Wellenlängenmessung mit Doppelspalt und Gitter

Wavelength Measurement with Double Slit and Grating

Physik Klasse 12 14 Aufgaben

InterferenzWellenKerncurriculum

Interferenz wird quantitativ: Aus dem Gangunterschied Δs = b·sin α folgen die Bedingungen b·sin α = k·λ für Maxima und Δs = (2k−1)·λ/2 für Minima. Die Kleinwinkelnäherung sin α ≈ tan α gilt erst nach expliziter Prüfung (α unter etwa 10°) — nie automatisch nähern. Am Gitter werden die Maxima schärfer und heller als am Doppelspalt; über die Gitterkonstante lässt sich die Wellenlänge von Laser und LEDs bestimmen und der sichtbare Bereich 380–750 nm verorten. Das kontinuierliche Spektrum der Halogenlampe steht dabei dem Linienspektrum der Hg-Lampe gegenüber — mit Fraunhofer, dem Erfinder des optischen Gitters, als historischem Anker. Trägt Spektroskopie und den Einstieg in die Quantenphysik.

Können & Üben

Schwingkreis-und-Wellen-Werkstatt — vom LC-Kreis zum Licht

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90 min · once

physiksaal

Vier Stationen nach dem Prinzip Vermuten – Beobachten – Erklären in Kleingruppen, Rotation nach etwa 20 Minuten. Roter Faden: Dieselbe Schwingung, die im LC-Kreis pendelt, läuft am Ende als Welle durch den Raum — und wird zweimal vermessen, bei 3 cm und bei 650 nm. Station 1 — LC-Entladung am Interface. Vermuten: Der geladene Kondensator wird statt über einen Widerstand über eine Spule entladen — was zeigt die Spannungskurve? Beobachten: Statt des exponentiellen Abfalls entsteht eine gedämpfte Schwingung; U und I sind um eine Viertelperiode versetzt. Mit halber Kapazität steigt die Frequenz um den Faktor Wurzel 2, der Eisenkern in der Spule senkt sie — Thomson-Check gegen T = 2π·Wurzel(L·C). Erklären: Feldenergie des Kondensators und des Spulenfelds pendeln hin und her, wie Feder und Masse. Modellgrenze: Der Spulenwiderstand dämpft — die Thomson-Gleichung gilt streng nur für den ungedämpften Kreis. Sicherheitshinweis: Kondensatoren vor jedem Umbau entladen. Station 2 — Resonanz und Rückkopplung. Vermuten: Der Funktionsgenerator regt den Kreis induktiv an — bei welcher Frequenz wird die Amplitude maximal? Beobachten: Beim Durchfahren der Erregerfrequenz wächst die Amplitude scharf um f0 herum an; die Resonanzkurve wird punktweise aufgenommen. Dann übernimmt der Meißner-Baustein: Die Schwingung hält sich selbst ungedämpft, weil die Rückkopplung im richtigen Takt Energie nachschiebt. Erklären: Resonanz heißt Anregung mit der Eigenfrequenz; die Rückkopplung ersetzt den äußeren Erreger durch Selbststeuerung. Modellgrenze: Auch die Meißner-Schaltung erzeugt keine Energie — sie dosiert nur die Nachlieferung aus der Quelle. Vorbereitung oder Nachbereitung: der Radio-Empfänger-Artikel in der App — dort wählt genau diese Resonanz aus allen Sendern einen aus. Station 3 — Dipol und Mikrowellenstrecke. Vermuten: Kommt hinter einem Drahtgitter, dessen Stäbe parallel zum Empfangsdipol stehen, noch Signal an? Und wo liegen vor einer Metallwand die stillen Stellen? Beobachten: Sender und Empfänger nur bei paralleler Ausrichtung gekoppelt (lineare Polarisation); das gedrehte Gitter sperrt bzw. öffnet den Weg. Vor der Metallplatte findet der wandernde Empfangsdipol Knoten im Abstand von etwa 1,6 cm — stehende Welle, λ = 3,2 cm; das Sandprisma knickt den Strahl (Brechung). Erklären: Der schwingende Dipol strahlt eine Transversalwelle ab, die sich wie Licht reflektieren, brechen und polarisieren lässt; aus dem Knotenabstand folgt λ = 2 · 1,6 cm. Modellgrenze: Das Empfangssignal misst Intensität, nicht Feldstärke — Knoten heißt "kein Empfang", nicht "kein Feld dahinter". Sicherheitshinweis: Nicht in die Hornantenne blicken. Station 4 — Laser und Gitter. Vermuten: Das Gitter mit der kleineren Gitterkonstante — rücken seine Leuchtpunkte enger oder weiter auseinander? Beobachten: Hinter dem Gitter erscheint eine Reihe scharfer Maxima; mit Maßband und Schirm-Maßstab werden Abstände gemessen und über b·sin(α) = k·λ die Laserwellenlänge bestimmt, dann eine unbekannte Lichtquelle vermessen. Erklären: Gleiche Interferenzlogik wie bei den Mikrowellen in Station 3 — nur ist λ hier um den Faktor 50 000 kleiner, darum braucht es Gitter statt Metallplatten. Sicherheitshinweis: Laser nie in Augen oder auf reflektierende Flächen richten, Strahl unter Augenhöhe führen. Abschluss in der Runde: Eine Kette bilden — LC-Kreis, offener Kreis als Dipol, abgestrahlte Welle, Licht. An welcher Stelle der Kette wurde welche Größe (f, λ, c) gemessen, und passt c = λ·f?

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4–16

Ein Laserstrahl fällt auf zwei haarfeine Spalte, dahinter ein Schirm. Wäre Licht ein Strom von Kügelchen, müssten dort zwei helle Striche erscheinen. Stattdessen: ein ganzes Streifenmuster, hell, dunkel, hell, dunkel, weit über die Spaltschatten hinaus. Licht interferiert — und wo Interferenz ist, lässt sich eine Wellenlänge messen. Dazu brauchen wir die Geometrie hinter dem Muster:

Der Schirm ist weit weg, die Strahlen von $S_{1}$ und $S_{2}$ zu einem fernen Punkt $P$ laufen darum praktisch parallel unter dem Winkel $ϑ$ . Der untere Strahl hat einen längeren Weg — um die rote Strecke, den Gangunterschied. Im rechtwinkligen Dreieck an $S_{2}$ liest man ab:

$Δ s = b sin ϑ$

Verstärkung gibt es, wenn beide Wellen im Gleichtakt ankommen — $Δ s$ ein ganzes Vielfaches der Wellenlänge —, Auslöschung auf halbem Weg dazwischen:

$Maximum: b sin ϑ_{k} = k λ Minimum: b sin ϑ_{k} = (2 k - 1) \frac{λ}{2}$

$k$ heißt die Ordnung des Maximums. Auf dem Schirm (Abstand $a$ ) misst man nicht $ϑ$ , sondern den Abstand $s_{k}$ des Maximums von der Mitte — und der gehorcht $tan ϑ_{k} = s_{k} / a$ . Für kleine Winkel sind Sinus und Tangens fast gleich ( $sin ϑ \approx tan ϑ$ für $ϑ ≲ 1 0^{\circ}$ ), und dann — nur dann — wird die Auswertung bequem:

$λ = \frac{b s _{k}}{k a}$

Die Kleinwinkelnäherung ist ein Werkzeug mit Gebrauchsanweisung: stets prüfen, nie automatisch nähern. Gleich kannst du im Applet zusehen, wie sie gültig wird und wieder zerbricht.

Vom Doppelspalt zum Gitter

Die Doppelspalt-Maxima sind leider breit und lichtschwach — schwer auszumessen. Joseph von Fraunhofer (1787–1826), Glasmacher in Benediktbeuern und auf seinem Grabstein als „Approximavit sidera" — er brachte uns die Sterne näher — gerühmt, fand den Ausweg: Mit einem Diamanten ritzte er hunderte feinste, parallele Linien in Glas — das erste optische Gitter. Bei 570 Strichen pro Millimeter beträgt die Gitterkonstante $b = \frac{1}{570} mm = 1, 75 µ m$ . Die Maximumsbedingung bleibt dieselbe — Gangunterschied benachbarter Strahlen gleich $k λ$ —, aber jetzt müssen hunderte Teilwellen exakt in Phase sein. Schon winzig daneben, und irgendein Partner löscht aus: Die Maxima werden messerscharf, hell und liegen weit auseinander — ideal zum Messen.

Verstelle die Wellenlänge λ und die Gitterkonstante b. Vergleiche die Anzeigen sin ϑ₁ und tan ϑ₁ — solange sie übereinstimmen, ist die Kleinwinkelnäherung erlaubt. Beobachte auch, wann höhere Ordnungen verschwinden.

Drei Experimente lohnen sich. Erstens: Schiebe $b$ auf 4 µm — die Winkel werden klein, $sin ϑ_{1}$ und $tan ϑ_{1}$ stimmen auf drei Stellen überein, die Näherung ist erlaubt. Zweitens: Enges Gitter, $b = 1, 2 µ m$ , rotes Licht — jetzt klaffen Sinus und Tangens auseinander, wer hier $λ = b s_{k} / (k a)$ benutzt, misst falsch. Drittens: Beobachte bei wachsendem $λ$ , wie erst $k = 3$ , dann $k = 2$ verschwindet — $sin ϑ$ kann nicht größer als 1 werden, also existieren nur Ordnungen mit $k λ \leq b$ .

Damit ist das Gitter ein Messinstrument: Winkel des ersten Maximums messen, $λ = b sin ϑ_{1}$ rechnen — im Schülerexperiment bestimmt man so die Wellenlänge des Schullasers und einzelner LEDs. Und es ist mehr als das. Ersetzt man den Laser durch eine Halogenlampe, zerlegt das Gitter das weiße Licht in ein kontinuierliches Spektrum: Rot wird stärker abgelenkt als Blau, hat also die größere Wellenlänge. Eine Quecksilberdampflampe liefert stattdessen ein Linienspektrum aus wenigen scharfen Farben — jedes Element hat seinen eigenen Fingerabdruck (Kirchhoff und Bunsen), und genau darauf baut die Spektralanalyse. Sichtbar ist für uns dabei nur das Fenster von etwa $380 nm$ (Violett) bis $750 nm$ (Rot) — Fraunhofers dunkle Linien im Sonnenspektrum, mit seinem eigenen Gitter entdeckt, öffnen von hier den Weg in die Quantenphysik.

Materialien (1)

Physische Manipulativa, die dieses Konzept konkret verankern — optional, gebrückt zum Symbol.

Laser-Gitter-Set prop

Voraussetzungen (2)

Interferenz und Beugung

Klasse 11

›

Elektromagnetische Wellen

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Spektroskopie und das elektromagnetische Spektrum

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Was bezeichnet der Gangunterschied Δs beim Doppelspalt?

● Die Differenz der Weglängen, die beide Teilwellen bis zum Beobachtungspunkt zurücklegen
○ Den Abstand der beiden Spalte voneinander
○ Die Entfernung zwischen Doppelspalt und Schirm
○ Die Breite eines einzelnen Spalts

Beide Spalte senden gleichphasige Elementarwellen aus. Ob sie sich am Schirm verstärken oder auslöschen, entscheidet allein ihr Wegunterschied Δs.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Unter welcher Bedingung entsteht am Doppelspalt ein Maximum k-ter Ordnung?

● b·sin α = k·λ
○ b·sin α = (2k − 1)·λ/2
○ b·tan α = k·λ ohne jede Voraussetzung
○ sin α = k·b/λ

Konstruktive Interferenz verlangt einen Gangunterschied von ganzen Wellenlängen. Mit Δs = b·sin α ergibt sich die Maximumsbedingung b·sin α = k·λ.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Dasselbe Laserlicht fällt einmal auf einen Doppelspalt, einmal auf ein Gitter mit gleichem Spaltabstand. Wie unterscheidet sich das Maximum 1. Ordnung?

● Am gleichen Ort, beim Gitter schmaler und heller
○ Am gleichen Ort, beim Gitter breiter und blasser
○ Beim Gitter weiter außen, gleich breit

Der Ort eines Maximums hängt nur vom Spaltabstand und der Wellenlänge ab (b·sin α = k·λ), nicht von der Zahl der Spalte. Beim Gitter überlagern sich aber Wellen aus sehr vielen Spalten: Die Maxima werden viel heller und zugleich schmaler. Deshalb lassen sich Winkel und Wellenlängen mit dem Gitter genauer messen als mit dem Doppelspalt.

Lückentext #4 15s ▶ Testen

Das aus scharfen, einfarbigen Linien bestehende Spektrum einer Hg-Lampe nennt man ___.

✓ Antwort: Linienspektrum

Jedes Element sendet sein charakteristisches Linienspektrum aus. Darauf beruht die Spektralanalyse — schon geringste Stoffmengen sind so nachweisbar.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Der Wellenlängenbereich von sichtbarem Licht in Luft reicht von etwa 380 nm bis 750 nm.

✓ Wahr

Richtig! Violett liegt am kurzwelligen Ende bei etwa 380 nm, Rot am langwelligen bei etwa 750 nm. Jenseits davon schließen sich UV- und IR-Strahlung an.

Mittel

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Unter welcher Bedingung löschen sich die beiden Teilwellen am Doppelspalt aus (Minimum)?

● Δs = (2k − 1)·λ/2
○ Δs = k·λ
○ Δs = 2k·λ
○ Δs = 0

Bei einem Gangunterschied von ungeradzahligen halben Wellenlängen treffen Wellenberg und Wellental aufeinander. Die Auslenkungen addieren sich zu null — destruktive Interferenz.

Zahleneingabe #2 50s ▶ Testen

Ein Gitter mit der Gitterkonstante b = 2,0 µm zeigt das Maximum 1. Ordnung unter einem Winkel mit sin α = 0,32. Berechne die Wellenlänge des Lichts. (Antwort in Nanometern)

✓ Antwort: 640

λ = b·sin α / k = 2,0·10⁻⁶ m · 0,32 / 1 = 6,4·10⁻⁷ m = 640 nm. Das ist rotes Licht — etwa das einer roten LED im Schülerexperiment.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Ein optisches Gitter trägt 500 Spalte pro Millimeter. Berechne die Gitterkonstante b. (Antwort in Mikrometern)

✓ Antwort: 2

b = 1 mm / 500 = 0,002 mm = 2 µm. Die Gitterkonstante ist der Abstand benachbarter Spaltmitten.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Wann darf die Kleinwinkelnäherung sin α ≈ tan α verwendet werden?

● Nur nach expliziter Prüfung, dass der Winkel klein ist (unter etwa 10°)
○ Immer, wenn ein Laser als Lichtquelle dient
○ Immer beim optischen Gitter
○ Nur bei Mikrowellen, nie bei Licht

Für kleine Winkel stimmen Sinus und Tangens nahezu überein — für große nicht. Man muss stets prüfen, ob die Näherung zulässig ist, bevor man sie benutzt.

Wahr / Falsch #5 25s ▶ Testen

Beim optischen Gitter darf man die Kleinwinkelnäherung immer anwenden, weil die Maxima dort besonders hell sind.

✓ Falsch

Falsch! Die Helligkeit hat mit der Näherung nichts zu tun. Gerade beim Gitter treten oft große Beugungswinkel auf, bei denen sin α ≈ tan α nicht mehr gilt — die Gültigkeit ist jedes Mal zu prüfen.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Weißes Licht fällt auf ein Gitter. Welche Farbe wird im Spektrum 1. Ordnung stärker abgelenkt?

● Rot, denn es hat die größere Wellenlänge
○ Blau, denn es hat die größere Frequenz
○ Beide gleich stark
○ Grün, denn es liegt in der Mitte des Spektrums

Aus b·sin α = k·λ folgt, dass ein größeres λ einen größeren Beugungswinkel bedeutet. Rot (bis 750 nm) wird deshalb stärker abgelenkt als Blau — anders als beim Prisma.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Worin unterscheidet sich das Gitterspektrum einer Halogenlampe von dem einer Quecksilberdampflampe?

● Halogenlampe kontinuierliches Spektrum, Hg-Lampe scharfe einfarbige Spektrallinien
○ Beide zeigen dasselbe kontinuierliche Spektrum
○ Halogenlampe einzelne Linien, Hg-Lampe kontinuierliches Band
○ Die Hg-Lampe erzeugt gar kein Spektrum

Der glühende Draht sendet alle Wellenlängen aus — ein kontinuierliches Spektrum. Das leuchtende Quecksilberdampf-Gas sendet nur diskrete Linien, seinen charakteristischen Fingerabdruck.

Schwer

Zahleneingabe #1 60s ▶ Testen

Beim Doppelspaltversuch mit einem Laser (Spaltabstand b = 0,2 mm, Schirmabstand a = 2,0 m) liegen benachbarte Maxima d = 6,0 mm auseinander. Berechne mit der Kleinwinkelnäherung λ = d·b/a. (Antwort in Nanometern)

✓ Antwort: 600

λ = 6,0·10⁻³ m · 2,0·10⁻⁴ m / 2,0 m = 6,0·10⁻⁷ m = 600 nm. Bei so kleinen Winkeln sind die Abstände benachbarter Maxima annähernd konstant.

Zahleneingabe #2 55s ▶ Testen

Berechne die Frequenz von rotem Licht mit λ = 750 nm. (c = 3,0·10⁸ m/s, Antwort in 10¹⁴ Hz)

✓ Antwort: 4

f = c/λ = 3,0·10⁸ / 7,5·10⁻⁷ Hz = 4,0·10¹⁴ Hz. Rotes Licht markiert das langwellige, niederfrequente Ende des sichtbaren Bereichs.

Können & Üben

Schwingkreis-und-Wellen-Werkstatt — vom LC-Kreis zum Licht

Vom Doppelspalt zum Gitter

🧮 Materialien (1)

Voraussetzungen (2)

Ermöglicht (1)

Materialien (1)