Ähnlichkeit und Strahlensatz

Gleiche Form, andere Größe

Ein Kopierer vergrößert ein Foto auf 150 %. Das Bild wird größer, bleibt aber dasselbe Bild: Nichts wird verzerrt. Zwei Figuren, die so auseinander hervorgehen, heißen ähnlich. Sie stimmen in allen Winkeln überein, und alle Längen stehen im gleichen Verhältnis.

Beides gehört zusammen. Ein Rechteck mit 2 cm × 4 cm und eines mit 2 cm × 8 cm haben nur rechte Winkel, sehen aber verschieden aus: Ihre Seitenverhältnisse 1 : 2 und 1 : 4 sind nicht gleich. Die beiden Rechtecke sind nicht ähnlich.

Der Ähnlichkeitsfaktor

Wie stark vergrößert wurde, sagt der Ähnlichkeitsfaktor k. Man erhält ihn als Quotient zweier zugehöriger Strecken:

$$k=\frac{\text{Bildla¨nge}}{\text{Originalla¨nge}}$$

Ist eine Seite 3 cm lang und ihr Bild 4,5 cm, so ist $k=4,5:3=1,5$. Jede Bildstrecke ist dann 1,5-mal so lang wie ihre Originalstrecke. Man vergrößert durch Multiplizieren, nicht durch Addieren: Zu den Seiten 2 cm, 3 cm und 4 cm einfach 2 cm hinzuzugeben ergibt 4, 5 und 6 – kein ähnliches Dreieck. Mit k = 2 werden es 4, 6 und 8.

Dreiecke prüfen

Bei Dreiecken genügt eine von zwei Prüfungen. Winkel: Stimmen zwei Winkel überein, ist wegen der Winkelsumme von 180° auch der dritte gleich, und die Dreiecke sind ähnlich. Seiten: Sind alle drei Seitenverhältnisse gleich, sind die Dreiecke ebenfalls ähnlich. Dabei vergleicht man die kürzeste mit der kürzesten und die längste mit der längsten Seite.

Beispiel: Die Dreiecke mit 3, 4, 5 und 6, 8, 10 haben die Verhältnisse 6 : 3 = 8 : 4 = 10 : 5 = 2 und sind ähnlich. Bei 3, 4, 5 und 5, 6, 7 ergeben 5 : 3, 6 : 4 und 7 : 5 drei verschiedene Werte – nicht ähnlich.

Der Bildpunkt

Die zentrische Streckung erzeugt die Bildfigur. Man wählt ein Zentrum Z und einen Streckfaktor k mit k > 0. Der Bildpunkt P′ von P liegt auf dem Strahl von Z durch P, und es gilt:

$$Z{P}^{\prime }=k\cdot ZP$$

Ist ZP = 2 cm und k = 3, so ist ZP′ = 6 cm. Bei k > 1 wird vergrößert, bei 0 < k < 1 verkleinert, und bei k = 1 bleibt jeder Punkt, wo er ist. Das Zentrum selbst wird nicht bewegt: Es ist sein eigener Bildpunkt.

Das Bild einer Figur

Streckt man alle Ecken eines Dreiecks von Z aus mit demselben k, entsteht das Bilddreieck. Jede Bildstrecke ist k-mal so lang wie ihre Originalstrecke und verläuft parallel zu ihr. Alle Winkel bleiben gleich. Original und Bild sind also ähnlich, mit dem Ähnlichkeitsfaktor k.

Bei k = 1,5 wird aus AB = 4 cm die Bildstrecke A′B′ = 6 cm. Wo das Zentrum liegt, ändert nur die Lage des Bildes, nicht seine Form: Z kann außerhalb der Figur liegen, auf einer Ecke oder mittendrin.

Die Strahlensatzfigur

Zwei Strahlen mit dem gemeinsamen Anfang Z werden von zwei Parallelen geschnitten. Die erste Parallele trifft die Strahlen in A und B, die zweite in C und D. Das ist eine zentrische Streckung von Z aus: Sie bildet A auf C und B auf D ab, mit demselben Faktor k. Also ist $ZC=k\cdot ZA$ und $ZD=k\cdot ZB$. Teilt man, verschwindet k.

Erster Strahlensatz: Auf beiden Strahlen stehen die Abschnitte ab Z im gleichen Verhältnis.

$$\frac{ZA}{ZC}=\frac{ZB}{ZD}$$

Nur bei Parallelen

Der Satz gilt nur, wenn $AB\parallel CD$ ist. Nur dann gibt es eine Streckung, die A auf C und B auf D abbildet. Kippt man die zweite Gerade, rutscht D auf seinem Strahl, und die beiden Verhältnisse fallen auseinander.

Beispiel: Bei ZA = 2 cm, ZC = 5 cm und ZB = 2,4 cm gehört zu einer Parallelen ZD = 6 cm. Ist dagegen ZD = 7 cm, so bleibt ZA : ZC = 0,4, aber ZB : ZD ≈ 0,34. Die Gerade CD ist dann nicht mehr parallel zu AB.

Teilverhältnis und Gleichung

Wegen $ZC=ZA+AC$ gilt auch das Teilverhältnis $ZA:AC=ZB:BD$: Teil zu Teil. Ganzes und Teil darf man nicht mischen; $ZA:AC=ZB:ZD$ ist falsch.

Beispiel: ZA = 4 cm, ZC = 10 cm, ZB = 6 cm, gesucht ist ZD = x. Ansatz: $\frac{4}{10}=\frac{6}{x}$. Die Unbekannte steht im Nenner: Mit 10x multipliziert ergibt sich 4x = 60, also x = 15 cm. Probe mit Teilstrecken: AC = 6 cm, BD = 9 cm, und 4 : 6 = 6 : 9.

Die Parallelstrecken

Bisher blieben wir auf den Strahlen. Der zweite Strahlensatz nimmt die Parallelstrecken hinzu: Die Streckung mit dem Faktor k macht auch AB zu CD, also $CD=k\cdot AB$. Deshalb gilt:

$$\frac{AB}{CD}=\frac{ZA}{ZC}$$

Zweiter Strahlensatz: Die Parallelstrecken verhalten sich wie die zugehörigen Strahlabschnitte ab Z. Der Zwischenabschnitt AC gehört nicht dazu, denn er ist nur ein Teil von ZC: $AB:CD=ZA:AC$ ist falsch.

Beispiel: ZA = 3 cm, ZC = 7,5 cm, AB = 4 cm. Dann ist $4:CD=3:7,5$, also CD = 4 · 7,5 : 3 = 10 cm.

X-Figur und Ansatz

Liegen die Parallelen auf verschiedenen Seiten von Z, entsteht eine X-Figur. Beide Sätze gelten unverändert; Z liegt jetzt zwischen A und C sowie zwischen B und D. Beispiel: ZA = 3 cm, ZC = 5 cm, AB = 4,2 cm ergibt $CD=4,2\cdot 5:3=7\text{cm}$.

Welcher Satz? Kommen nur Strecken auf den Strahlen vor, nimmt man den ersten. Ist eine Parallelstrecke dabei, nimmt man den zweiten. Und man setzt nie Strecken aus zwei verschiedenen Ansätzen durcheinander.

Der Schatten des Baumes

Zurück zum Baum. Die Sonnenstrahlen sind parallel, und Stab und Baum stehen beide senkrecht, sind also parallel zueinander. Skizze zuerst: Das Ende des Schattens ist das Zentrum Z; die Strahlen sind der Boden und der Sonnenstrahl; Stab und Baum sind die Parallelstrecken. Der Stab (1,80 m) steht 2,40 m von Z entfernt, der Baum 12 m.

Zweiter Strahlensatz: $1,8:h=2,4:12$, also $h=1,8\cdot 12:2,4=9\text{m}$. Der Baum ist 9 m hoch.

Die Breite des Flusses

Man steht bei Z am Ufer. Gegenüber steht ein Baum T. Der Punkt A liegt am eigenen Ufer genau gegenüber dem Baum, 20 m von Z entfernt. Auf der anderen Seite von Z steckt man C ab, 5 m von Z. Von C geht man im rechten Winkel zum Ufer landeinwärts, bis Z genau vor dem Baum steht: Das ist der Punkt D mit CD = 3 m.

Das ist eine X-Figur mit $AT\parallel CD$. Zweiter Strahlensatz: $w:3=20:5$, also $w=3\cdot 20:5=12\text{m}$. Der Fluss ist 12 m breit. Im Ansatz steht ZA = 20 m, nicht AC = 25 m.

Peilen mit dem Stift

Ein Wanderer hält einen 15 cm langen Stift im ausgestreckten Arm, 60 cm vor dem Auge Z, sodass er den Kirchturm gerade verdeckt. Der Turm ist 90 m entfernt. Die Sehstrahlen sind die Strahlen, Stift und Turm die Parallelstrecken. Vorsicht bei den Einheiten: 90 m sind 9000 cm.

Ansatz: $15:h=60:9000$. Die Unbekannte steht im Nenner: $h=15\cdot 9000:60=2250\text{cm}=22,5\text{m}$. Das ist für einen Kirchturm plausibel; 2,25 m oder 225 m wären es nicht.

Flächen wachsen mit k²

Ein Quadrat mit der Kantenlänge 1 cm hat die Fläche 1 cm². Verdreifacht man die Kante (k = 3), passen 3 · 3 = 9 solcher Quadrate hinein: Die Fläche wird nicht 3-mal, sondern 9-mal so groß.

Wird eine Figur maßstäblich mit dem Faktor k vergrößert, gilt: Länge mal k, Fläche mal k². Der Umfang ist eine Länge und wächst nur mit k: Aus 4 cm werden 12 cm.

Volumen wächst mit k³

Beim Würfel kommt eine dritte Richtung hinzu. Mit k = 3 wird aus dem Würfel mit 1 cm Kante einer mit 3 cm Kante, und in ihn passen 3 · 3 · 3 = 27 Einheitswürfel: Das Volumen wird 27-mal so groß, die Oberfläche 9-mal.

Für jede maßstäbliche Vergrößerung gilt also: Volumen mal k³. Ein Turm, der in jeder Richtung doppelt so groß ist, besteht aus 8-mal so viel Material und ist bei gleichem Stoff 8-mal so schwer, nicht doppelt so schwer.

Zurückrechnen und anwenden

Oft ist der Faktor gesucht. Ist die Fläche 16-mal so groß, gilt $k^2=16$, also k = 4. Ist das Volumen 27-mal so groß, gilt $k^3=27$, also k = 3. Dazu zieht man die Quadrat- beziehungsweise dritte Wurzel; die 16 oder die 27 selbst sind nicht der Faktor.

Beispiel: Ein Modell ist im Maßstab 1 : 50 gebaut, die Fassade des Originals hat 200 m². Mit k = 1/50 hat die Fassade des Modells $200:50^2=200:2500=0,08{\text{m}}^2$, das sind 800 cm².