Rechnen mit rationalen Zahlen

Der letzte Schritt gibt den Namen

Ben rechnet $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$. Der Term hat zwei Rechenzeichen, aber nur einen Namen: Er heißt nach seinem letzten Rechenschritt. Zuletzt wird addiert, also ist er eine Summe; das Malzeichen gehört zu einem Summanden. Der Rechenbaum zeigt es: Was zuletzt gerechnet wird, steht ganz oben.

Die Teile heißen Glieder: bei der Summe Summanden, bei der Differenz Minuend und Subtrahend, beim Produkt Faktoren, beim Quotienten Dividend und Divisor. Ein Glied kann selbst ein Term sein: 1/2 · 1/2 ist ein Produkt mit zwei Faktoren. Ein Bruch, eine gemischte Zahl oder ein Dezimalbruch ist im Baum immer nur ein Blatt. Der Bruchstrich gehört also zur Zahl: 3/4 ist ein Blatt, erst 3/4 : 2 hat ein eigenes Divisionszeichen und damit einen eigenen Knoten.

Klammern und Wörter

Klammern bauen den Baum um: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot 8$ ist eine Summe mit dem Wert 2 1/2, $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\cdot 8$ ein Produkt mit dem Wert 6. Auch in einer gemischten Zahl steckt eine Klammer: 3 · 2 1/2 heißt 3 · (2 + 1/2).

Aus Wörtern wird ein Term, indem man mit dem letzten Schritt beginnt: „das Dreifache der Summe von 1/2 und 1/4“ ist ein Produkt, also $3\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)$. Bei „die Differenz aus 1 und 1/4“ steht die zuerst genannte Zahl vorn: 1 − 1/4. Das Wort für den letzten Schritt – Summe, Differenz, Produkt, Quotient, das Doppelte, die Hälfte – bestimmt die äußere Form des Terms. Wie man den Wert eines Terms ausrechnet, zeigt der nächste Abschnitt.

Die Reihenfolge

Der Wert eines Terms folgt seinem Baum: Was unten hängt, wird zuerst gerechnet. Daraus ergeben sich die Regeln, die für Brüche und Dezimalbrüche genauso gelten wie für natürliche Zahlen: Klammern zuerst (verschachtelte von innen nach außen), dann Punkt vor Strich, gleichrangige Zeichen von links nach rechts. Bens Term: erst $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, dann $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. Mit Dezimalbrüchen geht es genauso: 0,5 + 0,5 · 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75. Steht eine Klammer in einer Klammer, beginnt man ganz innen: In $3\cdot \left(2-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\right)$ ist zuerst 1/2 + 1/4 = 3/4 dran, dann 2 − 3/4 = 1 1/4, zuletzt 3 · 1 1/4 = 3 3/4.

Bei gleichrangigen Zeichen entscheidet die Reihenfolge: $\frac{2}{3}:2\cdot 3$ rechnet man von links, also $\left(\frac{2}{3}:2\right)\cdot 3=\frac{1}{3}\cdot 3=1$. Wer zuerst 2 · 3 rechnet, hat einen anderen Term vor sich (2/3 : 6 = 1/9).

Fortlaufend rechnen

Bei längeren Termen schreibt man Zeile für Zeile: Jede Zeile ist der vorige Term, einen Schritt weitergerechnet, und alle Zeilen haben denselben Wert.

$$\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{4}-\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$$

Das Gleichheitszeichen heißt: Beide Seiten haben denselben Wert. Ketten, in denen es nur „und dann“ bedeutet, sind falsch. Die Zeilen haben einen praktischen Vorteil: Man findet Fehler, weil jede Zeile für sich stimmen muss. Am Ende prüft man grob: 3/4 − 1/2 · 3/4 ist kleiner als 3/4, das Ergebnis 3/8 passt. Jede Zeile entspricht einem Knoten des Rechenbaums: erst die Klammer, dann das Produkt, zuletzt die Differenz. So sieht man jederzeit, wo man in der Rechnung steht.

Im Kopf rechnet man der Reihe nach: Man folgt dem Rechenbaum von unten nach oben und sagt sich jedes Zwischenergebnis vor. Bei $30-\frac{3}{4}\cdot 8$ merkt man sich zuerst 3/4 · 8 = 6 und rechnet dann 30 − 6 = 24.

Dabei helfen Stützwerte, die man auswendig kennt: 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25, 3/4 = 0,75, 1/5 = 0,2, 1/10 = 0,1 und 1/8 = 0,125; aus 1/8 folgt 3/8 = 3 · 0,125 = 0,375. Mit ihnen wechselt man mitten im Term zwischen Bruch und Dezimalbruch: 0,5 + 1/4 = 0,75. Bei $(0,5+\frac{1}{4})\cdot 12$ rechnet man erst 0,5 + 1/4 = 0,75 = 3/4 und dann 3/4 · 12 = 9.

Manche Teilterme muss man gar nicht ausrechnen. $a-a$ ist immer 0, $a:a$ immer 1 (solange a nicht 0 ist), und jedes Produkt mit einem Faktor 0 ist 0. In $8,3\cdot \left(\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\right)+\frac{2}{5}$ steht die 0 schon fest: Der Term hat den Wert 2/5. Auch a · 1 = a und a + 0 = a sparen Arbeit: 6/7 · (2/9 : 2/9) = 6/7 · 1 = 6/7.

Im Kopf lohnt es sich also, erst die Gliederung anzusehen: Welcher Teilterm ist einfach, welcher entscheidet schon alles?

Verteilen

Das Distributivgesetz kennt man von den natürlichen Zahlen: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$. Am Rechteck sieht man, warum es auch für Brüche und Dezimalbrüche gilt: Ein Rechteck der Höhe 4 und der Breite 1,5 + 1 besteht aus zwei Teilrechtecken; die Höhe gehört zu beiden. So ist 4 · (1,5 + 1) = 4 · 1,5 + 4 · 1 = 6 + 4 = 10, und ebenso 6 · (1/2 + 1/3) = 3 + 2 = 5. Das Bild zeigt auch, was falsch wäre: Wer 4 · 1,5 + 1 rechnet, gibt der zweiten Teilfläche keine Höhe.

Nahe an einer glatten Zahl verteilt man mit einer Differenz: $7\cdot 1,8=7\cdot 2-7\cdot 0,2=14-1,4=12,6$. Der Faktor 7 gilt für beide Glieder der Differenz, nicht nur für das erste.

Ausklammern und Gesetz wählen

Rückwärts gelesen heißt das Gesetz Ausklammern:

$$2,5\cdot 3,4+2,5\cdot 6,6=2,5\cdot (3,4+6,6)=2,5\cdot 10=25$$

Der gemeinsame Faktor steht einmal vor der Klammer, in der Klammer bleibt eine glatte Summe.

Nicht jedes Gesetz passt überall. Beim Malnehmen darf man umordnen und klammern (0,25 · 13 · 4 = (0,25 · 4) · 13 = 13), bei Summen von Produkten hilft das Ausklammern – aber durch eine Summe darf man nicht verteilen: $24:\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=24:\frac{3}{4}=32$, dagegen ist $24:\frac{1}{2}+24:\frac{1}{4}=144$. Es gilt nur $(a+b):c=a:c+b:c$. Vor jeder Rechnung fragt man: Welches Gesetz macht sie leichter – oder braucht man keines? Zur Kontrolle rechnet man den Term auch auf dem gewöhnlichen Weg: Es muss derselbe Wert herauskommen, und wo er es nicht tut, wurde ein Gesetz angewendet, das dort nicht gilt.

Welches Ganze?

Die 6b sammelt für den Schulgarten. Im Oktober kommt die Hälfte des Ziels zusammen, im November die Hälfte des Rests. Mia addiert 1/2 + 1/2 = 1. Das ist falsch, denn beide Hälften gehören zu verschiedenen Ganzen: Die erste ist die Hälfte des Ziels, die zweite die Hälfte des Rests – und der Rest ist nur die Hälfte des Ziels. Ein Anteil ohne sein Ganzes sagt wenig: Die Hälfte von 10 € ist etwas anderes als die Hälfte von 1000 €.

Bevor man rechnet, fragt man deshalb: Worauf bezieht sich der Anteil? Anteile mit verschiedenem Ganzen darf man nicht addieren.

Anteil vom Anteil

Ein Anteil von einem Anteil ist ein Produkt. In einer Schule essen 4/5 der Kinder mittags in der Mensa, davon die Hälfte vegetarisch. Im Feldermodell sind 4 von 5 Spalten blau und 2 von 4 Zeilen orange; doppelt gefärbt sind 4 · 2 = 8 von 20 Feldern. Also essen $\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$ aller Kinder vegetarisch in der Mensa. Man rechnet mit dem Produkt der Brüche und darf vorher kürzen: 4/5 · 1/2 = (2 · 2)/(5 · 2) = 2/5. Die beiden Brüche sind zwei Schritte: Der erste Anteil bezieht sich auf alle Kinder, der zweite auf die Kinder, die schon ausgewählt sind.

Vom Rest

Nach einem Abzug bezieht sich der nächste Anteil auf den Rest: Hat man den Anteil a genommen, bleibt 1 − a, und der Anteil b davon ist $(1-a)\cdot b$. Zurück zum Schulgarten: Im Oktober 1/2, der Rest ist 1 − 1/2 = 1/2, die Hälfte davon 1/4. Zusammen $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$ des Ziels – Ben hat recht, Mia nicht. Auch bei mehreren Schritten hilft der Streifen: Jedes „vom Rest“ macht den Streifen kürzer, auf den sich der nächste Anteil bezieht.

Von der Geschichte zur Skizze

Ein Sachproblem löst man nicht mit dem ersten Rechenzeichen, das einem einfällt. Zuerst kommt die Skizze: ein Streifen für das Ganze, Stücke für die Anteile, jede Größe beschriftet, das Gesuchte mit „?“. Beispiel: Nistkästen kosten 120 €. Die Gemeinde zahlt 1/4, vom Rest der Verein 2/3, den Rest die Klasse. Aus der Skizze liest man ab: Gemeinde 30 €, Rest 90 €, Verein 60 €, Klasse 30 €. Zwei Fragen helfen beim Zeichnen: Was ist das Ganze? Was ist bekannt, was gesucht? Ein Streifen passt zu Anteilen, ein Rechteck zu Flächen, ein Zahlenstrahl zu Wegen.

Schlüsselwörter führen in die Irre: „insgesamt“ heißt nicht immer plus – 6 Gläser zu je 3/4 l sind 6 · 3/4 l.

Angaben suchen und prüfen

Oft fehlt eine Angabe. Man fragt: Was ist gegeben, was ist gefragt, was fehlt? Eine fehlende Zahl sucht man sorgfältig: Quelle und Datum notieren, die Einheit prüfen und mit einer Vergleichszahl testen, ob die Größenordnung stimmt. Solange die Gesamtkosten G fehlen, kennt man nur die Anteile, nicht die Euro. Findet man zwei Zahlen, die sich widersprechen (eine Quelle nennt für die Schule 1200 Schülerinnen und Schüler, eine andere 120), prüft man Datum und Größenordnung: 1200 ist für ein Gymnasium möglich, 120 wäre ungewöhnlich klein.

Das Ergebnis prüfen

Ein Ergebnis ist erst fertig, wenn es im Sachzusammenhang stimmt: Passt die Größenordnung (Überschlag), passt die Einheit, passt die Zahl zur Frage? 130 Personen, ein Bus fasst 40: 130 : 40 = 3,25 – aber Busse gibt es nur ganz, die 10 übrigen Personen brauchen einen vierten. Am Ende steht ein Antwortsatz: „Man braucht 4 Busse.“ Der Überschlag fängt Komma-Fehler ab: Für 2,1 · 4,9 rundet man auf 2 · 5 = 10; ein Ergebnis wie 102,9 hat das Komma verrutscht. Dass man 4 Busse braucht, obwohl 3,25 herauskommt, zeigt: Im Sachzusammenhang zählt, was in der Wirklichkeit möglich ist.