Die natürliche Exponentialfunktion

Steigung und Bestand

Wie steil ist der Graph von $f(x)=2^x$? Die Tangente ist flach, wo der Graph niedrig liegt, und steil, wo er hoch liegt. Im Differenzenquotienten steckt der Funktionswert selbst:

$$\frac{2^{x+h}-2^x}{h}=2^x\cdot \frac{2^h-1}{h}$$

Der Faktor $\frac{2^h-1}{h}$ hängt nicht von x ab; für $h=0,001$ ist er etwa 0,69. Die Steigung von 2ˣ ist also überall etwa 0,69 mal der Funktionswert: bei x = 0 (Höhe 1) rund 0,69, bei x = 4 (Höhe 16) rund 11,1. Bei 3ˣ ist der Faktor 1,10.

Die besondere Basis

Jede Basis a hat ihren eigenen Faktor: a = 2 gibt 0,69, a = 3 gibt 1,10. Dazwischen liegt eine Basis mit dem Faktor genau 1, bei ihr ist die Steigung überall gleich dem Funktionswert. Sie heißt Eulersche Zahl e mit $e=2,71828\dots$; die Nachkommastellen brechen nie ab. Im Punkt (0 | 1) hat der Graph von eˣ die Steigung 1, seine Tangente ist dort die Gerade $y=x+1$.

Die Ableitung von eˣ

Ist die Steigung überall so groß wie der Funktionswert, dann stimmt die Ableitung mit der Funktion überein:

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$

Bei x = 1 ist der Graph e ≈ 2,72 hoch, und die Tangente ist ebenfalls 2,72 steil. Ein Faktor bleibt beim Ableiten stehen, ein Summand fällt weg: $(5e^x+4x{)}^{\prime }=5e^x+4$. Vorsicht: Die Potenzregel $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ gilt für die Variable in der Basis. Bei eˣ steht x im Exponenten, deshalb ist die Ableitung nicht $x{e}^{x-1}$.

Werte und Verlauf

Einige Werte: $e^0=1$, $e^1\approx 2,72$, $e^2\approx 7,39$ und nach links $e^{-1}\approx 0,37$, $e^{-4}\approx 0,018$. Ein negativer Exponent macht den Wert klein, nicht negativ: $e^x>0$ für jedes x. Der Graph liegt ganz oberhalb der x-Achse, und $e^x=0$ hat keine Lösung, also gibt es keine Nullstelle. Wegen $f^{\prime }(x)=e^x>0$ steigt der Graph überall. Nach links wird er immer flacher und schmiegt sich an die x-Achse, die Asymptote $y=0$, ohne sie zu erreichen; nach rechts wächst er über alle Grenzen. Wer eˣ = 0 oder eˣ = −1 lösen will, sucht deshalb vergeblich.

Tangenten an den Graphen

Im Punkt P(0 | 1) hat die Tangente die Steigung $f^{\prime }(0)=e^0=1$, also die Gleichung $y=x+1$; der Graph liegt oberhalb von ihr. Allgemein hat die Tangente im Punkt $P(x_0\mid e^{x_0})$ die Steigung $e^{x_0}$:

$$y=e^{x_0}(x-x_0+1)$$

Setzt man y = 0, dann bleibt wegen $e^{x_0}\ne 0$ nur $x=x_0-1$: Die Tangente trifft die x-Achse immer genau eine Einheit links vom Fußpunkt von P. Der Grund: Höhe und Steigung sind bei eˣ gleich groß, also legt die Tangente auf dem Weg von P zur x-Achse waagerecht genau $e^{x_0}:e^{x_0}=1$ zurück. Für $x_0=4$ schneidet sie die x-Achse bei x = 3.

Nach oben und unten

Ein Summand d verschiebt den ganzen Graphen von eˣ um d nach oben, bei negativem d nach unten: $f(x)=e^x+d$. Mit dem Graphen wandert die Asymptote: Sie liegt jetzt bei $y=d$, nicht bei y = 0. Alle Funktionswerte sind größer als d, und der y-Achsenabschnitt ist $f(0)=1+d$. Bei $e^x+4$ ist die Asymptote y = 4 und f(0) = 5; der Graph schneidet die x-Achse dann nie.

Nach links und rechts

Steht x − c im Exponenten, $f(x)=e^{x-c}$, dann ist die Klammer erst bei x = c gleich null: Der Punkt (0 | 1) von eˣ liegt jetzt bei (c | 1). Der Graph wandert bei c > 0 nach rechts, denn das Vorzeichen in der Klammer wirkt entgegengesetzt, wie bei der Parabel. Wegen $e^{x-c}=e^{-c}\cdot e^x$ ist die Verschiebung nach rechts zugleich eine Streckung: Der Graph von e^(x−4) ist der von eˣ, auf das 0,018-Fache gestaucht. Die Asymptote bleibt $y=0$.

Strecken und Spiegeln

Ein Faktor a streckt in y-Richtung: $f(x)=a\cdot e^x$ hat den y-Achsenabschnitt a, die Asymptote y = 0 und für a < 0 einen Graphen unterhalb der x-Achse (Spiegelung an ihr). Steht $-x$ im Exponenten, wird an der y-Achse gespiegelt: $e^{-x}$ fällt, bleibt positiv und nähert sich für x → ∞ der x-Achse. Alles zusammen: $f(x)=a{e}^{x-c}+d$. Beispiel $3e^{x-2}+1$: um 2 nach rechts, mit 3 gestreckt, um 1 nach oben; der Punkt (0 | 1) landet bei (2 | 4), die Asymptote ist y = 1.

Umkehren mit ln

Gesucht ist das x, für das eˣ einen Wert c erreicht. Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrung:

$$e^x=c⟺x=\ln c(c>0)$$

Beispiel: $e^x=5$ hat die Lösung $x=\ln 5\approx 1,61$. Ohne ln müsste man raten (e¹ ≈ 2,7 ist zu klein, e² ≈ 7,4 zu groß); ln liefert die Zahl dazwischen direkt. Umgekehrt gilt $\ln (e^x)=x$, $\ln 1=0$ und $\ln e=1$. Vorsicht: ln zerlegt Produkte in Summen, aber keine Summen: $\ln (2+3)\ne \ln 2+\ln 3$.

Manchmal keine Lösung

Weil eˣ nur positive Werte annimmt, hat $e^x=c$ für $c\le 0$ keine Lösung, insbesondere nicht $e^x=0$. Für c > 0 gibt es genau eine Lösung, denn der steigende Graph schneidet die waagerechte Gerade y = c einmal. Schreibe deshalb nie ln(−2) oder ln 0 als Lösung hin. Beispiel: $e^x+5=2$ führt auf $e^x=-3$ und hat keine Lösung.

Auflösen und Nullprodukt

Steht mehr um die e-Potenz herum, wird sie zuerst allein gestellt, dann folgt ln:

• $e^{2x}=9\Rightarrow 2x=\ln 9\Rightarrow x=\frac{\ln 9}{2}=\ln 3\approx 1,10$
• $3e^x=12\Rightarrow e^x=4\Rightarrow x=\ln 4$
• $e^{x+2}=6\Rightarrow x+2=\ln 6\Rightarrow x=\ln 6-2\approx -0,21$

Eine Probe schützt vor Rechenfehlern: Mit x ≈ −0,21 ist $x+2\approx 1,79$ und $e^{1,79}$ ≈ 6. Bei Produkten gilt der Satz vom Nullprodukt. In $e^x(x+3)=0$ ist der Faktor eˣ nie null, also bleibt nur x + 3 = 0 und damit x = −3. Kommt eˣ auch quadriert vor, hilft die Ersetzung z = eˣ: Aus $e^{2x}-3e^x+2=0$ wird $z^2-3z+2=0$.

Von aˣ zu e^(kx)

Jede Basis $a>0$ lässt sich als Potenz von e schreiben: $a=e^{\ln a}$. Damit ist

$$a^x={\left(e^{\ln a}\right)}^x=e^{kx}\text{mit}k=\ln a$$

Zum Beispiel $10^x=e^{2,303x}$. Der Graph von $e^{kx}$ ist der von eˣ, in x-Richtung mit dem Faktor 1/k gestreckt (für k > 1 also gestaucht); im Punkt (0 | 1) hat er deshalb die Steigung k. Das ist der Faktor vom Anfang, Steigung durch Funktionswert: 0,69 für a = 2, 1,10 für a = 3, und für a = 10 wären es 2,30. Für $a<1$ ist ln a negativ und der Graph fällt (Abklingen); für a > 1 wächst er.

Halbwertszeit

Ein zerfallender Bestand halbiert sich in gleichen Zeitabständen T, der Halbwertszeit: $N(t)=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}$. In der e-Form $N(t)=N_0{e}^{kt}$ heißt das $e^{kT}=\frac{1}{2}$, also

$$k=-\frac{\ln 2}{T}$$

Bei T = 6 Tagen ist k ≈ −0,116. Nach 2T bleibt ein Viertel, nach 3T ein Achtel: Der Bestand wird nie null; nach 12 Tagen sind es noch 25 % der Startmenge. Für die Verdopplungszeit gilt entsprechend $k=\frac{\ln 2}{T}$.

Prozent pro Zeiteinheit

Wächst ein Bestand pro Jahr um p %, so ist der Faktor $a=1+\frac{p}{100}$ und $k=\ln a$. Bei 8 % ist $a=1,08$ und $k=\ln 1,08\approx 0,0770$, nicht 0,08. Umgekehrt wächst $e^{kt}$ pro Zeiteinheit um den Faktor $e^k$, also um $(e^k-1)\cdot 100\%$: Bei k = 0,10 sind das 10,52 %. Für kleine k liegen k und der Prozentsatz nah beieinander, gleich sind sie nie.

Das Wettrennen

Wer wächst schneller: eˣ oder eine Potenz xⁿ? Für n = 3 liegt eˣ ab x ≈ 4,5 dauerhaft vorn: $e^6\approx 403>6^3=216$. Bei x⁵ dauert es bis x ≈ 12,7 und bei x¹⁰ bis 35,8. Ein größerer Exponent verzögert das Überholen, verhindert es aber nicht: Zu jedem n gibt es ein x, ab dem eˣ dauerhaft über xⁿ liegt. Man sagt, eˣ wächst schneller als jede Potenz.

Der Quotient

Genauer sieht man es am Quotienten $\frac{x^n}{e^x}$. Für $\frac{x^3}{e^x}$ steigt er zunächst (Höchstwert 1,34 bei x = 3), dann gewinnt der Nenner und er fällt gegen 0: bei x = 15 ist er nur noch etwa 0,001. Die Werte machen den Grenzwert plausibel, ohne ihn zu beweisen:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^n}{e^x}=0$$

„∞ durch ∞“ ist kein Wert; entscheidend ist, wer schneller wächst. Ein fester Faktor ändert nichts: $\frac{7x^3}{e^x}\to 0$, ebenso $\frac{x^2+6x}{e^x}\to 0$. Der Kehrwert $\frac{e^x}{x^3}$ geht dagegen gegen ∞.

Nach links: x → −∞

Für x → −∞ wird eˣ selbst klein. Mit t = −x ist $x^n{e}^x=(-t{)}^n{e}^{-t}=\pm \frac{t^n}{e^t}$, und das geht für t → ∞ gegen 0:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0$$

Bei x = −8 hat $x{e}^x$ den Wert −0,0027. Der Graph von $x{e}^x$ liegt links unterhalb der x-Achse und nähert sich ihr von unten: Die x-Achse ist die waagerechte Asymptote. Entsprechend hat $f(x)=x^2{e}^x-1$ links die Asymptote y = −1.