Kongruenz und besondere Dreiecke

Deckungsgleich

Zwei Figuren sind kongruent (deckungsgleich), wenn man die eine durch Verschieben und Drehen genau auf die andere legen kann. Mehr ist nicht erlaubt: Strecken, Stauchen und Vergrößern verändern die Figur. Im Bild liegt die Kopie zuerst daneben; du schiebst und drehst sie auf das Original. Ihre Seiten werden dabei weder länger noch kürzer. Beim Basteln schneidest du eine Schablone aus und legst sie auf die andere Figur: Passt sie genau, sind beide kongruent.

Spiegelbild und entsprechende Stücke

Auch ein Spiegelbild ist kongruent zum Original: Man klappt das Blatt einfach um. Beim Übereinanderlegen fallen Ecken, Seiten und Winkel aufeinander. Diese entsprechenden Stücke sind gleich lang bzw. gleich groß. Die Schreibweise $ABC\cong A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ legt die Paare durch die Reihenfolge der Buchstaben fest: A liegt auf A′, B auf B′, C auf C′. Also gilt $\overline{AB}=\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ und $\alpha ={\alpha }^{\prime }$. Die Lage im Bild entscheidet nicht. Beim Spiegeln ändert sich nur der Umlaufsinn der Ecken, keine Länge und kein Winkel.

Gleiche Form genügt nicht

Sieht ein Dreieck genauso aus, ist aber größer, dann ist es nicht kongruent. Im Bild ist DEF das mit dem Faktor k vergrößerte Dreieck ABC: Die Winkel bleiben, die Seiten wachsen. Nur bei $k=1$ sind beide gleich groß. Auch gleicher Flächeninhalt reicht nicht: Ein Rechteck mit 1 cm × 12 cm und eines mit 3 cm × 4 cm haben je 12 cm², lassen sich aber nie aufeinanderlegen. Kongruent heißt also: gleiche Form und gleiche Größe. Figuren mit gleicher Form und anderer Größe nennt man ähnlich; sie begegnen dir später wieder.

SSS: drei Seiten

Um zu wissen, ob zwei Dreiecke kongruent sind, muss man nicht alles vergleichen: Drei passende Stücke genügen. Stimmen zwei Dreiecke in allen drei Seiten überein, sind sie kongruent. Das ist der Kongruenzsatz SSS. Ein Kongruenzsatz nennt drei Stücke, aus denen alle übrigen folgen. Im Bild sind $b=4\text{cm}$ und $c=5\text{cm}$ fest, du stellst a ein: C liegt dort, wo sich die Kreise um A und B schneiden. Nicht jedes Zahlentripel ergibt ein Dreieck: Die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein als die längste (Dreiecksungleichung), sonst berühren oder verfehlen sich die Kreise.

SWS: zwei Seiten und der Winkel dazwischen

Kennt man zwei Seiten und den Winkel, den sie einschließen, ist das Dreieck festgelegt: SWS. Im Bild sind $a=4\text{cm}$ und $b=3\text{cm}$ fest, du stellst den Winkel γ zwischen ihnen ein. Zu jedem γ gibt es genau ein Dreieck; die Seite c und die Winkel α und β folgen daraus. Wichtig ist die Lage: Der Winkel muss zwischen den beiden Seiten liegen; ein Winkel an einer anderen Ecke sagt etwas anderes aus.

WSW und WWW

Kennt man eine Seite und die beiden Winkel an ihren Enden, ist das Dreieck festgelegt: WSW. Der dritte Winkel folgt aus der Winkelsumme 180°; deshalb genügt auch eine Seite mit zwei beliebigen Winkeln. Drei Winkel allein (WWW) reichen dagegen nicht: Sie legen nur die Form fest, nicht die Größe. Im Bild ändert c allein nur die Größe; alle Winkel bleiben, das Dreieck ist nicht mehr kongruent.

Zwei Dreiecke, dieselben Angaben

Zwei Seiten und ein Winkel reichen nicht immer. Gegeben sind $b=4\text{cm}$, $a=3\text{cm}$ und $\alpha =30°$. Anders als bei SWS liegt α nicht zwischen den Seiten, sondern der Seite a gegenüber. Zeichne α und trage b ab: C liegt fest. B liegt auf dem freien Schenkel von α, genau 3 cm von C entfernt. Der Kreis um C mit Radius a schneidet den Schenkel zweimal. Zu denselben Angaben passen zwei verschiedene Dreiecke, mit $c\approx 5,7\text{cm}$ und $c\approx 1,2\text{cm}$. Eine Skizze zeigt meist nur eines von ihnen; das andere liegt „innen“, B₂ ist dichter an A. Deshalb prüft man die Zahl der Lösungen, bevor man zeichnet.

Wann ist es eindeutig?

Die Zahl der Dreiecke hängt von a ab. Sei h der Abstand von C zum freien Schenkel, das Lot von C; hier ist $h=2\text{cm}$. Ist a kleiner als h, erreicht der Kreis den Schenkel nicht: kein Dreieck. Bei $a=h$ berührt er ihn: ein rechtwinkliges Dreieck. Zwischen h und b schneidet er zweimal: zwei Dreiecke. Ab $a\ge b$ liegt der zweite Schnittpunkt hinter A und gehört nicht zum Schenkel: nur ein Dreieck. Deshalb gilt der Kongruenzsatz SsW: Zwei Seiten und der Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt (großes S für die größere Seite). Nur die größere Seite gegenüber dem Winkel macht das Dreieck eindeutig.

Schenkel, Basis, Achse

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenklig. Die gleich langen Seiten sind die Schenkel, die dritte Seite ist die Basis, die gegenüberliegende Ecke die Spitze. Die beiden Winkel an der Basis heißen Basiswinkel. Das Dreieck ist achsensymmetrisch: Die Symmetrieachse geht durch die Spitze, halbiert die Basis und steht senkrecht auf ihr. Im Bild wandert die Spitze auf der Achse; die Schenkel bleiben gleich lang. Die Basis muss nicht unten liegen: Giebel, Wimpel und Verkehrsschilder zeigen es in jeder Lage.

Warum die Basiswinkel gleich sind

Die Basiswinkel sind stets gleich groß. Ein Kongruenzsatz begründet das: Zeichne die Winkelhalbierende von γ; sie trifft die Basis in M. Die Teildreiecke ACM und BCM stimmen in den Schenkeln $CA=CB$, im halbierten Winkel bei C und in der gemeinsamen Seite CM überein. Nach SWS sind sie kongruent, also sind entsprechende Winkel gleich: $\alpha =\beta$. Mit der Winkelsumme folgt $\gamma =180°-2\alpha$. Bei $\gamma =36°$ ist also $\alpha =(180°-36°):2=72°$.

Konstruieren

Für ein gleichschenkliges Dreieck genügen zwei Angaben, etwa die Basis und die Schenkellänge. Zeichne die Basis AB. Die Spitze ist von A und B gleich weit entfernt, liegt also auf der Mittelsenkrechten von AB. Zeichne um A und um B Kreise mit der Schenkellänge als Radius: Ihr Schnittpunkt ist C. Beschreibe deinen Gedankengang in Worten: erst die Basis, dann zwei Kreise, dann der Schnittpunkt. Kennst du statt der Schenkel einen Basiswinkel, trägst du ihn an beiden Enden der Basis ab (WSW). Kennst du den Spitzenwinkel, berechnest du die Basiswinkel mit $(180°-\gamma ):2$.

Drei gleiche Seiten

Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitig. Es hat auch zwei gleich lange Seiten, ist also zugleich gleichschenklig: Jedes gleichseitige Dreieck ist ein Sonderfall des gleichschenkligen. Der Basiswinkelsatz gilt dann für jede der drei Seiten als Basis: $\alpha =\beta$ und $\beta =\gamma$. Alle drei Winkel sind gleich, ihre Summe ist 180°, also misst jeder $60°$. Im Bild wächst die Seite, die Winkel bleiben bei 60°. Man muss die Winkel also nicht einzeln messen: Sie folgen aus der Form allein.

Konstruktion und Achsen

Zeichne die Strecke AB und um A und um B je einen Kreis mit dem Radius AB. Jeder Kreis geht durch den anderen Punkt; ihr Schnittpunkt C ist von A und B genau so weit entfernt wie A von B, also $AC=BC=AB$. Das Dreieck hat drei Symmetrieachsen, eine durch jede Ecke und die Mitte der gegenüberliegenden Seite. Jede Achse halbiert die Gegenseite, steht senkrecht auf ihr und halbiert den Winkel an der Ecke. Beschreibe die Konstruktion in Worten: A und B festlegen, zwei Kreise mit Radius AB, Schnittpunkt C, Dreieck ABC.

Wenn — dann

Viele Sätze haben die Form Wenn …, dann …. Der Teil nach „wenn“ ist die Voraussetzung, der Teil nach „dann“ die Behauptung. Der Basiswinkelsatz: Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist (CA = CB), dann sind die Basiswinkel gleich (α = β). Der Kehrsatz oder die Umkehrung vertauscht beide Teile: Wenn die Basiswinkel gleich sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig. Das ist etwas anderes als die Verneinung „wenn nicht …, dann nicht …“. Satz und Kehrsatz sind zwei verschiedene Aussagen; jede muss für sich geprüft werden.

Die Umkehrung kann falsch sein

Ein wahrer Satz hat nicht automatisch eine wahre Umkehrung. Wenn es regnet, ist die Straße nass stimmt; wenn die Straße nass ist, regnet es nicht (vielleicht kam die Straßenreinigung). Auch in der Geometrie: Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, hat es vier gleich lange Seiten. Wahr. Die Umkehrung — vier gleich lange Seiten, also Quadrat — ist falsch: Eine Raute mit $\phi \ne 90°$ hat vier gleiche Seiten und ist kein Quadrat. Ein solches Gegenbeispiel genügt, um eine Aussage zu widerlegen. Viele passende Beispiele beweisen sie dagegen nicht.

Wenn die Umkehrung gilt

Manchmal gilt die Umkehrung doch. Beim Basiswinkelsatz stimmt sie: Wenn zwei Winkel eines Dreiecks gleich groß sind, dann sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. Im Bild ist $\alpha =55°$ fest; nur bei $\beta =55°$ sind auch a und b gleich lang. Aber das muss man beweisen, etwa mit Kongruenz; es folgt nicht schon aus dem Satz. Bei jeder Umkehrung gilt also: Prüfe, ob sie wahr ist, und begründe es — oder finde ein Gegenbeispiel.