Integrale berechnen und deuten

Von f zu I: Steigen und Fallen

Der Hauptsatz sagt: Die Integralfunktion $I(x)={\int }_{-3}^{x}f(t)dt$ hat die Ableitung $I^{\prime }(x)=f(x)$. Damit lässt sich ihr Graph aus dem Graphen der Integrandenfunktion f lesen, ohne zu rechnen. Wir nehmen $f(t)=\frac{1}{2}(t+1)(t-3)$. Die untere Grenze a legt nur den Startpunkt fest; allgemein schreibt man $I_a$, hier ist $a=-3$ und wir kürzen $I=I_{-3}$ ab. Es gilt $I(-3)=0$: Der Graph von I beginnt auf der x-Achse.

Wo f positiv ist, steigt I; wo f negativ ist, fällt I. Bei $t=-1$ wechselt f das Vorzeichen von + nach −: I hat einen Hochpunkt, $I(-1)=\frac{16}{3}$. Bei $t=3$ wechselt f von − nach +: I hat einen Tiefpunkt, $I(3)=0$. Dazwischen ist f negativ, also fällt I, auch wenn f ab $t=1$ wieder steigt. Nicht das Steigen von f zählt, sondern sein Vorzeichen.

Krümmung und der Weg zurück

Wo f am kleinsten ist, bei $t=1$ mit $f(1)=-2$, fällt I am steilsten: Die Steigung $-2$ ist ihr kleinster Wert. Dort wechselt I von einer Rechts- in eine Linkskurve, es ist ein Wendepunkt. Eine Extremstelle von f ist also eine Wendestelle von I.

Umgekehrt: Ist nur der Graph von I gegeben, ist f(x) die Steigung der Tangente an I bei x. Beim Hochpunkt und beim Tiefpunkt ist die Tangente waagerecht, also sind $-1$ und $3$ Nullstellen von f. Im Wendepunkt $\left(1\mid \frac{8}{3}\right)$ hat die Tangente die Steigung $f(1)=-2$.

Eine Skizze von I entsteht so in drei Schritten: Startpunkt festlegen, Steigen und Fallen aus dem Vorzeichen von f übernehmen, Wendepunkte bei den Extremstellen von f einzeichnen.

Innere Funktion ax + b

Liest man die Kettenregel rückwärts, entstehen Integrationsregeln; die erste heißt hier 1/a-Regel. Es gilt $(e^{2x}{)}^{\prime }=2e^{2x}$: Die innere Ableitung 2 erscheint als Faktor. Also ist $e^{2x}$ keine Stammfunktion von $e^{2x}$, sondern von $2e^{2x}$. Man gleicht den Faktor aus:

$$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$$

Dabei ist $F$ eine Stammfunktion von f. Beispiele: $\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$ und $\int (3x+1{)}^{2}dx=\frac{(3x+1{)}^3}{9}+C$ (einmal durch 3 wegen der inneren Ableitung, einmal durch 3 wegen des Exponenten).

Zähler ist die Ableitung des Nenners

Steht im Zähler die Ableitung des Nenners, gilt die ln-Regel: $\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C$, denn $(\ln |f|{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}$. Beispiel: $f(x)=x^2+1$ hat die Ableitung $2x$, also $\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\ln (x^2+1)+C$. Fehlt nur ein konstanter Faktor, gleicht man ihn aus: $\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C$. Bei $\frac{1}{x^2+1}$ geht das nicht: Der Zähler 1 ist kein Vielfaches von 2x. Die Betragsstriche brauchst du, wenn f negativ werden kann, etwa bei $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$.

Ableitung im Exponenten und die Probe

Steht im Exponenten eine Funktion f und davor ihre Ableitung, gilt die e-Regel: $\int f^{\prime }(x)e^{f(x)}dx=e^{f(x)}+C$. Beispiel: $f(x)=-x^2$ hat die Ableitung $-2x$, also $\int -2x{e}^{-x^2}dx=e^{-x^2}+C$. Fehlt der Faktor f′ ganz, ist das meist nicht möglich: Für $e^{x^2}$ gibt es keine Stammfunktion, die man als Term aus den bekannten Funktionen schreiben kann.

Welche Regel passt? Suche die Ableitung der inneren Funktion: als Zähler (ln-Regel), als Faktor vor $e^f$ (e-Regel); steht innen nur ax + b, gilt die 1/a-Regel. Die Probe: Leite die Stammfunktion ab, der Integrand muss herauskommen.

Obere minus untere Funktion

Zwei Graphen schließen eine Fläche ein. Ihr Inhalt ist das Integral der Höhe des Streifens zwischen dem oberen Graphen o und dem unteren u: $A={\int }_a^b(o(x)-u(x))dx$. Über der x-Achse ist das die Fläche unter dem oberen Graphen minus die Fläche unter dem unteren. Wir nehmen die Parabel $f(x)=x^2$ und die Gerade $g(x)=x+2$.

Die Grenzen sind die Schnittstellen, also die Lösungen von $f(x)=g(x)$: $x^2=x+2$ ergibt $x=-1$ und $x=2$. Welcher Graph oben liegt, zeigt ein Testwert zwischen den Schnittstellen: $g(0)=2>f(0)=0$, die Gerade liegt oben. Wer untere minus obere Funktion rechnet, erhält einen negativen Flächeninhalt, und der kann nicht stimmen. Also $$A={\int }_{-1}^2(x+2-x^2)dx={\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^2=4,5$$

Wenn sich die Graphen kreuzen

Die Graphen von $f(x)=x^3$ und $g(x)=x$ schneiden sich bei $-1$, $0$ und $1$ und schließen deshalb zwei Flächenstücke ein. Rechnet man ${\int }_{-1}^1(x^3-x)dx$, kommt 0 heraus: Die Stücke haben entgegengesetzte Vorzeichen, das Integral ist nur die Bilanz. Der Flächeninhalt ist nicht 0, denn zwei Stücke, die sich ausgleichen, sind trotzdem da.

Man zerlegt an der Schnittstelle und nimmt in jedem Teil obere minus untere Funktion: $$A={\int }_{-1}^0(x^3-x)dx+{\int }_0^1(x-x^3)dx=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$ Derselbe Gedanke gilt für die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse: Dort trennen die Nullstellen.

Bis b und weiter

Ein Streifen unter dem Graphen von $f(x)=e^{-x}$ kann nach rechts beliebig weit reichen. Wie groß ist die Fläche ab 0, wenn er unendlich lang ist? Man beginnt mit einem endlichen Ende b: ${\int }_0^b{e}^{-x}dx=1-e^{-b}$. Für b = 3 sind das 0,95, für b = 5 schon 0,993. Lässt man b wachsen, nähert sich die Fläche der Zahl 1.

Das uneigentliche Integral ist genau dieser Grenzwert: $${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx=\underset{b\to \infty }{\lim }{\int }_0^b{e}^{-x}dx=1$$ Das Zeichen ∞ wird nie wie eine Zahl in die Stammfunktion eingesetzt. Man rechnet mit b und bildet danach den Grenzwert.

Den Grenzwert bestimmen

Der Wert entsteht aus $F(b)-F(a)$ und dem Übergang $b\to \infty$. Beispiel $f(x)=\frac{1}{x^2}$ mit $F(x)=-\frac{1}{x}$: Es ist ${\int }_1^b\frac{1}{x^2}dx=1-\frac{1}{b}$, und $\frac{1}{b}\to 0$. Der Wert ist 1. Diese Grenzwerte sollte man kennen: $\frac{1}{b^n}\to 0$ für n > 0 und $e^{-b}\to 0$; dagegen wachsen $\ln b$ und $\sqrt{b}$ über alle Grenzen.

Strebt $F(b)$ gegen eine Zahl, heißt das Integral konvergent, wächst es über alle Grenzen, divergent. Für eine untere Grenze $-\infty$ geht man entsprechend vor.

Konvergent oder divergent

Sowohl $\frac{1}{x}$ als auch $\frac{1}{x^2}$ gehen für $x\to \infty$ gegen 0, und doch verhalten sich ihre Flächen verschieden. ${\int }_1^b\frac{1}{x^2}dx=1-\frac{1}{b}$ bleibt unter 1. Dagegen wächst ${\int }_1^b\frac{1}{x}dx=\ln b$ ohne Grenze, wenn auch langsam: Bei b = 30 sind es erst 3,4.

Ein unendlich langer Streifen kann also einen endlichen Inhalt haben. Dass der Graph sich der x-Achse nähert, reicht dafür nicht; er muss schnell genug fallen.

Änderung als Fläche

Ein Becken wird befüllt und wieder geleert; gemessen wird nur die Änderungsrate $r(t)$ in Litern pro Minute: positiv beim Befüllen, negativ beim Leeren. Die Wassermenge im Becken zur Zeit t heißt Bestand $B(t)$; r ist ihre Ableitung. Die Fläche zwischen dem Graphen von r und der t-Achse hat die Einheit l/min · min = l, ist also eine Wassermenge. Es ist die Gesamtänderung: $${\int }_a^{b}r(t)dt=B(b)-B(a)$$ Bei $r(t)=6-2t$ sind das von 0 bis 3 Minuten +9 Liter, von 3 bis 6 Minuten −9 Liter, zusammen 0. Das Integral sagt, um wie viel sich der Bestand geändert hat, nicht, wie groß der Bestand ist.

Den Bestand rekonstruieren

Wie viel Wasser ist zur Zeit t im Becken? Dazu braucht man den Anfangsbestand: $$B(t)=B(0)+{\int }_0^{t}r(s)ds$$ Sind anfangs 20 Liter im Becken, gilt $B(t)=20+6t-t^2$. Nach 3 Minuten sind es $B(3)=29$ Liter, nach 6 Minuten wieder 20. Die Steigung von B ist die Rate r: Bei t = 3 ist sie 0. Der Bestand ist dort am größten, wo r von + nach − wechselt, nicht dort, wo r am größten ist.

Weg und Verschiebung

Bei einer Bewegung mit der Geschwindigkeit $v(t)$ ist ${\int }_a^{b}v(t)dt$ die Verschiebung $s(b)-s(a)$: Rückwärtsfahren zählt negativ. Der zurückgelegte Weg ist ${\int }_a^b|v(t)|dt$: Man zerlegt an den Nullstellen von v und addiert die Beträge der Teile, wie bei der Fläche zwischen Graphen.

Beispiel: $v(t)=3t^2-12t+9$ in m/s auf $[0;4]$ hat die Nullstellen 1 und 3. Die Teilintegrale sind 4, −4 und 4. Die Verschiebung ist 4 m, der Weg 12 m.

Eine Scheibe dreht sich

Dreht man den Graphen von f über $[a;b]$ um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper. Schneidet man ihn in dünne Scheiben der Dicke $\Delta x$, ist jede Scheibe fast ein Zylinder: Der Radius ist der Funktionswert $f(x)$, die Grundfläche $\pi f(x{)}^2$. Also gilt $$\Delta V\approx \pi f(x{)}^2\Delta x$$ Wichtig ist das Quadrat: Verdoppelt sich der Radius, wird die Scheibe viermal so groß. Im Bild sind es Rechtecke unter $f(x)=\sqrt{x}$; jedes Rechteck ergibt beim Drehen eine solche Scheibe. Alle Scheiben zusammen füllen den Körper fast aus, und je dünner sie sind, desto genauer.

Volumen als Integral

Addiert man alle Scheiben und lässt ihre Dicke gegen 0 gehen, entsteht ein Integral: $$V=\pi {\int }_a^b(f(x){)}^{2}dx$$ Man quadriert f(x) zuerst und integriert danach. Für $f(x)=\sqrt{x}$ ist $f(x{)}^2=x$, also $V=\pi {\int }_0^{4}xdx=8\pi \approx 25,13$. Für $f(x)=x+1$ ist $f(x{)}^2=x^2+2x+1$, nicht $x^2+1$, und $V=\pi {\int }_0^1(x^2+2x+1)dx=\frac{7\pi }{3}\approx 7,33$. Das Volumen ist die Fläche unter dem Graphen von $\pi f(x{)}^2$.

Die Probe mit dem Kegel

Ob das Ergebnis stimmt, prüft man an Körpern mit bekanntem Volumen. Die Gerade $f(x)=x$ auf $[0;3]$ ergibt einen Kegel mit dem Radius 3 und der Höhe 3. Die Integralformel liefert $V=\pi {\int }_0^3{x}^{2}dx=9\pi$, und die Kegelformel $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 9\cdot 3=9\pi$. Bei konstantem $f(x)=r$ folgt $V=\pi r^{2}h$, der Zylinder. Stimmt das Ergebnis mit einer bekannten Formel überein, ist die Rechnung plausibel.