Quadratische Funktionen in Anwendungen

Eine Unbekannte verschwindet

Drei Gleichungen, drei Unbekannte:

$$\begin{array}{rl}\text{(I)}& x+y+z=6\\ \text{(II)}& 2x-y+z=3\\ \text{(III)}& x+2y-z=2\end{array}$$

Das Gauß-Verfahren löst solche Systeme nach einem festen Schema. Zuerst soll die Unbekannte x nur noch in Gleichung (I) vorkommen. Dazu zieht man von (II) das Doppelte von (I) ab und von (III) einmal (I). Man rechnet mit der ganzen Gleichung, also auch mit der rechten Seite, und das Vielfache passt zum Koeffizienten von x: 2 in (II), 1 in (III). Es entstehen zwei neue Gleichungen ohne x: (II′) $-3y-z=-9$ und (III′) $y-2z=-4$.

Dreiecksform und Rückwärtseinsetzen

Nun soll auch y aus der letzten Gleichung verschwinden: Das Dreifache von (III′) plus (II′) ergibt $-7z=-21$. Das System hat jetzt Dreiecksform: In der letzten Gleichung steht nur noch z, in der mittleren y und z, in der ersten alle drei Unbekannten.

Jetzt löst man von unten nach oben: Aus $-7z=-21$ folgt z = 3. In (II′) ergibt $-3y-3=-9$ das y = 2, in (I) ergibt $x+2+3=6$ das x = 1. Die Probe gehört in alle drei ursprünglichen Gleichungen. Weil jeder Schritt gleich abläuft, egal welche Zahlen im System stehen, ist das Gauß-Verfahren ein Algorithmus.

Vom Text zum System

Am Schulfest zahlt Tisch 1 für 2 Kaffee, 1 Tee und 1 Kuchen 8 €, Tisch 2 für 1 Kaffee, 2 Tee und 2 Kuchen 10 €, Tisch 3 für 3 Kaffee, 1 Tee und 2 Kuchen 13 €. Was kostet ein Stück? Zuerst benennt man die Unbekannten mit Einheit: x, y und z sind die Preise in Euro für einen Kaffee, einen Tee und einen Kuchen. Dann wird aus jeder Angabe genau eine Gleichung. Drei Unbekannte brauchen drei Gleichungen. Das Verfahren liefert x = 2, y = 1 und z = 3. Die Probe gilt an allen drei Tischen: 2 · 2 + 1 + 3 = 8, 2 + 2 · 1 + 2 · 3 = 10 und 3 · 2 + 1 + 2 · 3 = 13.

Ein Punkt, eine Gleichung

Eine Parabel hat die Gleichung $y=a{x}^2+bx+c$ mit den drei Koeffizienten a, b und c. Liegt der Punkt P(1 | 2) auf der Parabel, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen: Man setzt x = 1 und y = 2 ein und erhält $a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=2$, also $a+b+c=2$. Der x-Wert wird quadriert, der y-Wert steht rechts. So liefert jeder Punkt eine Gleichung für a, b und c. Liegt ein Punkt auf der y-Achse, etwa (0 | c), verrät er c sofort, denn für x = 0 fallen ax² und bx weg.

Drei Punkte, drei Gleichungen

Für die Parabel durch A(1 | 2), B(2 | 5) und C(4 | 5) entstehen drei Gleichungen: $a+b+c=2$, $4a+2b+c=5$ und $16a+4b+c=5$. Das ist ein System mit drei Unbekannten, also ein Fall für das Gauß-Verfahren. Die zweite minus die erste Gleichung ergibt $3a+b=3$, die dritte minus die erste ergibt $15a+3b=3$, gekürzt $5a+b=1$. Beide zusammen liefern 2a = −2, also a = −1, dann b = 6 und c = −3. Die Parabel ist $y=-x^2+6x-3$. Die Probe gilt für alle drei Punkte: A: −1 + 6 − 3 = 2, B: −4 + 12 − 3 = 5, C: −16 + 24 − 3 = 5.

Wann klappt es?

Drei Punkte mit verschiedenen x-Werten liegen auf genau einer Parabel oder auf einer Geraden. Liegen sie auf einer Geraden, kommt a = 0 heraus: Es gibt keine Parabel, nur die Gerade. Zwei Punkte über derselben x-Stelle gehören zu keiner Funktion, das System hat dann keine Lösung. Ein Beispiel: A(1 | 2), B(2 | 3) und C(4 | 5) liefern a = 0, b = 1 und c = 1, also die Gerade y = x + 1. Bei A(2 | 1) und B(2 | 5) widersprechen sich die Gleichungen 4a + 2b + c = 1 und 4a + 2b + c = 5. Die Probe gehört in alle drei Punktgleichungen.

Definitionsmenge und Hauptnenner

Gesucht ist die Lösung von $\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+1}=1$. Ein Bruch ist nur erklärt, wenn sein Nenner nicht 0 ist. Hier scheiden x = 1 und x = −1 aus: Die Definitionsmenge ist $D=\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}$. Zuerst schreibt man D auf, dann räumt man die Brüche weg: Man multipliziert die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner $(x-1)(x+1)$, und zwar jeden Summanden, auch die 1 auf der rechten Seite. Es entsteht $3(x+1)-2(x-1)=(x-1)(x+1)$, ausmultipliziert $x+5=x^2-1$, also $x^2-x-6=0$. Vergisst man einen Summanden, rechnet man eine andere Gleichung: Aus $\frac{5}{x}+2=4$ wird mit x nicht $5+2=4x$, sondern $5+2x=4x$.

Lösen und prüfen

Die Gleichung $x^2-x-6=0$ hat nach der Lösungsformel die Lösungen $x=\frac{1\pm 5}{2}$, also x = 3 und x = −2. Beide gehören zu D, es ist $L=\{-2;3\}$. Nicht immer bleibt jede Lösung übrig: In $\frac{x^2}{x-2}=\frac{4}{x-2}$ folgt nach dem Multiplizieren mit x − 2 die Gleichung x² = 4, also x = 2 oder x = −2. Doch 2 gehört nicht zu $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$: Die Zahl ist eine Scheinlösung und wird verworfen. Es bleibt $L=\{-2\}$. Darum steht die Prüfung gegen D am Ende jeder Bruchgleichung. Das ist keine Formsache: Setzt man x = 2 in die Ausgangsgleichung ein, steht beide Male ein Bruch mit dem Nenner 0. Solche Zahlen findet man sicher, wenn man die Probe an der Ausgangsgleichung macht und nicht an der umgeformten.

Gleichsetzen

Wo schneidet die Gerade $g(x)=x+1$ die Parabel $f(x)=x^2-2x-3$? In einem Schnittpunkt haben beide Graphen denselben y-Wert. Also setzt man die Terme gleich: $x^2-2x-3=x+1$, umgeformt $x^2-3x-4=0$ mit den Lösungen x = 4 und x = −1. Das sind erst die x-Werte. Die y-Werte erhält man, indem man jedes x in die Gerade einsetzt: g(4) = 5 und g(−1) = 0. Die Schnittpunkte sind (4 | 5) und (−1 | 0). Wer die Gleichung nur gleich 0 setzt, findet die Nullstellen der Parabel, nicht die Stellen, an denen sie die Gerade trifft.

Wie viele Schnittpunkte?

Verschiebt man die Gerade zu $g(x)=x+n$, entsteht $x^2-3x-(3+n)=0$ mit der Diskriminante $D=21+4n$. Bei D > 0 gibt es zwei Schnittpunkte, bei D = 0 berührt die Gerade die Parabel in genau einem Punkt, bei D < 0 verfehlt sie die Parabel. Die Zahl der Schnittpunkte ist die Zahl der Lösungen der quadratischen Gleichung. Für n = 1 ist D = 25, also gibt es zwei Schnittpunkte, die bekannten (4 | 5) und (−1 | 0). Der Fall D = 0 heißt Berührung, die Gerade ist dann Tangente: Für n = −5,25 berührt sie die Parabel im Punkt (1,5 | −3,75).

Gerade und Hyperbel

Die Hyperbel $y=\frac{6}{x}$ und die Gerade $y=-x+5$ setzt man ebenfalls gleich: $\frac{6}{x}=-x+5$ mit x ≠ 0. Es folgt eine Bruchgleichung, die quadratisch wird. Jeder Summand wird mit x multipliziert: $6=-x^2+5x$, also $x^2-5x+6=0$ mit x = 2 oder x = 3. Beide Zahlen sind erlaubt; die Schnittpunkte sind (2 | 3) und (3 | 2). Zur Probe setzt man beide Punkte in die Hyperbel ein: 6 : 2 = 3 und 6 : 3 = 2. Die Hyperbel hat zwei Äste, deshalb kann eine Gerade auch den Ast im dritten Quadranten schneiden.

Zielgröße und Nebenbedingung

Ein Landwirt hat 40 m Zaun und baut ein rechteckiges Gehege an einer Hauswand; die Wand braucht keinen Zaun. Wie groß kann die Fläche werden? Gesucht ist die größte Fläche A = b · l (die Zielgröße) mit der Breite b und der Länge l. Sie hängt von zwei Variablen ab. Die Nebenbedingung verbindet beide: $2b+l=40$, also $l=40-2b$. Setzt man das ein, hängt A nur noch von b ab: $A(b)=b\cdot (40-2b)=-2b^2+40b$. Für b = 4 m ist zum Beispiel l = 32 m und A = 128 m².

Der Scheitel liefert das Optimum

$A(b)=-2b^2+40b$ ist eine Parabel mit a = −2 < 0, sie öffnet nach unten, und ihr Scheitel ist der höchste Punkt. Durch Ergänzen erhält man $A(b)=-2(b-10{)}^2+200$ und damit den Scheitel S(10 | 200); ohne Ergänzen liefert die Formel für den Scheitel $b_S=-\frac{40}{2\cdot (-2)}=10$ dieselbe Stelle. Die Optimalstelle ist b = 10 m, dann ist l = 20 m. Der Optimalwert ist die Fläche A = 200 m². Antwortsatz: Bei 10 m Breite und 20 m Länge ist die Fläche mit 200 m² am größten. Die 200 ist der y-Wert des Scheitels, nicht der x-Wert.

Der Definitionsbereich

Der Scheitel darf nur gewählt werden, wenn er zur Sachlage passt. Hier gilt 0 < b < 20, denn l muss positiv sein; die erlaubten Werte von b heißen Definitionsbereich. Ist die Wand nur 12 m lang, muss l ≤ 12 gelten, also $40-2b\le 12$ und $b\ge 14$. Der Scheitel bei b = 10 liegt außerhalb dieses Definitionsbereichs. Auf dem erlaubten Stück fällt die Parabel, deshalb steht das Maximum am Rand: b = 14, l = 12, A = 168 m². Bei jedem Extremwertproblem gehört also die Frage dazu, ob der Scheitel im Definitionsbereich liegt.

Der Modellierungskreislauf

Ein Ball wird geworfen, eine Kamera misst: Nach 0 s ist er 1 m hoch, nach 1 s 11 m, nach 3 s wieder 1 m. Wann trifft er den Boden? Vier Schritte führen zur Antwort. Zuerst wird die Situation vereinfacht: kein Luftwiderstand, die Höhe h(t) als Parabel. Dann entsteht das Modell: Aus den drei Messpunkten folgt, wie im Abschnitt über die Parabel durch drei Punkte, $h(t)=-5t^2+15t+1$ (t in s, h in m). Drittens wird mathematisch gelöst, hier $h(t)=0$. Viertens wird das Ergebnis im Sachzusammenhang geprüft und in einem Antwortsatz formuliert. Passt es nicht, beginnt der Kreislauf von vorn. Modellieren heißt bewusst vereinfachen: Jede Vereinfachung, hier der fehlende Luftwiderstand, macht die Rechnung möglich und begrenzt zugleich, wofür das Ergebnis gilt.

Ergebnis im Sachzusammenhang prüfen

Am Boden gilt $-5t^2+15t+1=0$, also $t^2-3t-0,2=0$. Die Lösungsformel gibt t ≈ 3,07 und t ≈ −0,07. Die Mathematik liefert zwei Zahlen, die Sachlage lässt nur eine zu: Eine negative Zeit liegt vor dem Wurf und wird verworfen. Antwort: Der Ball trifft nach etwa 3,07 s den Boden.

Auch das Modell hat Grenzen. Es gilt nur, solange der Ball fliegt, für 0 ≤ t ≤ 3,07. Bei t = 5 liefert es h = −49 m, einen Ball unter der Erde: Die Rechnung stimmt, das Ergebnis ist trotzdem unbrauchbar. Solche Optimierungs- und Modellfragen gibt es in Wirtschaft, Statistik, Klimaforschung und Versicherungswesen. Überall wird ein Modell gebaut, gelöst und im Sachzusammenhang geprüft.