Ganzrationale Funktionen untersuchen

Streng monoton

Eine Funktion f ist in einem Intervall I streng monoton steigend, wenn für je zwei Stellen x_1 < x_2 aus I gilt: f(x_1) < f(x_2). Die rechte Stelle hat immer den größeren Funktionswert. Bei streng monoton fallend ist es umgekehrt: f(x_1) > f(x_2). Die Bedingung gilt für alle Paare, ein einziges Gegenbeispiel widerlegt sie. Beim Graphen von $f(x)=x^3-3x$ ist f(-2) = -2 < f(-1) = 2: Hier steigt er. Zwischen −1 und 1 fällt er dann wieder. Man stellt sich zwei Punkte P₁ und P₂ auf dem Graphen vor: Liegt P₂ rechts von P₁ und immer höher, egal wo man die beiden wählt, steigt der Graph auf dem ganzen Intervall.

Die Funktion $x\mapsto x^3$ ist auf ganz ℝ streng monoton steigend. Für 0 \le x_1 < x_2 wächst der Würfel mit; für x_1 < x_2 < 0 folgt aus 0 < -x_2 < -x_1 die Ungleichung -x_2^3 < -x_1^3, also x_1^3 < x_2^3; für x_1 < 0 \le x_2 gilt x_1^3 < 0 \le x_2^3.

Das Vorzeichen von f′

Paar für Paar prüft man das nicht, das übernimmt die Ableitung. Ist f'(x) > 0 für alle x eines Intervalls, steigen dort alle Tangenten, und f ist streng monoton steigend; bei f'(x) < 0 ist f streng monoton fallend. Es zählt das Vorzeichen von f′, nicht das von f: Ein Graph kann unterhalb der x-Achse steigen. So ersetzt ein einziges Ja oder Nein für das ganze Intervall die vielen einzelnen Vergleiche.

Bei $f(x)=x^3-3x$ ist $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Die Nullstellen −1 und 1 zerlegen die x-Achse; je Intervall genügt ein Kontrollwert: f'(-2) = 9 > 0, f'(0) = -3 < 0, f'(2) = 9 > 0.

Eine einzelne Stelle mit $f^{\prime }(x)=0$ stört die strenge Monotonie nicht: Bei $f(x)=x^3$ ist $f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$, nur bei 0 gleich null, und f steigt trotzdem überall streng.

Notwendig: f′(x₀) = 0

In einem Hoch- oder Tiefpunkt liegt die Tangente waagerecht. Ein Extrempunkt bei x₀ verlangt also $f^{\prime }(x_0)=0$; diese Bedingung ist notwendig. Kandidaten findet man deshalb aus $f^{\prime }(x)=0$, nicht aus $f(x)=0$: Für $f(x)=x^3-3x$ gilt $3x^2-3=0$, also x = −1 oder x = 1. Ein Plotter zeigt eine flache Stelle und einen Gipfel ähnlich; erst die Rechnung unterscheidet sie.

Ob dort wirklich ein Extrempunkt liegt, sagt die Bedingung nicht. Bei $f(x)=x^3$ ist $f^{\prime }(0)=0$, doch der Graph läuft durch den Ursprung hindurch: ein Sattelpunkt. Notwendig heißt: ohne sie geht es nicht, mit ihr allein noch nicht.

Hinreichend: Vorzeichenwechsel

Hinreichend ist ein Vorzeichenwechsel von f′ an einer Stelle x₀ mit $f^{\prime }(x_0)=0$. Wechselt f′ von + nach −, steigt der Graph davor und fällt danach: ein Hochpunkt. Von − nach + ist es ein Tiefpunkt. Ohne Wechsel gibt es keinen Extrempunkt. Man prüft das mit zwei Kontrollwerten, je einem links und rechts von x₀, wie bei den Monotonieintervallen.

Bei $f(x)=x^3-3x$ ist f′ links von −1 positiv, zwischen −1 und 1 negativ und rechts von 1 positiv: Hochpunkt bei −1, Tiefpunkt bei 1. Die y-Werte liefert f, nicht f′: $f(-1)=2$ und $f(1)=-2$, also $H(-1\mid 2)$ und $T(1\mid -2)$. Bei $x^3$ bleibt f′ auf beiden Seiten von 0 positiv: kein Wechsel, kein Extrempunkt.

Linkskurve und Rechtskurve

Ein Graph kann steigen und dabei immer steiler oder immer flacher werden. Das beschreibt seine Krümmung. Bei einer Linkskurve wächst die Steigung: Die Tangente dreht sich gegen den Uhrzeigersinn, der Graph liegt über seinen Tangenten. Bei einer Rechtskurve sinkt die Steigung: Die Tangente dreht sich im Uhrzeigersinn, der Graph liegt unter seinen Tangenten. Krümmung ist also Monotonie der Steigung: Bei einer Linkskurve steigt f′ streng monoton, bei einer Rechtskurve fällt f′.

Beim Graphen von $f(x)=x^3-3x$ ist $f^{\prime }(-2)=9$, $f^{\prime }(-1)=0$ und $f^{\prime }(0)=-3$: Die Steigung sinkt, für x < 0 ist der Graph eine Rechtskurve. Rechts von 0 wächst die Steigung wieder.

Die zweite Ableitung

Die Steigung f′ ist selbst eine Funktion; ihre Ableitung heißt zweite Ableitung f″. Das Vorzeichenkriterium für f′ gilt eine Ableitung höher: f''(x) &gt; 0 heißt, f′ steigt, also Linkskurve; f''(x) &lt; 0 heißt, f′ fällt, also Rechtskurve. Die zweite Ableitung ist keine Kurve, die man erraten muss: Sie entsteht durch nochmaliges Ableiten. Bei $f(x)=x^3-3x$ ist $f^{\prime \prime }(x)=6x$: negativ für x < 0, positiv für x > 0.

Damit lässt sich ein Extrempunkt prüfen: Aus $f^{\prime }(x_0)=0$ und f''(x_0) &gt; 0 folgt ein Tiefpunkt (Linkskurve über der waagerechten Tangente), aus f''(x_0) &lt; 0 ein Hochpunkt. Bei −1 ist $f^{\prime \prime }(-1)=-6$ (Hochpunkt), bei 1 ist $f^{\prime \prime }(1)=6$ (Tiefpunkt). Bei $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ sagt der Test nichts: $x^4$ hat $f^{\prime \prime }(0)=0$ und einen Tiefpunkt, $x^3$ hat $f^{\prime \prime }(0)=0$ und keinen Extrempunkt. Dann hilft nur der Vorzeichenwechsel von f′.

Wendepunkt und Wendestelle

An einer Wendestelle wechselt der Graph seine Krümmung: von Rechts- zu Linkskurve oder umgekehrt. Der zugehörige Punkt heißt Wendepunkt. Notwendig ist $f^{\prime \prime }(x_0)=0$; hinreichend ist zusätzlich ein Vorzeichenwechsel von f″ bei x₀, dieselbe Logik wie bei den Extremstellen. Für $f(x)=x^3-3x$ gilt $f^{\prime \prime }(x)=6x=0$ nur bei x = 0, und f″ wechselt von − nach +: Wendestelle. Den y-Wert liefert f: $f(0)=0$, also $W(0\mid 0)$.

Aus $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ allein folgt keine Wendestelle: Bei $f(x)=x^4$ ist $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$, also $f^{\prime \prime }(0)=0$, doch f″ bleibt auf beiden Seiten positiv. Der Graph bleibt eine Linkskurve; bei 0 liegt ein Tiefpunkt. Am Wendepunkt von x³ dagegen kreuzt die Tangente den Graphen.

Größte Änderungsrate

An einer Wendestelle ist die Steigung extremal: f′ hat dort ein Maximum oder Minimum, denn $f^{\prime \prime }=(f^{\prime }{)}^{\prime }$ wechselt das Vorzeichen. Im Sachzusammenhang liegt die Wendestelle also beim Zeitpunkt der stärksten Zu- oder Abnahme. Die Höhe einer Pflanze folge $h(t)=-t^3+9t^2$ (t in Wochen, h in cm, 0 ≤ t ≤ 6). Dann ist $h^{\prime }(t)=-3t^2+18t$ und $h^{\prime \prime }(t)=-6t+18=0$ bei t = 3, wobei h″ von + nach − wechselt.

Bei t = 3 wächst die Pflanze mit $h^{\prime }(3)=27$ cm pro Woche am schnellsten; ihre Höhe ist dann $h(3)=54$ cm, der Wendepunkt ist $(3\mid 54)$. Der höchste Punkt des Graphen liegt später, bei t = 6 mit $h^{\prime }(6)=0$.

Der Fahrplan

Eine Untersuchung stellt ihre Fragen in fester Reihenfolge, jede Antwort baut auf der vorigen auf: 1. Nullstellen und Randverhalten aus dem Term, 2. f′ und f″ bilden, 3. Extrempunkte aus $f^{\prime }(x)=0$ mit Vorzeichenwechsel, 4. den Wendepunkt aus $f^{\prime \prime }(x)=0$ mit Vorzeichenwechsel, 5. Skizze und Kontrolle. Den y-Wert liefert immer f. Die ersten Schritte brauchen noch keine Ableitung: Nullstellen und Randverhalten kennst du aus dem Term.

Wir untersuchen $f(x)=x^3-6x^2+9x$. Ausklammern gibt $x(x^2-6x+9)=x(x-3{)}^2$: Die Nullstelle 0 ist einfach, die Nullstelle 3 doppelt (Berührpunkt). Der Leitkoeffizient ist positiv, der Grad ungerade: Der Graph kommt von links unten und läuft nach rechts oben.

Extrem- und Wendepunkte

Es ist $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ und $f^{\prime \prime }(x)=6x-12$. Kandidaten sind x = 1 und x = 3. f′ wechselt bei 1 von + nach − (Hochpunkt) und bei 3 von − nach + (Tiefpunkt); der f″-Test bestätigt das: f''(1) = -6 &lt; 0, f''(3) = 6 &gt; 0. Die y-Werte kommen aus f: $H(1\mid 4)$ und $T(3\mid 0)$. Der Tiefpunkt liegt auf der x-Achse, passend zur doppelten Nullstelle 3.

Wendepunkt: $f^{\prime \prime }(x)=6x-12=0$ für x = 2, f″ wechselt von − nach +, und $f(2)=2$, also $W(2\mid 2)$. Da f′ den Grad 2 und f″ den Grad 1 hat, kann es höchstens 2 Extremstellen und 1 Wendestelle geben: Bei Grad n sind es höchstens n − 1 Extremstellen und n − 2 Wendestellen.

Skizze und Kontrolle

Mit $O(0\mid 0)$, H, W und T entsteht der Graph: von links unten steigend zum Hochpunkt, Rechtskurve bis zum Wendepunkt, dann Linkskurve zum Tiefpunkt auf der x-Achse und wieder steigend. Kontrolle: Der Wendepunkt einer Funktion 3. Grades liegt genau in der Mitte der beiden Extremstellen, hier $(1+3):2=2$. Bei positivem Leitkoeffizienten liegt der Hochpunkt links vom Tiefpunkt. Der Tiefpunkt (3 | 0) fällt mit der doppelten Nullstelle zusammen, wie es die Kontrolle verlangt. Ein Funktionenplotter bestätigt das Bild, die Begründung liefert die Rechnung. Weichen Skizze und Rechnung voneinander ab, sucht man zuerst den Rechenfehler: oft wurde ein y-Wert aus f′ statt aus f gelesen.

Die Tangente als Wegweiser

Für $x^3-x-1=0$ gibt es keine Lösungsformel, die man kennt. Das Newton-Verfahren nähert sich der Nullstelle mit Tangenten: Bei einem Startwert x₀ ersetzt man den Graphen durch die Tangente im Punkt $(x_0\mid f(x_0))$ und nimmt deren Nullstelle als besseren Wert x₁. Aus $f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)=0$ folgt

$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$$

Bei $f(x)=x^3-x-1$ und $x_0=1,5$ ist $f(1,5)=0,875$ und $f^{\prime }(1,5)=5,75$, also $x_1=1,5-\frac{0,875}{5,75}\approx 1,348$. Typische Fehler: das Vorzeichen und der Quotient (f durch f′, nicht f′ durch f). Die Tangente ist nahe x₀ die beste gerade Näherung des Graphen, und ihre Nullstelle lässt sich leicht berechnen.

Iterieren

Setzt man jeden neuen Wert wieder ein, iteriert man: $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$. Schon der dritte Schritt trifft die Nullstelle auf vier Nachkommastellen; ungefähr verdoppelt sich in jedem Schritt die Zahl der richtigen Stellen.

Ein Tabellenkalkulationsprogramm übernimmt die Rechnung: Steht x₀ in A1, lautet A2 =A1-(A1^3-A1-1)/(3*A1^2-1), dann nach unten ziehen. Man hört auf, wenn sich der Wert in der gewünschten Stelle nicht mehr ändert, und prüft mit $f(x_n)\approx 0$. Solche Näherungsverfahren werden in Klimamodellen, im Flugzeugbau und an der Börse eingesetzt.

Wenn Newton scheitert

Ist $f^{\prime }(x_n)=0$, ist die Tangente waagerecht und hat keine Nullstelle: Die Rechnung bricht ab. Ist f′(xₙ) nur sehr klein, ist die Tangente fast waagerecht, und der nächste Wert springt weit vom bisherigen weg. Ein ungünstiger Startwert kann außerdem zu einer weit entfernten Nullstelle führen oder im Kreis laufen: Für $f(x)=x^3-2x+2$ und $x_0=0$ ist $x_1=1$ und wieder $x_2=0$, obwohl die Nullstelle bei etwa −1,77 liegt. Deshalb genügt kein blindes Weiterrechnen: Man wählt x₀ nahe an der Nullstelle (Skizze oder Wertetabelle) und kontrolliert am Ende $f(x_n)$.