Lineare Gleichungssysteme

Aus dem Text zum System

In der Tabelle stehen die beiden Rechnungen. Gesucht sind zwei Zahlen: der Preis x einer Erwachsenenkarte und der Preis y einer Kinderkarte, beide in Euro. Ein Buchstabe steht also für eine Zahl mit Einheit, nicht für „Erwachsene“ als Sache. Hilfreich ist, zuerst zu klären, was schon feststeht (hier die Anzahlen der Karten) und was gesucht ist (die Preise).

Jede Angabe wird eine Gleichung: Anzahl mal Preis, zusammengezählt, gleich der Rechnung. Zusammen bilden sie ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten:

$$\text{I}x+y=8\text{II}2x+y=13$$

Sagt der Text „ein Kind zahlt 2 € weniger“, schreibt man $y=x-2$ und testet mit Zahlen, ob die Richtung stimmt. Typische Fehler sind vertauschte Anzahlen (2x + 3y statt 3x + 2y) und eine Rechnung, die auf die falsche Seite rutscht.

Die Probe

Eine einzelne Gleichung hat viele Lösungen: $x+y=8$ passt zu $(4\mid 4)$, zu $(5\mid 3)$ und zu $(0\mid 8)$. Eine Lösung des Systems ist ein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. Ihre Menge schreibt man $L=\{(5\mid 3)\}$.

Die Probe setzt das Paar in jede Gleichung ein. Bei (4 | 4) stimmt I (4 + 4 = 8), II aber nicht (2 · 4 + 4 = 12 ≠ 13). Bei (5 | 3) stimmen beide: 5 + 3 = 8 und 2 · 5 + 3 = 13. Jede Gleichung für sich lässt unendlich viele Paare zu; erst beide zusammen legen das Paar fest. Die Probe fängt Fehler beim Aufstellen ebenso ab wie Fehler beim Rechnen.

Jede Gleichung ist eine Gerade

Alle Lösungspaare einer Gleichung mit x und y liegen auf einer Geraden. Um sie zu zeichnen, stellt man nach y um. Aus $2x+y=13$ wird $y=-2x+13$: Steigung −2, y-Achsenabschnitt 13. Beim Seitenwechsel ändert 2x sein Vorzeichen, es wird −2x, nicht +2x. Das Ziel ist immer die Form $y=m\cdot x+t$, aus der man Steigung und Achsenabschnitt direkt liest.

Bei $x+y=8$ ergibt sich $y=-x+8$. Zum Zeichnen genügen zwei Punkte, etwa $(0\mid 8)$ und $(8\mid 0)$, oder der y-Achsenabschnitt mit dem Steigungsdreieck. Ein dritter Punkt dient als Kontrolle: Liegt er auf der Geraden, stimmt die Zeichnung.

Der Schnittpunkt ist die Lösung

Jeder Punkt auf Gerade I erfüllt die erste Gleichung, jeder Punkt auf Gerade II die zweite. Ein Punkt auf beiden erfüllt beide: der Schnittpunkt. Bei $y=-x+8$ und $y=-2x+13$ liegt er bei $S(5\mid 3)$. Die Lösung ist das Paar mit beiden Koordinaten, x zuerst: Ein Erwachsener zahlt 5 €, ein Kind 3 €. Es reicht nicht, nur x = 5 zu nennen, denn ein Punkt hat zwei Koordinaten.

Die beiden Geraden fallen verschieden steil (Steigung −1 und −2), deshalb kreuzen sie sich genau einmal. Ablesen ist nur so genau wie das Gitter. Liegt der Schnittpunkt zwischen den Gitterlinien, hilft nur die Probe in beiden Gleichungen.

Auflösen und einsetzen

Zeichnen liefert oft nur Näherungen. Das Einsetzungsverfahren rechnet genau. Man löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, am besten dort, wo eine 1 vor dem Buchstaben steht: Aus $x+y=8$ wird $y=8-x$. Dann bleibt die Rechnung ohne Bruch; bei $3x+4y=18$ wäre jedes Auflösen umständlicher.

Diesen Term setzt man in Klammern für y in die andere Gleichung ein: $2x+(8-x)=13$. Jetzt steht nur noch x da: $x+8=13$, also $x=5$. Setzt man den Term dagegen in die Gleichung zurück, aus der er stammt, entsteht nur $8-x=8-x$ – wahr, aber ohne Information. Steht vor dem ersetzten Buchstaben ein Faktor, etwa die 2 in $3x+2y=12$, gehört die Klammer um den ganzen Term, sonst würde nur dessen erster Summand mit dem Faktor multipliziert.

Die zweite Unbekannte

Mit x = 5 ist erst die Hälfte geschafft. Man setzt das Ergebnis in die aufgelöste Gleichung ein: $y=8-5=3$. Die Lösung ist das Paar (5 | 3), nicht bloß x = 5: Bei zwei Unbekannten ist die Lösung immer ein Paar. Zur Probe prüft man beide ursprünglichen Gleichungen: 5 + 3 = 8 und 2 · 5 + 3 = 13.

Das Bild zeigt, warum das klappt: Der Punkt P wandert auf Gerade I, dort gilt immer $y=8-x$. Der Chip 2x + y verrät, ob P auch auf Gerade II liegt. Das trifft nur bei genau einem x zu. Die aufgelöste Gleichung ist zum Zurückrechnen meist bequemer als die andere.

Addieren und Subtrahieren

Das Additionsverfahren lässt eine Unbekannte verschwinden, indem man die Gleichungen zusammenzählt. Bei $3x+2y=21$ und $5x-2y=19$ stehen +2y und −2y da: Sie heben sich auf, es bleibt $8x=40$, also $x=5$. Dann rechnet man y durch Einsetzen zurück: y = 3. Das Zusammenzählen ist erlaubt, weil aus zwei wahren Gleichungen auch ihre Summe eine wahre Gleichung ist.

Stehen in beiden Gleichungen gleiche Terme, zieht man ab. Bei $2x+3y=19$ und $2x+y=13$ fällt x weg: $2y=6$, also y = 3. Beim Abziehen wechselt jeder Term der zweiten Gleichung das Vorzeichen, auch die Zahl rechts. Ein Vorzeichenfehler steckt meist im Abziehen, darum lohnt am Ende die Probe in beiden Gleichungen.

Erst passend machen

Fällt beim Addieren nichts weg, macht man die Koeffizienten passend. Ein Blick auf die Zahlen vor y (oder vor x) zeigt, was zu tun ist. Bei $3x+2y=21$ und $5x-4y=13$ multipliziert man Gleichung I ganz mit 2: $6x+4y=42$. Jetzt stehen +4y und −4y da; Addieren gibt $11x=55$, also x = 5, und I liefert y = 3.

Multipliziert wird jeder Term, auch die Zahl rechts; 6x + 4y = 21 wäre eine andere Gleichung. Im Bild multipliziert der Regler k die Gleichung I. Die Gerade I bleibt, nur die Koeffizienten ändern sich. Oft genügt es, eine Gleichung anzupassen; manchmal braucht man beide.

Was die Lösung erhält

Jeder Schritt der Verfahren ist eine Umformung, bei der die Lösung erhalten bleibt: eine Gleichung ganz mit einer Zahl ungleich null multiplizieren oder eine Gleichung zu einer anderen addieren, während die andere stehen bleibt. Jeder Schritt lässt sich umkehren: Wer $6x+4y=42$ durch 2 teilt, hat wieder $3x+2y=21$. Deshalb darf man Schritt für Schritt umformen und am Ende die Lösung ablesen: Es ist dieselbe wie am Anfang. Mit null darf man nicht multiplizieren: Aus 0 = 0 ließe sich nichts mehr über x und y ablesen.

Nicht erlaubt ist, nur eine Seite zu verändern. Im Bild liegt P(5 | 3) auf I: x + y = 8. Multipliziert man I ganz mit k, bleibt es dieselbe cyanfarbene Gerade. Multipliziert man nur die linke Seite, entsteht die rot gestrichelte Gerade, und P liegt nicht mehr darauf.

Das passende Verfahren

Alle Verfahren führen zur selben Lösung, aber nicht gleich schnell; die Wahl ist eine Frage des Aufwands, nicht der Richtigkeit. Ist eine Gleichung schon nach einer Unbekannten aufgelöst, etwa $y=3x-2$, setzt man ein; stehen zwei Gleichungen $y=\dots$ da, setzt man die rechten Seiten gleich. Bei gleichen oder gegengleichen Koeffizienten addiert oder subtrahiert man. Nur wenn nichts passt, multipliziert man zuerst. Das Zeichnen zeigt gut, wie viele Lösungen es gibt, ist für das genaue Ergebnis aber selten genau genug.

Am Ende steht die Antwort im Sachzusammenhang, mit Einheit und im ganzen Satz: „Eine Erwachsenenkarte kostet 5 €, eine Kinderkarte 3 €.“ Man prüft sie am Text. Ein negativer Preis oder 2,5 Personen zeigen einen Fehler im Ansatz.

Genau eine Lösung

Bisher hatten alle Systeme genau eine Lösung: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt. Das ist der Normalfall, sobald die Steigungen verschieden sind. Bei I: y = −x + 8 und II: y = m · x + 13 gibt es für jedes m ≠ −1 einen Schnittpunkt, und Gleichsetzen liefert eine eindeutige Zahl für x. Die Lösungsmenge ist dann ein einzelnes Paar, etwa $L=\{(5\mid 3)\}$. Man sieht es schon vor dem Rechnen: Verschiedene Steigungen genügen.

Keine Lösung

Haben beide Geraden dieselbe Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte, sind sie parallel und haben keinen Punkt gemeinsam. Bei $x+y=8$ und $x+y=6$ kann dieselbe Summe nicht zugleich 8 und 6 sein. Rechnet man trotzdem, etwa II − I, entsteht $0=-2$, eine falsche Aussage. Das ist kein Rechenfehler, sondern das Ergebnis: Es gibt keine Lösung, $L=\{\}$. Bei einer falschen Aussage ist die Rechnung zu Ende: Man schreibt die leere Menge auf und antwortet, dass das System nicht lösbar ist.

Unendlich viele Lösungen

Fallen die Geraden zusammen, liegen alle Punkte auf beiden. Bei $x+y=8$ und $2x+2y=16$ ist II einfach I mal 2. Rechnet man II − 2 · I, erhält man $0=0$, eine wahre Aussage. Sie bedeutet nicht x = 0, sondern: Jedes Paar auf der Geraden ist eine Lösung, etwa (3 | 5) oder (8 | 0). Man schreibt $L=\{(x\mid y)\mid y=-x+8\}$.

Zusammengefasst: verschiedene Steigungen – genau eine Lösung; gleiche Steigung, verschiedenes t – keine; dieselbe Gerade – unendlich viele. Die Anzahl der Lösungen hängt also nur von Steigung und y-Achsenabschnitt der beiden Geraden ab. Im Bild heißt II jetzt $k\cdot x+k\cdot y=16$.