Elektronen im Längsfeld

Electrons in a Longitudinal Field

Physik Klasse 12 14 Aufgaben

Elektrisches FeldElektromagnetismusKerncurriculum

Ein elektrisches Feld beschleunigt freie Elektronen parallel zu den Feldlinien; die Elektronen liefert der glühelektrische Effekt (Austritt aus Metall bei T > 2000 K), technisch die Elektronenkanone mit Heizspannung, Ringanode und Wehneltzylinder. Der Energieansatz W = qU = ΔE_kin liefert die Geschwindigkeit v = √(2eU/m); als handliche Energieeinheit dient das Elektronenvolt (1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J), und die Beschleunigung folgt aus a = qE/m. Die mechanischen Analoga freier Fall und senkrechter Wurf tragen die Anschauung. Trägt Querfeld, Fadenstrahlrohr und alle Beschleuniger des Kapitels.

Können & Üben

Fadenstrahl-Werkstatt — Elektronen auf Bahnen

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90 min · once

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Vier Stationen nach dem Prinzip Vermuten – Beobachten – Erklären; die Gruppen rotieren nach etwa 20 Minuten. Sicherheitsblock vorab, für alle Stationen verbindlich: Hochspannung! Alle Röhren laufen mit mehreren hundert Volt — verkabelt und eingeschaltet wird ausschließlich von der Lehrkraft bzw. nach ihrer Freigabe; Umbauten nur im spannungsfreien Zustand, Glaskolben nie berühren, im abgedunkelten Raum Taschen und Kabel aus den Laufwegen. Station 1 — Elektronenkanone und Längsfeld. Vermuten: Was macht eine höhere Beschleunigungsspannung mit dem Leuchtfleck? Beobachten: Der Fleck auf dem Schirm wird schärfer und heller; die Elektronen gewinnen im Längsfeld kinetische Energie. Erklären: e·U = ½·m·v² — die Spannung stellt die Endgeschwindigkeit ein, nicht eine konstante Kraftdauer. Modellgrenze: Bei sehr hohen Spannungen müsste relativistisch gerechnet werden. Station 2 — Querfeld: die Parabel. Vermuten: Welche Bahnform entsteht, wenn der schnelle Strahl quer durch das Feld eines Plattenpaars fliegt — Kreis, Knick oder Parabel? Beobachten: Auf dem Schirm der Ablenkröhre krümmt sich die Leuchtspur parabelförmig; mehr Plattenspannung krümmt stärker, mehr Beschleunigungsspannung streckt die Bahn. Erklären: Wie beim waagrechten Wurf — konstante Querkraft plus konstante Längsgeschwindigkeit ergibt eine Parabel. Modellgrenze: Das Feld ist nur zwischen den Platten homogen; am Rand franst es aus. Station 3 — Fadenstrahlrohr qualitativ: der Kreis. Vermuten — erst ansagen, dann drehen: Was macht mehr Spulenstrom (mehr B) mit dem leuchtenden Kreis, was macht mehr Beschleunigungsspannung U? Beobachten: Mehr B verkleinert den Kreis, mehr U vergrößert ihn; die Spur bleibt stets ein geschlossener Kreis. Erklären: Die Lorentzkraft steht immer senkrecht auf v, verrichtet keine Arbeit und wirkt als Zentripetalkraft — anders als das Querfeld in Station 2, das den Betrag von v ändert. Station 4 — e/m-Messreihe und Schraubenbahn. Nach dem Protokoll (protocol.physik.fadenstrahlrohr) eine r(U)-Messreihe bei festem B aufnehmen, e/m = 2U/(B²r²) berechnen, Mittelwert bilden und mit dem Literaturwert 1,76 · 10¹¹ C/kg vergleichen. Zum Abschluss das Rohr in seiner Halterung leicht drehen: Aus dem Kreis wird eine Schraubenlinie. Erklären: Nur die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zu B wird auf die Kreisbahn gezwungen, die Parallelkomponente läuft ungestört weiter — dieselbe Bahnform wie beim Sonnenwind entlang der Erdfeldlinien (Polarlicht). Vorbereitung oder Nachbereitung: der Polarlicht-Artikel in der App. Modellgrenze: Das B-Feld des Helmholtz-Paars ist nur im Zentrum ausreichend homogen; große Kreise verlassen diesen Bereich und verfälschen e/m. Abschluss in der Runde: Längsfeld beschleunigt, Querfeld lenkt parabelig ab, Magnetfeld zwingt auf Kreis oder Schraube — welche Bahn gehört zu welchem Feld, und woran erkennt man den Unterschied im Energieumsatz?

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4–16

Alles in diesem Kapitel beginnt mit einer praktischen Frage: Woher bekommt man freie Elektronen? In einem Metall gibt es Elektronen im Überfluss, aber sie sind gebunden — wer eines herauslösen will, muss die Austrittsenergie $E_{A}$ bezahlen. Dafür gibt es drei Wege:

Hitze (glühelektrischer Effekt): Aus glühenden Metalloberflächen ab etwa $2000 K$ treten Elektronen aus.
Licht (Photoeffekt): Kurzwelliges Licht schlägt Elektronen etwa aus einer Zinkplatte.
Starke elektrische Felder (Feldemission): Sehr hohe Feldstärken „reißen" Elektronen aus der Oberfläche.

Der erste Weg ist der Arbeitspferd-Weg — er steckt in der Elektronenkanone. Eine Glühkathode wird von der Heizspannung $U_{H}$ zum Glühen gebracht und dampft Elektronen aus. Zwischen Kathode und Ringanode liegt die Beschleunigungsspannung $U_{B}$ : Ihr Feld zieht die Elektronen zur Anode, ein Teil fliegt durch das Loch — dahinter ist der Elektronenstrahl.

Bevor du am Regler drehst, lege dich fest: Wenn du $U_{B}$ vervierfachst — wird der Strahl dann viermal so schnell?

Die Elektronenkanone: Glühkathode K (orange, geheizt mit U_H), Ringanode A (blau), dazwischen das Beschleunigungsfeld (cyan). Schiebe U_B und beobachte die Anzeigen v und v/c.

Die Anzeige sagt: nein — nur doppelt so schnell. Von $1 kV$ auf $4 kV$ steigt $v$ von $1, 9$ auf $3, 8 \cdot 1 0^{7} m/s$ . Warum die Wurzel? Das erklärt der Energieansatz, das zentrale Werkzeug dieses Kapitels.

Ein Teilchen mit Ladung $q$ läuft parallel zu den Feldlinien durch ein homogenes Feld $E = U / d$ . Die konstante Kraft $F = q E$ wirkt über die ganze Strecke $d$ und verrichtet die Arbeit

$W = F \cdot d = q \frac{U}{d} d = q U$

Die Plattengeometrie kürzt sich vollständig heraus — es zählt nur die durchlaufene Spannung. Das ist der Merksatz: Beim Durchlaufen der Spannung $U$ gewinnt (oder verliert) ein Teilchen mit Ladung $q$ die kinetische Energie

$Δ E_{k in} = q U$

Daraus fällt auch die praktischste Energieeinheit der Teilchenphysik ab: Ein Elektronenvolt ist die Energie, die eine Elementarladung beim Durchlaufen von $1 V$ gewinnt — $1 eV = 1, 602 \cdot 1 0^{- 19} J$ . Prüfe dich: Ein Ion mit Ladung $4 e$ durchläuft $6 kV$ — wie viel Energie gewinnt es? Ladung mal Spannung: $24 keV$ .

Jetzt lässt sich die Wurzel aus dem Applet herleiten. Ein anfangs ruhendes Elektron setzt die gewonnene Energie vollständig in Bewegung um, $\frac{1}{2} m_{e} v^{2} = e U_{B}$ , also

$v = \frac{2 e U _{B}}{m _{e}}$

Die Geschwindigkeit wächst mit der Wurzel der Spannung — vierfache Spannung, doppelte Geschwindigkeit, genau wie beobachtet. Und die Richtung der Rechnung funktioniert auch umgekehrt: Läuft ein Elektron gegen das Feld an, verliert es $e U$ an Bewegungsenergie — das mechanische Analogon ist der senkrechte Wurf nach oben, so wie die Beschleunigung dem freien Fall entspricht.

Ein letzter Blick auf die Anzeige $v / c$ : Schon bei $U_{B} = 3 kV$ erreicht das Elektron $3, 2 \cdot 1 0^{7} m/s$ — rund 10 % der Lichtgeschwindigkeit. Bei höheren Spannungen darf man nicht mehr klassisch rechnen; was dann passiert, klärt das Thema „Relativistische Masse und Energie" am Ende des Kapitels.

Voraussetzungen (2)

Potential und Spannung

Klasse 12

›

Kinematik und Bewegungsgleichungen

Klasse 10

›

Ermöglicht (2)

Elektronen im Querfeld

Klasse 12

›

Kreisbahn im Magnetfeld

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

In einer Vakuumröhre stehen sich eine Metallkathode und eine Anode gegenüber. In welchem Fall fließt ein Strom durch die Röhre?

● Die Kathode glüht bei über 2000 K, zwischen Kathode und Anode liegen 300 V
○ Die Kathode bleibt kalt, zwischen Kathode und Anode liegen 300 V
○ Die Kathode glüht bei über 2000 K, zwischen Kathode und Anode liegt keine Spannung

Freie Elektronen liefert nur der glühelektrische Effekt — erst wenn die thermische Energie die Austrittsenergie E_A übersteigt, verlassen Elektronen das Metall. Eine Spannung allein saugt keine Elektronen aus kaltem Metall, und ohne Spannung fehlt die gerichtete Bewegung zur Anode.

Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Neben dem glühelektrischen Effekt lassen sich freie Elektronen auch durch Licht und durch starke elektrische Felder aus Metallen lösen. Wie heißen diese beiden Effekte?

● Photoeffekt und Feldemission
○ Photoeffekt und Induktion
○ Comptoneffekt und Feldemission
○ Halleffekt und Photoeffekt

Licht löst Elektronen über den Photoeffekt heraus, sehr starke elektrische Felder über die Feldemission. Zusammen mit dem glühelektrischen Effekt sind das die drei Erzeugungsarten freier Elektronen.

Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

In einer Elektronenkanone wird die Ringanode durch eine volle Metallscheibe ohne Loch ersetzt. Was beobachtet man hinter der Anode?

● Keinen Elektronenstrahl mehr
○ Einen stärkeren Elektronenstrahl
○ Den gleichen Strahl wie vorher

Die Elektronen kommen aus der Glühkathode und werden zur Anode hin beschleunigt. Nur die Elektronen, die durch das Loch der Ringanode fliegen, bilden dahinter einen freien Strahl. Eine volle Scheibe fängt alle Elektronen auf – sie fließen als Strom ab. Die Anode ist also nicht die Quelle des Strahls, und durch Metall kommen die Elektronen nicht hindurch.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Ein Elektronenvolt ist die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen der Spannung 1 V gewinnt, und es gilt 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J.

✓ Wahr

Das ist genau die Definition. Wegen W = qU gilt 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ C · 1 V = 1,6·10⁻¹⁹ J.

Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

Ein Ion mit der Ladung q = 2e durchläuft die Beschleunigungsspannung 3 kV. Welche kinetische Energie gewinnt es? (Antwort in keV)

✓ Antwort: 6

Es gilt W = qU: Ein Teilchen mit der Ladung 2e gewinnt beim Durchlaufen von 3 kV die Energie 2 · 3 keV = 6 keV. In Elektronenvolt rechnet man solche Aufgaben ohne Zehnerpotenzen.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

In der Elektronenkanone gibt es die Heizspannung U_H und die Beschleunigungsspannung U_B. Welche Aufgaben haben die beiden?

● U_H bringt die Kathode zum Glühen, U_B beschleunigt die ausgetretenen Elektronen zur Anode
○ U_H beschleunigt die Elektronen, U_B heizt die Anode
○ Beide zusammen erzeugen das Magnetfeld für die Strahlführung
○ U_H lädt den Wehneltzylinder auf, U_B heizt die Kathode

Die Heizspannung sorgt über den glühelektrischen Effekt für freie Elektronen an der Kathode. Das von U_B erzeugte homogene Feld beschleunigt sie dann zur Ringanode.

Lückentext #7 15s ▶ Testen

Die Beschleunigung eines Elektrons parallel zu den Feldlinien entspricht in der Mechanik dem freien ___ mit Anfangsgeschwindigkeit.

✓ Antwort: Fall

Wie beim freien Fall wirkt eine konstante Kraft in Bewegungsrichtung und erzeugt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Nur ist hier a = eE/m statt g.

Mittel

Lückentext #1 15s ▶ Testen

In der Elektronenkanone bündelt der ___ den Elektronenstrahl.

✓ Antwort: Wehneltzylinder

Der Wehneltzylinder liegt auf negativem Potential und drückt die auseinanderlaufenden Elektronen zu einem dünnen Strahl zusammen. Beschleunigt wird dagegen durch die Spannung zwischen Kathode und Ringanode.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Rechne die Energie 5 keV in Joule um. (1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J, Antwort in 10⁻¹⁶ J)

✓ Antwort: 8

5 keV = 5000 eV = 5000 · 1,6·10⁻¹⁹ J = 8·10⁻¹⁶ J. Die Umrechnung ist eine reine Multiplikation mit 1,6·10⁻¹⁹.

Zahleneingabe #3 50s ▶ Testen

Ein anfangs ruhendes Elektron durchläuft die Beschleunigungsspannung U = 100 V. Berechne seine Endgeschwindigkeit. (e = 1,6·10⁻¹⁹ C, m_e = 9,1·10⁻³¹ kg, Antwort in 10⁶ m/s, eine Dezimalstelle)

✓ Antwort: 5.9

Aus eU = ½mv² folgt v = √(2eU/m) = √(2 · 1,6·10⁻¹⁹ · 100 / 9,1·10⁻³¹) ≈ 5,9·10⁶ m/s. Schon 100 V bringen ein Elektron auf fast 6000 km/s.

Zahleneingabe #4 50s ▶ Testen

Ein Elektron befindet sich in einem homogenen Feld der Stärke E = 9,1 kV/m. Berechne den Betrag seiner Beschleunigung a = eE/m. (e = 1,6·10⁻¹⁹ C, m_e = 9,1·10⁻³¹ kg, Antwort in 10¹⁵ m/s²)

✓ Antwort: 1.6

a = eE/m = 1,6·10⁻¹⁹ · 9100 / 9,1·10⁻³¹ = 1,6·10¹⁵ m/s². Wegen der winzigen Elektronenmasse sind die Beschleunigungen gigantisch — die Gewichtskraft ist daneben völlig vernachlässigbar.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein Elektron fliegt gegen die beschleunigende Feldrichtung an und wird dabei abgebremst. Welches mechanische Analogon passt zu dieser Bewegung?

● Der senkrechte Wurf nach oben
○ Der freie Fall
○ Der waagrechte Wurf
○ Die gleichförmige Kreisbewegung

Wird die Ladung abgebremst (a < 0), entspricht das dem senkrechten Wurf nach oben. Die Beschleunigung parallel zum Feld entspricht dagegen dem freien Fall mit Anfangsgeschwindigkeit.

Wahr / Falsch #6 25s ▶ Testen

Vergrößert man bei gleicher Beschleunigungsspannung U den Abstand zwischen Kathode und Anode, so kommen die Elektronen mit geringerer Geschwindigkeit an der Anode an.

✓ Falsch

Falsch! Die gewonnene Energie hängt nur von der durchlaufenen Spannung ab: W = qU. Bei größerem Abstand ist das Feld schwächer, wirkt aber über eine längere Strecke — die Endgeschwindigkeit bleibt gleich.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Die Beschleunigungsspannung einer Elektronenkanone wird vervierfacht. Wie ändert sich die Endgeschwindigkeit der Elektronen?

● Sie verdoppelt sich
○ Sie vervierfacht sich
○ Sie verachtfacht sich
○ Sie bleibt gleich

Wegen v = √(2eU/m) gilt v ∝ √U. Die vierfache Spannung liefert also nur die doppelte Geschwindigkeit — die Energie wächst linear, die Geschwindigkeit nur mit der Wurzel.