Rechenausdrücke und Rechengesetze

Namen der Rechenarten

Ein Rechenausdruck heißt Term, sein Ergebnis der Termwert. Jede Rechenart hat eigene Namen für ihr Ergebnis und für die Zahlen darin. $12+5=17$ ist eine Summe aus zwei Summanden. Bei der Differenz 12 − 5 heißt 12 Minuend und 5 Subtrahend. Ein Produkt 12 · 5 hat zwei Faktoren. Beim Quotienten 60 : 5 ist 60 der Dividend und 5 der Divisor.

Ein Name gehört zu einer Rolle, nicht zu einer bestimmten Zahl: In 5 · 12 ist die 5 genauso ein Faktor wie die 12. Nur bei Minus und Geteilt kommt es auf die Reihenfolge an, denn 12 − 5 ist nicht 5 − 12.

Der letzte Schritt gibt den Namen

Meist steckt mehr als eine Rechenart in einem Term. Der ganze Term heißt dann nach dem Schritt, der zuletzt gerechnet wird. Malnehmen und Teilen binden stärker als Plus und Minus („Punkt vor Strich“). In $3\cdot 4+2$ wird deshalb erst 3 · 4 = 12 gerechnet und zuletzt 12 + 2. Der Term ist eine Summe; das Produkt 3 · 4 ist nur ein Teilterm.

Wer den Term nach dem ersten Zeichen von links benennt, sagt hier fälschlich Produkt. Frag dich stattdessen: Was rechne ich zuletzt? Der Rechenbaum zeigt diese Gliederung: Ganz oben steht der letzte Schritt, unten stehen die Zahlen, und jeder Rechenknoten gehört zu einem Teilterm.

Klammern ändern den Baum

Mit einer Klammer wird ein Teil zuerst gerechnet. In $3\cdot (4+2)$ steht 4 + 2 in der Klammer, also ist zuletzt das Produkt dran: 3 · 6 = 18. Dieselben Zahlen und Zeichen ergeben so einen anderen Baum und einen anderen Namen.

Auch aus Worten baust du Terme. „Das Dreifache der Summe von 4 und 2“ ist $3\cdot (4+2)$, „die Summe aus dem Dreifachen von 4 und 2“ dagegen $3\cdot 4+2$. Bei „Differenz aus 10 und 4“ steht die erste Zahl vorn: $10-4$.

Punkt vor Strich

Wie viel ist $3+4\cdot 5$? Ein einfacher Taschenrechner rechnet von links nach rechts und zeigt 35, ein Schulrechner 23. Es gilt die Vereinbarung: Punktrechnung (mal und geteilt) geht vor Strichrechnung (plus und minus). Also ist $3+4\cdot 5=3+20=23$. Der Rechenbaum erklärt das: Der Teilterm 4 · 5 muss fertig sein, bevor der letzte Schritt, die Summe, gerechnet werden kann. Das passt zu einer kleinen Geschichte: 3 einzelne Brezeln und 4 Tüten mit je 5 Brezeln sind 3 + 4 · 5 = 23 Brezeln.

Stehen nur Punkt- oder nur Strichrechnungen im Term, rechnest du von links nach rechts: $18-7+4=11+4=15$ und $36:6\cdot 2=6\cdot 2=12$.

Plus und Minus stehen auf derselben Stufe, ebenso Mal und Geteilt. Deshalb ist 18 − 7 + 4 nicht 18 − 11: Wer 7 + 4 zuerst rechnet, macht aus dem Minus heimlich ein Plus.

Klammern zuerst

Eine Klammer setzt die Reihenfolge außer Kraft: Was in Klammern steht, wird zuerst gerechnet. $(3+4)\cdot 5=7\cdot 5=35$. Sind Klammern ineinander verschachtelt, rechnest du von innen nach außen: $(20-(4+2)):2=(20-6):2=14:2=7$. Im Rechenbaum bildet jede Klammer einen Teilterm. Ohne Klammer würde aus (3 + 4) · 5 der Term 3 + 4 · 5 mit dem Wert 23; Klammern setzt du also genau dort, wo die Struktur es verlangt.

Fortlaufende Rechnung

Beim Ausrechnen schreibst du jeden Schritt in eine neue Zeile. Das Gleichheitszeichen heißt: Links und rechts steht derselbe Wert. Falsch ist deshalb die Kette $3+4=7\cdot 5=35$, denn 7 ist nicht 7 · 5. Richtig ist $3+4\cdot 5=3+20=23$: Jeder Term dieser Kette hat den Wert 23. Im Kopf darfst du abkürzen, aufgeschrieben wird aber jede Zeile. Zur Kontrolle rechnest du jede Zeile einzeln aus: Steht überall derselbe Wert, stimmt die Kette.

Ein Rechteck, zwei Teile

Ein Beet aus Pflanzplätzen ist 4 Reihen hoch. Seine Breite besteht aus zwei Teilen, einem blauen und einem orangen. Mach den orangen Teil breiter und schmaler und vergleiche die beiden Chips.

Dass beide Chips immer übereinstimmen, ist kein Zufall. Ein Beet ist 4 Reihen hoch und 6 + 3 Plätze breit. Die Fläche findest du auf zwei Wegen: als Ganzes $4\cdot (6+3)=4\cdot 9=36$ oder als Summe der beiden Teilflächen $4\cdot 6+4\cdot 3=24+12=36$. Beide Wege beschreiben dasselbe Rechteck, also gilt das Distributivgesetz:

$$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Dabei stehen a, b und c für beliebige natürliche Zahlen. Der Faktor a wird auf beide Summanden verteilt. Häufig vergessen wird der zweite: $4\cdot 6+3$ ergibt nur 27, nicht 36.

Das Bild macht das Gesetz einleuchtend: Zwei Teilrechtecke mit gleicher Höhe lassen sich zu einem Rechteck zusammenlegen. Die Höhe ist der gemeinsame Faktor, die Breiten addieren sich.

Auch mit Minus

Das Gesetz gilt genauso bei einer Differenz. Ein Rechteck ist 4 Reihen hoch und 9 breit, ein Streifen von 3 Plätzen wird abgezogen: $4\cdot (9-3)=4\cdot 9-4\cdot 3=36-12=24$. Auch hier gehört die 4 zu beiden Zahlen in der Klammer. Das Bild zeigt, warum: Vom großen Rechteck bleibt nach dem Abziehen genau das kleinere Rechteck übrig.

Vorsicht: Verteilen darfst du nur über eine Summe oder Differenz. Bei einem Produkt in der Klammer bleibt alles, wie es ist: $2\cdot (3\cdot 4)=24$, aber 2 · 3 · 2 · 4 wäre 48. Auch ein Geteilt-Zeichen vor der Klammer verteilt nicht: 24 : (6 + 2) = 3, aber 24 : 6 + 24 : 2 = 16.

Zerlegen

Das Distributivgesetz steckt hinter vielen Kopfrechenstrategien. Wie rechnest du $13\cdot 6$? Zerlege die 13 in 10 + 3: $13\cdot 6=(10+3)\cdot 6=10\cdot 6+3\cdot 6=60+18=78$. Die Klammer darf vorn stehen, denn beim Malnehmen darfst du vertauschen. Jede Zerlegung führt zum selben Ergebnis, mit der Zehnerzahl rechnet es sich aber am leichtesten. Auch beim Teilen hilft es, wenn die Summe vor dem Geteiltzeichen steht: $(60+12):6=10+2=12$.

Diese Strategie kennst du aus der Grundschule als „halbschriftliches Rechnen“. Jetzt weißt du, warum sie funktioniert: Sie ist das Distributivgesetz.

Zur runden Zahl ergänzen

Liegt ein Faktor knapp unter einer runden Zahl, zerlegst du mit Minus: $7\cdot 29=7\cdot (30-1)=7\cdot 30-7\cdot 1=210-7=203$. Achte darauf, dass auch die Zahl nach dem Minus mit 7 malgenommen wird; 210 − 1 = 209 ist falsch.

Auch 12 · 49 rechnest du so: 12 · 50 − 12 = 600 − 12 = 588. Die runde Zahl liegt eins höher, also ziehst du nur einmal die 12 ab.

Rückwärts lesen

Das Gesetz lässt sich auch von rechts nach links lesen. Steht derselbe Faktor in beiden Produkten, klammerst du ihn aus: $36\cdot 7+36\cdot 3=36\cdot (7+3)=36\cdot 10=360$. Das lohnt sich besonders, wenn die Klammer eine runde Zahl ergibt, hier 7 + 3 = 10. Welches Gesetz steckt hinter welchem Schritt? Die Übersicht zeigt es. Bei Aufgaben mit drei Faktoren hilft dagegen das Vertauschen und Umklammern: 8 · 13 · 125 = (8 · 125) · 13 = 1000 · 13 = 13 000.

Vorwärts

Viele Aufgaben sind Rechenketten: Du denkst dir eine Zahl, multiplizierst sie mit 3 und addierst 4. Startest du bei 7, arbeitest du vorwärts: 7 · 3 = 21, dann 21 + 4 = 25. Für den unbekannten Start schreibst du einen Buchstaben, zum Beispiel x. Als Term steht die Kette dann in einer Zeile: $x\cdot 3+4$. Kommt zuerst ein Plus und dann ein Mal, brauchst du eine Klammer: erst + 4, dann · 3 ergibt $(x+4)\cdot 3$.

Eine Rechenkette ist ein Term in Stationen: Jede Station ist ein Teilterm, und das Ergebnis der einen ist der Start der nächsten. Genau deshalb kommt bei „erst + 4, dann · 3“ eine Klammer ins Spiel.

Rückwärts

Bekannt ist das Ergebnis 25, gesucht der Start. Jetzt arbeitest du rückwärts: Du kehrst jeden Schritt um und beginnst hinten. Die Umkehrung von + 4 ist − 4, die von · 3 ist : 3, also $25-4=21$ und $21:3=7$. Kehrst du die Schritte in der falschen Reihenfolge um, kommt etwas anderes heraus: 25 : 3 geht nicht einmal auf. Die Probe zeigt sofort, ob du richtig zurückgerechnet hast.

Welche Richtung passt? Ist der Start bekannt und das Ende gesucht, rechnest du vorwärts. Ist das Ende bekannt und der Start gesucht, rechnest du rückwärts. Zur Probe rechnest du danach mit dem gefundenen Start vorwärts.

Erst die Skizze

Sachaufgaben löst du in Schritten. Beispiel: Die Schule kauft für das Sommerfest 19 Kisten Saft zu je 12 Flaschen, 38 Flaschen sind übrig. Wie viele Flaschen wurden getrunken? Zuerst die Skizze: 19 gleiche Portionen zu 12, gekauft, davon werden 38 übrige abgezogen. Daraus liest du den Term ab: $19\cdot 12-38$. Schlüsselwörter wie „übrig“ oder „mehr“ sagen allein noch nichts; erst die Skizze zeigt, was gerechnet wird.

Eine gute Skizze hat gleiche Portionen als gleiche Kästchen, Dazukommendes und Abgehendes in verschiedenen Farben und die gesuchte Größe als Fragezeichen. Sie ersetzt keinen Text, sie ordnet ihn.

Überschlag und Rechnung

Vor dem Rechnen schätzt du: $19\cdot 12-38\approx 20\cdot 12-40=200$. Dann rechnest du fortlaufend: $19\cdot 12-38=228-38=190$. 190 liegt nahe bei 200, das Ergebnis ist plausibel. Hättest du 1 900 oder 19 erhalten, wüsstest du sofort: Da stimmt etwas nicht. Runde dafür jede Zahl auf ihre größte Stelle, dann kannst du im Kopf rechnen. Der Überschlag ersetzt die Rechnung nicht, er fängt grobe Fehler wie eine vergessene oder überzählige Stelle ab.

Antwort im Sachzusammenhang

Zum Schluss beantwortest du die Frage in einem Antwortsatz mit Einheit: „Beim Fest wurden 190 Flaschen Saft getrunken.“ Prüfe dabei, ob das Ergebnis zur Situation passt. 130 Kinder fahren Bus, in einen Bus passen 40: 130 : 40 = 3 Rest 10. Drei Busse reichen nicht, es werden 4 Busse gebraucht. Ein Rest muss im Sachzusammenhang gedeutet werden: Rechnen und Antworten sind zwei verschiedene Schritte. Wer seinen Rechenweg aufschreibt, kann ihn auch anderen erklären. Ein guter Antwortsatz wiederholt die Frage: nicht nur „190“, sondern „Es wurden 190 Flaschen getrunken.“