; 2) auf A'(4; 2) ab und B(3; 5) auf B'(6; 5). Welche Bewegung ist das?

● Verschiebung
○ Spiegelung
○ Drehung

Beide Punkte wandern um 3 nach rechts — jeder Punkt um die gleiche Strecke in die gleiche Richtung. Genau das ist eine Verschiebung; bei Spiegelung oder Drehung wandern verschiedene Punkte in verschiedene Richtungen.

Wahr / Falsch #2 10s ▶ Testen

Die Strecke PQ ist 5 cm lang und wird an einer Geraden g gespiegelt. Die Bildstrecke P'Q' ist ebenfalls 5 cm lang.

✓ Wahr

Richtig! Die Spiegelung ist eine Bewegung und erhält Abstände — jede Strecke wird auf eine gleich lange Bildstrecke abgebildet.

Multiple Choice #3 12s ▶ Testen

Ein Dreieck mit den Seiten 3 cm, 4 cm und 6 cm wird zuerst gedreht und dann gespiegelt. Welche Seitenlängen hat das Bilddreieck?

● 3 cm, 4 cm und 6 cm
○ 6 cm, 8 cm und 12 cm
○ 3 cm, 4 cm und 5 cm

Drehungen und Spiegelungen sind Bewegungen — sie erhalten alle Streckenlängen und Winkelgrößen. Keine Seite wird verdoppelt oder verändert.

Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Welches Figurenpaar ist kongruent?

● Zwei Quadrate mit der Seitenlänge 5 cm
○ Zwei Quadrate mit den Seitenlängen 5 cm und 6 cm
○ Ein Quadrat und ein Rechteck mit gleichem Umfang

Kongruent heißt, eine Bewegung bildet die eine Figur auf die andere ab — dafür müssen alle Längen übereinstimmen. Verschiedene Seitenlängen oder nur gleicher Umfang genügen nicht.

Wahr / Falsch #5 12s ▶ Testen

Sara legt ihr Papierdreieck durch eine Drehung genau deckungsgleich auf Alis Dreieck. Dann lässt sich auch Alis Dreieck genau auf Saras Dreieck legen.

✓ Wahr

Richtig! Kongruenz ist symmetrisch — die Drehung in Gegenrichtung bildet Alis Dreieck auf Saras ab. Gilt F₁ ≅ F₂, dann auch F₂ ≅ F₁.

Wahr / Falsch #6 10s ▶ Testen

Die Strecke CD wird um 3 cm nach rechts verschoben. Die Bildstrecke C'D' ist parallel zu CD.

✓ Wahr

Richtig! Eine Verschiebung bildet jede Gerade auf eine parallele Gerade ab — Strecke und Bildstrecke sind daher parallel.

Wahr / Falsch #7 12s ▶ Testen

Die Strecke EF ist 7 cm lang und liegt waagerecht, die Strecke GH ist 7 cm lang und liegt schräg. Die beiden Strecken sind kongruent.

✓ Wahr

Richtig! Eine Drehung mit anschließender Verschiebung bringt EF genau auf GH — gleich lange Strecken sind immer kongruent, egal wie sie liegen.

Wahr / Falsch #8 12s ▶ Testen

Zwei Rechtecke haben beide die Seitenlängen 4 cm und 7 cm; eines davon liegt gedreht. Die beiden Rechtecke sind kongruent.

✓ Wahr

Richtig! Stimmen alle Seitenlängen überein, bringt eine Bewegung (hier eine Drehung mit Verschiebung) die Rechtecke zur Deckung — die Lage spielt keine Rolle.

Multiple Choice #9 15s ▶ Testen

Ein Tapetenmuster wiederholt sich alle 5 cm nach rechts. Welche Bewegung bildet das Muster auf sich selbst ab?

● Verschiebung um 5 cm nach rechts
○ Verschiebung um 3 cm nach rechts
○ Drehung um 90°

Das Muster hat Translationssymmetrie mit der Periode 5 cm: Nur eine Verschiebung um genau diese Strecke (oder ein Vielfaches) bringt jedes Motiv wieder auf ein Motiv.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Zwei gleichseitige Dreiecke mit Seitenlänge 4 cm sind kongruent.

✓ Wahr

Richtig! Gleichseitige Dreiecke mit gleicher Seitenlänge haben die gleiche Form und Größe.

Lückentext #11 10s ▶ Testen

Kongruente Strecken sind gleich ___.

✓ Antwort: lang

Einander kongruente Strecken sind gleich lang, und gleich lange Strecken sind einander kongruent.

Mittel

Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Die Strecke AB mit A(0; 0) und B(4; 0) wird um 180° um ihren Mittelpunkt M(2; 0) gedreht. Welche Bildpunkte entstehen?

● A'(4; 0) und B'(0; 0)
○ A'(0; 0) und B'(-4; 0)
○ A'(2; -2) und B'(2; 2)

Die Halbdrehung um M vertauscht die Endpunkte — die Strecke wird auf sich selbst abgebildet. A'(0; 0), B'(-4; 0) wäre eine Drehung um A statt um M; A'(2; -2), B'(2; 2) wäre nur eine 90°-Drehung.

Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Ein Viereck wird zuerst um 90° gedreht und danach verschoben. Vergleiche das Bild mit dem Original. Was gilt?

● Bild und Original sind kongruent
○ Das Bild ist größer als das Original
○ Das Bild ist ähnlich, aber nicht kongruent

Beide Schritte sind Bewegungen, und die Nacheinanderausführung zweier Bewegungen ist wieder eine Bewegung — alle Längen und Winkel bleiben erhalten, also sind Bild und Original kongruent.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Zwei Rechtecke haben die Seitenlängen 3 cm × 5 cm und 3 cm × 4 cm. Sind sie kongruent?

● Nein, denn sie stimmen nicht in allen Seitenlängen überein
○ Ja, denn beide haben eine Seite von 3 cm
○ Ja, denn beide sind Rechtecke

Kongruente Figuren stimmen in allen Stücken überein. Da 5 cm ≠ 4 cm, gibt es keine Bewegung, die das eine auf das andere abbildet.

Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Zwei gleichseitige Vierecke (Rhomben) mit Seitenlänge 3 cm sind immer kongruent.

✓ Falsch

Falsch! Rhomben mit gleicher Seitenlänge können verschiedene Winkel haben und sind dann nicht kongruent.

Multiple Choice #5 10s ▶ Testen

Das Dreieck ABC mit dem Winkel α = 40° wird durch eine Verschiebung auf das Dreieck A'B'C' abgebildet. Wie groß ist der Bildwinkel α'?

● α' = 40°
○ α' = 80°
○ α' = 140°

Eine Verschiebung ist eine Bewegung — Winkelgrößen (und Seitenlängen) bleiben unverändert. Nichts wird verdoppelt (80°) oder zum Nebenwinkel ergänzt (140°).

Multiple Choice #6 12s ▶ Testen

Welche der folgenden Abbildungen ist KEINE Bewegung?

● Vergrößerung um den Faktor 2
○ Verschiebung um 2 cm nach oben
○ Drehung um 90°

Eine Vergrößerung ändert die Streckenlängen und ist daher keine Bewegung. Bewegungen erhalten Abstände.

Wahr / Falsch #7 12s ▶ Testen

Die parallelen Geraden g und h werden um 60° um einen Punkt P gedreht. Die Bildgeraden g' und h' sind ebenfalls parallel.

✓ Wahr

Richtig! Bewegungen erhalten die Parallelität — beide Geraden drehen sich um denselben Winkel und bleiben daher parallel.

Multiple Choice #8 12s ▶ Testen

Ein Winkel von 35° wird um seinen Scheitelpunkt um 180° gedreht. Winkel und Bildwinkel bilden zusammen ein ...

● Scheitelwinkelpaar
○ Nebenwinkelpaar
○ Stufenwinkelpaar

Die Halbdrehung um den Scheitel bildet jeden Schenkel auf seine Verlängerung ab — Winkel und Bildwinkel liegen sich als Scheitelwinkel gegenüber. Nebenwinkel teilen nur einen Schenkel, Stufenwinkel gehören zu Parallelen.

Multiple Choice #9 15s ▶ Testen

Dreieck D₁ hat die Seiten 4 cm, 6 cm und 8 cm, Dreieck D₂ hat die Seiten 4 cm, 6 cm und 9 cm. Welcher Vergleich zeigt, dass sie NICHT kongruent sind?

● Der Vergleich der dritten Seiten 8 cm und 9 cm
○ Der Vergleich der ersten Seiten 4 cm und 4 cm
○ Der Vergleich der zweiten Seiten 6 cm und 6 cm

Kongruente Figuren stimmen in allen Stücken überein — ein einziges verschiedenes Stück (8 cm ≠ 9 cm) genügt als Nachweis. Übereinstimmende Seiten beweisen dagegen nichts, solange ein Stück abweicht.