Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Streifen und Untersumme

Für Rechtecke gibt es eine Formel, für die Fläche unter $f(x)=x^2$ über [0 ; 2] nicht. Also zerlegen wir die Fläche in Stücke, die eine haben: Das Intervall wird in n gleich breite Streifen geteilt, und über jedem Streifen steht ein Rechteck mit der Fläche Höhe mal Breite. Die Breite heißt wie im Kurs zur Sekante $\Delta x$; bei einem Intervall [a ; b] ist $\Delta x=\frac{b-a}{n}$, bei n = 4 Streifen auf [0 ; 2] also 0,5.

Nimmt man als Höhe den kleinsten Funktionswert des Streifens, bleibt das Rechteck unter der Kurve; die Summe heißt Untersumme $U_n$. Die Funktion steigt, die kleinsten Werte liegen also an den linken Rändern 0; 0,5; 1 und 1,5: $U_4=0,5\cdot (0+0,25+1+2,25)=1,75$. Die Breite gehört in jeden Summanden. Wer nur die Höhen addiert, erhält 3,5, doppelt so viel: Das wären Rechtecke der Breite 1, nicht 0,5.

Die Obersumme

Nimmt man in jedem Streifen den größten Funktionswert, ragen die Rechtecke über die Kurve hinaus: Obersumme $O_n$. Für $x^2$ auf [0 ; 2] liegen die größten Werte rechts: $O_4=0,5\cdot (0,25+1+2,25+4)=3,75$. Die Fläche liegt also zwischen 1,75 und 3,75. Vorsicht: „kleinster Wert“ heißt nicht immer „linker Rand“. Bei einer fallenden Funktion liegt der kleinste Wert rechts, und die Obersumme nimmt die linken Ränder.

Feiner zerlegen

Mit mehr Streifen rücken beide Summen zusammen. Schiebt man die Zusatzstücke zwischen Unter- und Obersumme in eine Spalte übereinander, füllen sie bei einer steigenden Funktion genau ein Rechteck der Breite Δx und der Höhe f(b) − f(a). Bei $x^2$ auf [0 ; 2] ist diese Höhe 4 − 0 = 4 und $\Delta x=\frac{2}{n}$, der Abstand also $O_n-U_n=\frac{8}{n}$: 2 bei n = 4, nur 0,2 bei n = 40. Für jede monotone Funktion gilt $O_n-U_n=\Delta x\cdot |f(b)-f(a)|$.

Der Abstand wird beliebig klein. Zwischen allen Untersummen und allen Obersummen bleibt deshalb genau eine Zahl eingeschlossen. Bisher lag die Parabel ganz über der x-Achse, und jede Höhe war positiv. Die Summen rechnen aber mit Funktionswerten, nicht mit Längen. Was zählen sie, wenn die Kurve unter die Achse taucht?

Rechtecke unter der Achse

Nimm statt der Parabel die Gerade $f(x)=x-2$ und bilde dieselben Summen auf [0 ; b]. Links von x = 2 ist f(x) negativ: Die Rechtecke hängen unter der Achse, und ihre Höhe ist eine negative Zahl.

Bei b = 2 und n = 4 hat die Untersumme die Höhen −⁠2; −⁠1,5; −⁠1 und −⁠0,5, also $U_4=0,5\cdot (-5)=-2,5$, und die Obersumme ist −⁠1,5. Bei n = 40 sind es −⁠2,05 und −⁠1,95. Ein Flächeninhalt kann aber nicht negativ sein: Das Dreieck zwischen Gerade und Achse hat die Grundseite 2 und die Höhe 2, also den Inhalt 2. Die Summen rechnen trotzdem richtig, sie zählen nur etwas anderes: Höhe mal Breite mit einer negativen Höhe ergibt einen negativen Beitrag.

Daraus wird eine Regel. Ein Stück oberhalb der Achse zählt positiv, ein Stück unterhalb zählt negativ. Die Summe mit diesen Vorzeichen heißt Flächenbilanz; man misst sie in Flächeneinheiten (FE). Bei b = 2 ist die Bilanz −⁠2 FE, der Flächeninhalt 2 FE.

Bilanz und Flächeninhalt

Schiebt man die Grenze b weiter nach rechts, kommt oberhalb der Achse Fläche dazu. Bei b = 6 liegt über [2 ; 6] ein Dreieck mit $\frac{4\cdot 4}{2}=8$ FE oberhalb, über [0 ; 2] das Dreieck mit 2 FE unterhalb. Die Bilanz ist $8-2=6$, der Flächeninhalt insgesamt dagegen $8+2=10$: Dafür teilt man an der Nullstelle 2 und addiert die Beträge der Stücke.

Bei b = 4 gleichen sich die beiden Dreiecke aus, jedes hat 2 FE: Die Bilanz ist 0, die Fläche insgesamt 4 FE. „Bilanz 0“ heißt also nicht „keine Fläche“.

Symmetrie als Argument

Ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung, etwa bei $f(x)=x^3-4x$, so gehört zu jedem Stück links ein gleich großes Stück rechts mit dem anderen Vorzeichen. Über [−a ; a] ist die Bilanz dann 0, ohne jede Rechnung. Bei einem achsensymmetrischen Graphen wie $x^2$ klappt das nicht: Beide Hälften liegen oberhalb der Achse und addieren sich.

Punktsymmetrie heißt $f(-x)=-f(x)$. Für $x^3-4x$ gilt $f(-1)=3=-f(1)$: Das Stück über [−⁠2 ; 0] liegt oberhalb, sein Spiegelbild über [0 ; 2] unterhalb, beide haben 4 FE. Bei a = 2 ist die Bilanz 0 und der Flächeninhalt insgesamt 8 FE.

Bei $x^2$ lagen alle Rechtecke über der Achse, bei $x-2$ hängen einige darunter. In beiden Fällen laufen Unter- und Obersumme mit wachsendem n auf eine Zahl zu, bei x − 2 auf [0 ; 2] auf −⁠2. Welche Zahl ist es bei $x^2$ auf [0 ; 2], und wie schreibt man sie auf?

Der Grenzwert der Summen

Im Kurs zur Sekante wurde der Abstand der beiden Punkte immer kleiner, bis aus der Sekantensteigung die Tangentensteigung wurde: bei $x^2$ an der Stelle 2 aus $4+h$ für h gegen 0 die Zahl 4. Dasselbe geschieht jetzt mit den Streifen. Für $x^2$ auf [0 ; 2] ist $\Delta x=\frac{2}{n}$, und der Abstand zwischen Untersumme und Obersumme, 8/n, geht mit wachsendem n gegen 0.

Bei n = 10 liegen die Summen bei 2,28 und 3,08, bei n = 100 bei 2,6268 und 2,7068. Beide laufen auf dieselbe Zahl zu, auf $\frac{8}{3}\approx 2,667$, und das ist weniger als die 4 aus der Einleitung. Diese Zahl heißt bestimmtes Integral von x² über [0 ; 2]:

$${\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{8}{3}$$

Gelesen: „Integral von 0 bis 2 über x² dx“. Die Zahlen 0 und 2 sind die Grenzen, x² ist der Integrand, und dx nennt die Variable. Sie ist nur ein Platzhalter: ${\int }_0^2{x}^{2}dx={\int }_0^2{t}^{2}dt$. Das Wort „bestimmt“ meint: Die Grenzen sind fest, das Ergebnis ist eine Zahl.

Liegt der Graph teilweise unter der Achse, gilt dieselbe Definition, nur enthalten die Summen negative Beiträge. Für x − 2 auf [0 ; 2] liefen sie bei der Flächenbilanz auf −⁠2 zu, also ist ${\int }_0^2(x-2)dx=-2$. Das Integral ist die Flächenbilanz, nicht der Flächeninhalt.

Integrale aus Flächen

Bei Geraden braucht man keine Summen: Das Integral ist der Inhalt von Rechteck, Dreieck oder Trapez, mit Vorzeichen, wie bei den Dreiecken von x − 2. Für $f(x)=2x$ ist ${\int }_0^{b}2xdx$ ein Dreieck mit der Grundseite b und der Höhe 2b.

Der Chip zeigt 1, 4 und 9: Das Dreieck hat den Inhalt $\frac{b\cdot 2b}{2}=b^2$. Ein Trapez liest man ebenso: ${\int }_1^3(x+1)dx$ hat die parallelen Seiten 2 und 4 und die Breite 2, also $\frac{2+4}{2}\cdot 2=6$.

Rechenregeln

Weil das Integral eine Bilanz ist, darf man zerlegen. Im Bild teilt der Punkt c das Intervall [0 ; 6] unter x − 2 in zwei Stücke, und die beiden Teile ergeben zusammen das Ganze: ${\int }_0^{6}f={\int }_0^{c}f+{\int }_c^{6}f$.

Bei c = 4 zerfällt die Bilanz 6 in 0 und 6, bei c = 2 in −⁠2 und 8. Allgemein gilt ${\int }_a^{c}f={\int }_a^{b}f+{\int }_b^{c}f$. Vertauscht man die Grenzen, wechselt das Vorzeichen: ${\int }_6^4(x-2)dx=-6$, allgemein ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$, und bei gleichen Grenzen ist ${\int }_a^{a}f=0$.

Faktoren und Summen zerlegen sich ebenfalls. Wird die Kurve k-mal so hoch, wird jedes Rechteck der Summen k-mal so hoch, und das Integral auch: $\int k\cdot f=k\int f$. Ebenso gilt $\int (f+g)=\int f+\int g$. So ist ${\int }_0^{2}3x^{2}dx=3\cdot \frac{8}{3}=8$.

Für Produkte gilt das nicht: ${\int }_0^{2}x\cdot xdx=\frac{8}{3}$, aber ${\int }_0^{2}xdx\cdot {\int }_0^{2}xdx=2\cdot 2=4$.

Die obere Grenze wandert

Bei der Flächenbilanz hast du die Grenze b von $x-2$ verschoben und die Bilanz am Chip abgelesen: −⁠2 bei b = 2, 0 bei b = 4, 6 bei b = 6. Jede dieser Bilanzen wird jetzt ein Punkt: über der Stelle x, in der Höhe der Bilanz von 0 bis x. Weil die wandernde Grenze x heißt, bekommt f eine andere Variable: $f(t)=t-2$.

Die Spur ist der Graph einer neuen Funktion. Sie ordnet jedem x die Bilanz zwischen der festen unteren Grenze a und x zu und heißt Integralfunktion:

$$I_a(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

Gelesen: „I a von x“. Im Bild ist a = 0, und die Werte stehen im Chip: $I_0(1)=-1,5$, $I_0(2)=-2$, $I_0(4)=0$ und $I_0(6)=6$. Achtung: $I_0(1)$ ist die Bilanz bis 1, nicht der Funktionswert $f(1)=-1$. An der unteren Grenze selbst gilt $I_a(a)=0$: Ohne Intervall gibt es keine Fläche.

Steigen und Fallen

Die Spur von eben fällt bis x = 2 und steigt danach. Links von 2 ist f negativ: Jeder Schritt nach rechts fügt negative Fläche hinzu, und die Integralfunktion fällt. Rechts von 2 kommt positive Fläche dazu, und sie steigt. Nicht der Anstieg von f entscheidet, sondern sein Vorzeichen: $f(t)=t-2$ steigt überall, und trotzdem fällt $I_0$ bis 2.

Bei $f(t)=(t-1)(t-3)$ wechselt das Vorzeichen zweimal. Ohne Vorzeichenwechsel gibt es kein Extremum: Bei $f(t)=t^2$ ist f(0) = 0, aber I steigt davor und danach.

$I_0$ steigt bis x = 1, fällt bis x = 3 und steigt danach wieder: Hochpunkt bei 1 mit $I_0(1)=\frac{4}{3}$, Tiefpunkt bei 3 mit $I_0(3)=0$, genau dort, wo f das Vorzeichen wechselt.

Die untere Grenze

Eine andere untere Grenze ergibt eine andere Integralfunktion, aber nur um eine Konstante verschoben. Das folgt aus der Zerlegungsregel für Integrale: $I_0(x)=I_0(a)+I_a(x)$, also $I_a(x)=I_0(x)-I_0(a)$. Der Graph behält seine Form und wandert nach oben oder unten, sodass er bei x = a durch null geht.

Beispiel mit der Spur von oben: Für $f(t)=t-2$ ist $I_0(x)=\frac{x^2}{2}-2x$ und $I_0(2)=-2$, also $I_2(x)=\frac{x^2}{2}-2x+2$. Beide Graphen sind Parabeln derselben Form, $I_2$ liegt um 2 höher, und $I_2(2)=0$.

Die Integralfunktion sammelt Fläche ein, und ihre Spur steigt mal steil, mal flach. Wie schnell wächst sie, wenn x um ein kleines Stück weiterrückt?

Ein schmaler Streifen

Im Kurs zur Ableitung hieß $f^{\prime }(x_0)$ die lokale Änderungsrate: wie schnell sich f genau an der Stelle x₀ ändert, bei $x^2$ an der Stelle 3 mit $f^{\prime }(3)=6$. Dieselbe Frage geht jetzt an die Integralfunktion: Wie schnell wächst die Bilanz, wenn die obere Grenze wandert?

Schiebt man x um h nach rechts, kommt ein Streifen der Breite h dazu; seine Fläche ist der Zuwachs $I(x+h)-I(x)$. Für kleines h ist der Streifen fast ein Rechteck mit der Höhe f(x). Bei $f(t)=t-2$ und x = 3 ist f(3) = 1: Das Rechteck hat die Fläche 1 · h, und der Streifen ist um ein Dreieck mit den Katheten h und h größer, also $h+\frac{h^2}{2}$.

Bei h = 0,1 ist der Streifen 0,105 groß, das Rechteck 0,1. Teilt man durch h, wird aus dem Zuwachs ein Differenzenquotient der Funktion I, wie im Kurs zur Sekante:

$$\begin{array}{rl}I(x+h)-I(x)& \approx f(x)\cdot h\\ \frac{I(x+h)-I(x)}{h}& \approx f(x)\end{array}$$

Bei h = 0,1 ist der Quotient 1,05, bei h = 0,01 schon 1,005. Der Rest $\frac{h^2}{2}$ wächst wie h², der Streifen wie h, und nach dem Teilen durch h bleibt vom Rest nur $\frac{h}{2}$. Bei einer gekrümmten Kurve ist der Rest kein Dreieck mehr. Er passt aber in ein Kästchen der Breite h und der Höhe |f(x + h) − f(x)|, und auch diese Höhe schrumpft mit h.

Der Hauptsatz

Für h gegen 0 wird aus dem Differenzenquotienten die Ableitung, so wie im Kurs zur Sekante aus 4 + h die Steigung 4 wurde. Der Quotient geht dabei gegen f(x). Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

$$I_a^{\prime }(x)=f(x)$$

Gelesen: „I a Strich von x ist gleich f von x“. Die Steigung von I an der Stelle x ist der Funktionswert f(x), nicht der Wert I(x). Im Bild liegt die Spur der Integralfunktion, jetzt mit ihrer Tangente: Bei x = 3 hat sie die Steigung 1 = f(3), und bei x = 2 ist sie waagerecht, denn f(2) = 0.

Das erklärt die Form der Integralfunktion mit der Regel aus dem Kurs zur Ableitung: Ist die Ableitung positiv, steigt der Graph; ist sie null, ist die Tangente waagerecht. Weil $I_0^{\prime }=f$ gilt, steigt I₀, wo f positiv ist, und hat ein Extremum, wo f das Vorzeichen wechselt.

Eine Funktion, deren Ableitung f ist, kennst du aus der Jahrgangsstufe 12 als Stammfunktion von f, etwa $F(x)=x^3$ zu $f(x)=3x^2$. Der Hauptsatz sagt: Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion. Zu f(t) = t − 2 gehört $I_0(x)=\frac{x^2}{2}-2x$, und tatsächlich ist $I_0^{\prime }(x)=x-2$. Ebenso hat $I(x)={\int }_1^x(t^3+1)dt$ die Ableitung $I^{\prime }(x)=x^3+1$, ohne dass man das Integral ausrechnet.

Stammfunktionen bilden

Die Regel aus der Jahrgangsstufe 12: Bei ganzrationalen Termen erhöht man jeden Exponenten um 1 und teilt durch den neuen Exponenten, $x^n\to \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Für $f(x)=3x^2$ ist $F(x)=x^3$, für $4x^3-6x$ ist es $x^4-3x^2$, für $x-2$ ist es $\frac{x^2}{2}-2x$. Man darf jede Konstante addieren, denn sie fällt beim Ableiten weg.

Zur Kontrolle leitet man ab, mit der Potenzregel aus dem Kurs zur Ableitung: Mit $F(x)=2x^3+x^2+5$ ist $F^{\prime }(x)=6x^2+2x$. Die Konstante 5 fällt weg, sie könnte also jeden Wert haben.

F(b) − F(a)

Nach dem Hauptsatz ist die Integralfunktion eine Stammfunktion, und zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante. Für jede Stammfunktion F gilt daher $I_a(x)=F(x)-F(a)$. Setzt man x = b ein, wird das Integral zur Differenz zweier Funktionswerte, F(b) minus F(a), kurz mit eckigen Klammern geschrieben:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=[F(x){]}_a^b$$

Die Konstante hebt sich auf. Der Grenzwert der Summen ist jetzt eine Zeile: ${\int }_0^2{x}^{2}dx=[\frac{x^3}{3}{]}_0^2=\frac{8}{3}$, zwischen den Schranken 1,75 und 3,75 der Streifensummen. Ebenso die Bilanz der Geraden: ${\int }_0^6(x-2)dx=[\frac{x^2}{2}-2x{]}_0^6=6$. Die obere Grenze steht zuerst; eine negative Grenze setzt man in Klammern ein.

Stammfunktion oder Integralfunktion?

Nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion. Die Integralfunktion $I_a$ ist die eine Stammfunktion, die bei x = a den Wert 0 hat: $I_a(x)=F(x)-F(a)$. Zu $f(x)=x-2$ gehören alle $F(x)=\frac{x^2}{2}-2x+C$; die Wahl C = 0 ist die Integralfunktion I₀, im Bild gestrichelt.

Nur bei C = 2 ist F(2) = 2 − 4 + 2 = 0: Diese Kurve ist I₂. Die Funktion $\frac{x^2}{2}-2x+3$ ist auch eine Stammfunktion, aber bei x = 2 hat sie den Wert 1 statt 0. Die Wahl von a legt also genau eine Stammfunktion fest; wechselt man a, wechselt man die Konstante C.

Rückblick

Die Fläche unter $x^2$ über [0 ; 2] aus der Einleitung ist jetzt auf drei Wegen dieselbe Zahl: eingeschlossen von 1,75 und 3,75 bei vier Streifen, als Grenzwert der Summen 8/3 ≈ 2,667 und in einer Zeile als Differenz einer Stammfunktion. Daneben lief die Gerade x − 2 mit: Ihre Rechtecke hingen unter der Achse, ihr Integral ist eine Bilanz, ihre Integralfunktion $\frac{x^2}{2}-2x$ hat bei der Nullstelle 2 von f ihren Tiefpunkt, und ihre Steigung ist überall f.

Vereinfacht wurde einiges: nur gleich breite Streifen, nur stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen, nur ganzrationale Stammfunktionen. Weitere Integrationsregeln, die Fläche zwischen zwei Graphen und unbeschränkte Intervalle folgen im nächsten Kurs. Dort kommt auch die Deutung, die der Hauptsatz nahelegt: War die Ableitung die lokale Änderungsrate einer Größe, so ist das Integral einer Änderungsrate die Gesamtänderung. Fließt Wasser mit f(t) Litern pro Minute zu, ist ${\int }_a^{b}f(t)dt$ die Wassermenge, die zwischen den Minuten a und b dazukommt.