Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

Ein Parameter, viele Graphen

Eine Funktionenschar ist eine Familie von Funktionen mit einem Parameter t: Für jeden Wert von t erhält man eine eigene Funktion. Wir untersuchen $f_t(x)=x(x-t{)}^2$. Für t = 2 ist das $x(x-2{)}^2$, für t = 3 ist es $x(x-3{)}^2$. Jeder Graph hat bei x = 0 eine Nullstelle und bei x = t eine doppelte. Beim Ableiten nach x ist t eine feste Zahl, keine Variable: Aus $f_t(x)=x^3-2t{x}^2+t^{2}x$ wird $f_t^{\prime }(x)=3x^2-4tx+t^2$. Der Summand $t^{2}x$ liefert $t^2$, nicht $2tx$.

Gemeinsame Punkte

Manchmal laufen alle Graphen einer Schar durch denselben Punkt. Bei $g_t(x)=tx(x-2)+3$ steht t nur vor dem Produkt $x(x-2)$. Wählt man x so, dass dieses Produkt null ist, fällt t weg: Für x = 0 und x = 2 ist $g_t(x)=3$, wie auch immer t gewählt wird. Alle Graphen gehen also durch (0 | 3) und (2 | 3). So findet man gemeinsame Punkte: erst das x suchen, bei dem der Term mit t verschwindet, dann den y-Wert ausrechnen. Ein Punkt, der nur für ein bestimmtes t auf dem Graphen liegt, ist kein gemeinsamer Punkt.

Extremstellen hängen von t ab

Zurück zu $f_t$. Aus $f_t^{\prime }(x)=(3x-t)(x-t)=0$ folgen die Stellen x = t/3 und x = t. Der Parameter bleibt im Ergebnis stehen, denn die Extremstellen wandern mit t. Die zweite Ableitung $f_t^{\prime \prime }(x)=6x-4t$ entscheidet über die Art: Bei x = t/3 ist sie −2t, bei x = t ist sie 2t. Für t > 0 liegt bei t/3 ein Hochpunkt $H\left(\frac{t}{3}\mid \frac{4t^3}{27}\right)$ und bei t ein Tiefpunkt $T(t\mid 0)$. Für t < 0 tauschen die beiden ihre Rollen, denn dann ist −2t positiv. Eine Antwort ohne Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen von t ist unvollständig.

Bedingungen in Gleichungen übersetzen

Ein Funktionsterm enthält oft einen unbekannten Parameter, etwa $f_a(x)=a{x}^2$. Bedingungen an den Graphen legen ihn fest, und jede Bedingung wird zu einer Gleichung. Geht der Graph durch P(2 | 3), so gilt $f(2)=3$: Der x-Wert wird eingesetzt, der y-Wert steht rechts. Hier folgt $4a=3$, also $a=\frac{3}{4}$. Bedingungen an das Verhalten des Graphen gehören zur Ableitung: Ein Extrempunkt oder eine waagrechte Tangente bei $x_0$ heißt $f^{\prime }(x_0)=0$, die Steigung m bei $x_0$ heißt $f^{\prime }(x_0)=m$, eine Wendestelle bei $x_0$ heißt $f^{\prime \prime }(x_0)=0$. Der Funktionswert kommt nur vor, wenn auch ein Punkt genannt ist.

Flächeninhalt als Bedingung

Auch ein Integral kann eine Bedingung sein. Soll die Fläche zwischen dem Graphen von $f_a(x)=a{x}^2$ (a > 0) und der x-Achse über [0 ; 3] genau 18 FE betragen, so lautet die Gleichung $${\int }_0^{3}a{x}^{2}dx=18$$ Eine Stammfunktion ist $\frac{a}{3}{x}^3$, der Parameter bleibt beim Integrieren ein Faktor. Also ist ${\int }_0^{3}a{x}^{2}dx=9a$, und aus $9a=18$ folgt $a=2$. Liegt ein Teil des Graphen unter der Achse, unterscheiden sich Integral und Flächeninhalt; dann muss man an den Nullstellen zerlegen.

Gleichungssystem und Probe

Zwei Parameter brauchen zwei Bedingungen. Der Graph von $f(x)=a{x}^3+bx$ soll den Hochpunkt H(1 | 2) haben. Der Punkt liefert $f(1)=2$, also $a+b=2$; das Extremum liefert $f^{\prime }(1)=0$, also $3a+b=0$. Die Differenz der Gleichungen ergibt $2a=-2$, damit $a=-1$ und $b=3$: $f(x)=-x^3+3x$. Die Probe gehört dazu: $f^{\prime \prime }(x)=-6x$ und $f^{\prime \prime }(1)=-6<0$, es ist tatsächlich ein Hochpunkt. Die Bedingung $f^{\prime }(1)=0$ allein sagt nur, dass die Tangente waagrecht ist. Bei $f(x)=x^3$ ist $f^{\prime }(0)=0$, und doch liegt dort kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt: der Graph steigt vor und nach der Stelle.

Zielgröße und Zielfunktion

Aus einem quadratischen Blech mit 6 dm Seitenlänge werden in den Ecken Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten; die Ränder werden zu einem offenen Kasten hochgebogen. Gesucht ist der Kasten mit dem größten Volumen. Die Zielgröße ist das Volumen V: die Größe, die extrem werden soll. Sie hängt von mehreren Längen ab, $V=\text{La¨nge}\cdot \text{Breite}\cdot \text{Ho¨he}$. Die Nebenbedingung verbindet sie mit x: Der Boden ist ein Quadrat mit der Seite $6-2x$, die Höhe ist x. Setzt man ein, bleibt eine einzige Variable, die Zielfunktion $V(x)=x(6-2x{)}^2$. Erst dann lässt sich ableiten.

Definitionsbereich und Ränder

Die Zielfunktion $V(x)=4x^3-24x^2+36x$ gilt nur für sinnvolle x: Die Ecken müssen Platz haben, also 0 &lt; x &lt; 3. Das ist der Definitionsbereich aus dem Sachkontext. Ableiten gibt $V^{\prime }(x)=12x^2-48x+36=12(x-1)(x-3)$. Nur x = 1 liegt im Bereich. Wegen $V^{\prime \prime }(1)=-24$ ist dort ein Hochpunkt mit $V(1)=16$ dm³. Ein globales Maximum bestätigt man über die Ränder: $V(0)=V(3)=0$, beide kleiner als 16. Schränkt ein Anschlag den Bereich auf x ≤ 0,6 ein, steigt V auf dem ganzen Bereich; das Maximum liegt am Rand mit $V(0,6)=13,824$ dm³, obwohl dort $V^{\prime }(0,6)\ne 0$ ist. Die Randwerte gehören immer in den Vergleich.

Definitionsmenge und Nullstellen

Bei verknüpften Funktionen prüft man zuerst, wo der Term überhaupt definiert ist. Für $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ braucht der Logarithmus ein positives Argument, der Nenner verlangt x ≠ 0: Die Definitionsmenge ist x > 0. Bei $\ln (x-2)$ wäre es x > 2, denn das Argument muss positiv sein, nicht x selbst. Nullstellen: Ein Bruch ist null, wenn der Zähler null ist, also $\ln x=0$ und damit x = 1. Bei einem Produkt genügt ein verschwindender Faktor. Eine e-Funktion ist nie null: $e^{-x}(x-3)=0$ hat nur die Lösung x = 3, und $e^{-x}=0$ hat keine.

Verhalten für x → ∞

Weit rechts entscheidet der schnellere Faktor. Die e-Funktion gewinnt: $e^{-x}$ geht schneller gegen null, als x wächst, also ist $x{e}^{-x}\to 0$. Der Logarithmus verliert gegen jede Potenz: $\frac{\ln x}{x}\to 0$. Bei $f(x)=e^{-x}\sin x$ pendelt sin x zwischen −1 und 1, der Faktor $e^{-x}$ presst die Ausschläge zusammen. Es gilt $-e^{-x}\le f(x)\le e^{-x}$; die beiden Kurven $\pm e^{-x}$ heißen Einhüllende, und f(x) → 0.

Extremstellen

Beim Ableiten liefern Produkt- und Kettenregel meist einen Faktor mit der e-Funktion. Er ist immer positiv, das Vorzeichen von f′ entscheidet der andere Faktor. Für $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ ist $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$: Der Nenner ist positiv, also zählt $1-\ln x$. Nullstelle bei x = e, links positiv, rechts negativ: Hochpunkt $H\left(e\mid \frac{1}{e}\right)\approx (2,72\mid 0,37)$. Für $f(x)=e^{-x}\sin x$ gilt $f^{\prime }(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x)$. Aus $\cos x=\sin x$ folgt $\tan x=1$, also $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$: der erste Hochpunkt liegt bei $x=\frac{\pi }{4}\approx 0,79$ mit $f\approx 0,32$, der folgende Tiefpunkt bei $x=\frac{5\pi }{4}$, dem Betrag nach viel kleiner.

Rate und Bestand

Viele Sachprobleme haben dieselbe Struktur: Eine Rate sagt, wie schnell sich ein Bestand ändert. Die Leistung einer Solaranlage in kW ist eine Rate, die erzeugte Energie in kWh der Bestand. Zwischen 6 und 18 Uhr gilt $P(t)=0,075(t-6)(18-t)$. Das Integral über die Rate liefert die Änderung des Bestands: $${\int }_6^{18}P(t)dt=21,6$$ Die Anlage erzeugt 21,6 kWh. Die Einheit passt: kW · h = kWh. Ebenso gehören Geschwindigkeit und Strecke, Durchfluss und Volumen, Grenzkosten und Gesamtkosten zusammen; die Rate ist immer die Ableitung des Bestands.

Der Mittelwert

Der Mittelwert einer Funktion über [a ; b] ist das Integral geteilt durch die Länge des Intervalls: $$m=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$ Für die Solaranlage ist $m=21,6:12=1,8$ kW. Hätte die Anlage zwölf Stunden lang gleichmäßig 1,8 kW geliefert, wäre die Energie dieselbe: Der Mittelwert ist die Höhe eines Rechtecks mit gleichem Flächeninhalt. Er ist weder der Größtwert 2,7 kW noch das Mittel der Randwerte, denn $P(6)=P(18)=0$.

Wann ist der Bestand extremal?

Die Anlage lädt einen Speicher, im Haus werden 1,5 kW verbraucht. Die Änderungsrate des Speichers ist $r(t)=P(t)-1,5=-0,075(t-8)(t-16)$; um 6 Uhr sind 4 kWh gespeichert. Der Speicher wird zwischen 6 und 8 Uhr entladen (r &lt; 0), zwischen 8 und 16 Uhr geladen und danach wieder entladen. Der Bestand ist dort extremal, wo die Rate das Vorzeichen wechselt: bei t = 8 liegt $B(8)=4-1,4=2,6$ kWh, bei t = 16 gilt $B(16)=2,6+6,4=9$ kWh. Die Ränder gehören zum Vergleich: $B(6)=4$, $B(18)=7,6$. Der größte Speicherstand ist 9 kWh um 16 Uhr, nicht um 12 Uhr, wo die Rate am größten ist.

Modell aufstellen und anpassen

Ein Tee von 80 °C steht in einem Raum von 20 °C. Nach 5, 10, 20 und 30 Minuten misst man 56, 42, 28,5 und 23,5 °C. Modellieren heißt: Situation verstehen, einen Funktionstyp wählen, die Parameter aus Messwerten bestimmen, rechnen und das Ergebnis deuten. Der Tee nähert sich der Raumtemperatur, also passt $T(t)=20+60e^{-kt}$: 20 ist die Raumtemperatur, 60 die Anfangsdifferenz, k die Abkühlrate. Den Wert von k liefert ein Messwert: Aus $T(10)=42$ folgt $20+60e^{-10k}=42$, also $e^{-10k}=\frac{22}{60}$ und $k=\frac{1}{10}\ln \frac{60}{22}\approx 0,10$.

Deuten und prüfen

Mit $k=0,1$ ist $T^{\prime }(t)=-6e^{-0,1t}$ und $T^{\prime }(10)=-6e^{-1}\approx -2,2$. Gedeutet mit Einheit: Nach 10 Minuten sinkt die Temperatur momentan um etwa 2,2 °C pro Minute. Das Integral gibt Auskunft über die Gesamtwirkung: $\frac{1}{20}{\int }_0^{20}T(t)dt=20+30(1-e^{-2})\approx 45,9$, die mittlere Temperatur der ersten 20 Minuten. Danach wird das Modell geprüft: Der Definitionsbereich ist t ≥ 0. Für t → ∞ gilt T → 20, das passt. Die Werte stimmen mit den Messungen auf etwa 0,5 °C überein. Ein Modell $80e^{-0,1t}$ ohne den Summanden 20 würde gegen 0 °C fallen; das ist physikalisch unmöglich. Ein Modell ist ein Werkzeug und gilt nur in dem Bereich, in dem man es geprüft hat.